2.4解直角三角形同步训练（附答案）-2021--2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2021年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　）
A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2
2．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A． B．2 C． D．
3．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（　　）
A．h1＝h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（　　）
A． B． C． D．h?cosα
5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　）
A．2 B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式中错误的是（　　）
A．BC＝AB?sinA B．BC＝AC?tanA C．AC＝BC?tanB D．AC＝AB?cosB
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则Rt△ABC的三边a、b、c之比a：b：c为（　　）
A．2：：3 B．1：： C．1：2：3 D．2：：
9．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．或4 D．2或4
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，如果sinA＝，cotB＝，那么这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
12．如图，已知∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，BE是∠CBD的平分线，O，P分别是BD，BE上的动点（与点B不重合），分别过点O，P作OM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别是点M，N．当点M，N重合时，的值是（　　）
A．+1 B．2﹣3 C．2 D．
二．填空题（共4小题）
13．将一副直角三角板拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合，若∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，连接BD，则tan∠DBC＝　 　．
14．如图△ABC中∠ACB＝90°，D在AC上，AD＝4CD，若∠BAC＝2∠CBD，则tanA＝ 　．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，若斜边上的高CD＝2，则AC＝　 　．
16．在△ABC中，AB＝2AC，tanB＝，BC边上的高长为2，则△ABC的面积为　 　．
三．解答题（共4小题）
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．
18．如图1，△ABC中，D为AC边上一动点（不含端点），过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接AE，DF．点D运动过程中，始终有AE＝DF．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）如图2，若AC＝3，tanB＝，当AF＝AD时，求AD的长．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sinC＝，BC＝12，求△ABC的面积．
20．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
2．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
3．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，
在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，
在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，
∴h1＝h2，
故选：A．
4．解：∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD＝α，
在Rt△BCD中，
∵cos∠BCD＝，CD＝h，
∴BC＝．
故选：B．
5．解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．
6．解：∵AC2＝12+22＝5，
AB2＝22+42＝20，
BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2．
∴∠CAB＝90°．
∴tan∠ABC＝．
故选：C．
7．解：如图所示：
∵sinA＝，∴BC＝sinA×AB，故选项A正确；
∵tanA＝，∴BC＝tanA×AC，故选项B正确；
∵tanB＝，∴AC＝tanB×BC，故选项C正确；
∵cosB＝，∴BC＝cosB×AB≠AC，故选项D错误．
故选：D．
8．解：∵∠C＝90°，
∴cosB＝＝，
设a＝2x，c＝3x，
∴b＝＝x，
∴a：b：c＝2x：x：3x＝2：：3．
故选：A．
9．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
当B2C＝2时，
∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，
∴CD＝，
∴AD＝＝3，B2D＝＝1，
∴AB2＝3﹣1＝2，
同理可得，AB1＝3+1＝4，
即AB的长为2或4，
故选：D．
10．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE，
设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，
即＝，
解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴AE＝2﹣2，
∴cosA＝＝＝，
故选：C．
11．解：∵sinA＝，cotB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
12．解：当M，N重合时，点P在OM上，如图，过点P作PH⊥BD于H，
∵BE是∠CBD的平分线，PN⊥BC，
∴PH＝PM，
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴∠BOP＝90°﹣30°＝60°，
∵在Rt△POH中，
PO＝＝PH，
∴＝+1．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．解：作DE⊥BC，交BC延长线于点E，设CD＝x，
∵∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，一副直角三角板拼成的四边形ABCD，
∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴BC＝AC＝2x，DE＝x，CE＝x，
∴tan∠DBC＝＝＝．
故答案为：．
14．解：延长AC至E，使CE＝CD，连接BE，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵CE＝CD，
∴BC是DE的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠BDE，
设∠CBD＝α，则∠BAC＝2α，
∴∠E＝∠BDE＝90°﹣α，
∴∠ABE＝180°﹣∠E﹣BAC＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE，
设CD＝x，则AD＝4x，
∴AE＝AB＝6x，AC＝5x，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝x，
∴tanA＝＝．
故答案为：．
15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∵sinB＝，
∴sin∠ACD＝．
∵sin∠BCD＝．
∴＝．
设AD＝a，则AC＝3a．
．
∵CD＝2，
∴2．
∴a＝．
∴AC＝．
故答案为：．
16．解：在Rt△ADB中，tanB＝，
∴＝，
解得，BD＝6，
由勾股定理得，AB＝＝＝2，
∴AC＝＝＝，
由勾股定理得，CD＝＝＝1，
如图1，BC＝CD+BD＝1+6＝7，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×7×2＝7，
如图2，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×5×2＝5，
∴△ABC的面积为7或5，
故答案为：7或5．

三．解答题（共4小题）
17．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
（2）设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．
∴tan∠ABC＝＝＝．
18．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形．
∵AE＝DF，
∴?ADEF是矩形．
∴∠BAC＝90°．
（2）解：当AF＝AD时，
由（1）知，此时四边形ADEF是正方形．
方法1，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，∠EDC＝∠BAC＝90°．
∴tan∠DEC＝tanB＝．
在Rt△DEC中，设DC＝3x，则DE＝4x．
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE＝4x．
∴AC＝AD+DC＝7x＝3．
∴x＝，
∴AD＝4x＝．
方法2：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tanB＝，AC＝3，
∴AB＝4．
∵四边形ADEF是正方形，设AD＝DE＝x．
∵DE∥AB，
∴△CED∽△CBA．
∴，
即，
解得x＝，
∴AD＝．
19．（1）证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵tanB＝cos∠DAC，
∴＝，
∴BD＝AC；
（2）解：设AC＝BD＝x，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，
∵sinC＝，
∴cosC＝，tanC＝，
∴＝，＝，
即＝，
解得：x＝，
∴CD＝12﹣x＝，
∴AD＝CD＝×＝8，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．
20．（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DT＝AD，
∴＝．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE＝＝