1.3正方形的性质与判定提升训练（附答案）-2021--2022学年北师大版九年级数学上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》优生辅导提升训练（附答案）
一．正方形的性质
1．正方形具有矩形不一定有的性质是（　　）
A．对角互补 B．对角线相等
C．四个角相等 D．对角线互相垂直
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）
A．45° B．15° C．10° D．125°
3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
4．如图，正方形ABCD中，AB＝1，则AC的长是（　　）
A．1 B． C． D．2
5．如图正方形ABCD，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠E＝　 　．
6．若正方形的面积是9，则它的对角线长是　 　．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
8．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
9．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
二．正方形的判定
10．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（　　）
A．AC与BD互相垂直平分 B．∠A＝∠B且AC＝BD
C．AB＝AD且AC＝BD D．AB＝AD且AC⊥BD
11．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形
12．如图所示，在△ABC中，在△ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．
13．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
14．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E．
求证：四边形OCED是正方形．
三．正方形的判定与性质
15．如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．②③ B．①③ C．①② D．③④
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
证明：四边形DECF为正方形；
18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝　 　°时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝　 　°时，四边形ABDF为菱形．
19．已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
参考答案
一．正方形的性质
1．解：A、对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以A选项不符合题意；
B、对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C、四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D、对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB
∴∠AEB＝30°÷2＝15°，
∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，
故选：A．
3．解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选B．
故选：B．
4．解：在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，
∴AC＝＝＝；
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
故答案为：22.5°．
6．解：若正方形的面积是9，则它的边长是3，根据勾股定理得到则它的对角线长＝＝＝3．
故答案为3
7．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
8．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，
故选：D．
9．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
由图可知：AG﹣AF＝FG，
∴BF﹣DG＝FG．
二．正方形的判定
10．解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
B、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
C、根据对角线相等的平行四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形为正方形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
D、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
故选：C．
11．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
12．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵DE＝DF，
∴矩形CEDF是正方形．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
14．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
∴OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴四边形CODE是正方形．
三．正方形的判定与性质
15．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当③AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：A．
16．解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．故选：C．
17．（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF∥EC，
∴∠FDC＝∠ECD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠ECD，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴DF＝CF，
∴四边形DECF是正方形；
18．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；
∵AD＝AF，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴∠ACD＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∴四边形ADCF是正方形；
②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；
∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，
∴CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF＝CD，
∴DF＝BD，
∴四边形ABDF为菱形．
故答案为：45，30．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE．
（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：
由折叠的性质得：∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，
∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD＝BE＝DE，
∵BF＝BE，
∴AE＝BE＝AF＝BF，
∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是正方形．
20．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．