《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 必修（第一册）同步练习：4.1指数之方根与幂的运算与化简（Word含解析）

1268730010337800《作业推荐》—4.1指数之方根与幂的运算与化简
一、单选题(共 40 分)
1.设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　)
A.18 B.21 C.24 D.27
2.若x+x?1=3 则x2+x?2的值是（　　　　）
A.15 B.21 C.7 D.8
3.若1?2x?34有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x∈R B.x≠12 C.x≤12 D.x<12
4.设2 A.1 B.-1 C.2a?5 D.5?2a
5.化简a?12+1?a2+31?a3的结果是（ ）
A.1?a B.21?a C.a?1 D.2a?1
6.方程4x-3?2x+2=0的解集为（　　）
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2}
7.有下列各式：①(na)n=a；② x?34=31x4；③a34?a43=a；④4a2+b2=a+b
其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.下列各式：①nan=a；②a2?2a?30=1；③3?3=6?32．中正确的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
二、填空题(共 20 分)
9.已知x+x?1=3则x32+x?32的值为__________．
10.已知a12?a?12=1，则a2+a?2的值为______.
11.若x≤?3，则x+32?x?32= ________．
12.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过3小时，这种细菌由一个可繁殖成______个.
三、解答题(共 40 分)
13.化简：
（1）(32×3)6+(?2018)°?4×1649?12+4(3?π)4
（2）a32?1a+a12+1?a+a12a12+1+a?1a12?1.
14.计算：（1）614?（π?1）0?（338）13+（164）?23；
（2）(0.09)?12?(?17)?2+(279)12?(2?1)0
（3）已知x＞0，化简(2x14+332)(2x14?332)?4x?12(x?x12)
1268730010337800《作业推荐》—4.1指数之方根与幂的运算与化简
一、单选题(共 40 分)
1.设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　)
A.18 B.21 C.24 D.27
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算法则，可得到x＝3y＋3和x－9＝2y，解之即可得到结果.
【详解】
因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，
因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
所以本题选D.
【点睛】
本题考查指数幂运算，熟记运算公式是基础，需要基本的运算能力，属基础题.
2.若x+x?1=3 则x2+x?2的值是（　　　　）
A.15 B.21 C.7 D.8
【答案】C
【解析】
【分析】
对式子x+x?1=3两边平方，即可得到答案.
【详解】
因为x+x?1=3，所以x2+x?2+2=9?x2+x?2=7.
故选：C
【点睛】
本题考查指数式的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.
3.若1?2x?34有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x∈R B.x≠12 C.x≤12 D.x<12
【答案】D
【解析】
因为1?2x?34=141?2x3，所以1?2x>0即x<12，故应选D.
4.设2 A.1 B.-1 C.2a?5 D.5?2a
【答案】A
【解析】
【分析】
根据x2=x=x,x≥0?x,x<0，结合a的取值范围，化简所求表达式.
【详解】
由于20，所以(2?a)2+4(3?a)4=2?a+3?a=a?2+3?a=1.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查根式的化简，考查绝对值的运算，属于基础题.
5.化简a?12+1?a2+31?a3的结果是（ ）
A.1?a B.21?a C.a?1 D.2a?1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶次根式有意义可求得a≥1，根据根式运算法则可化简求得结果.
【详解】
∵a?1有意义 ∴a?1≥0，即a≥1
∴a?12+1?a2+31?a3=a?1+a?1+1?a=a?1
故选C
【点睛】
本题考查根式的运算，关键是能够明确根式有意义的条件：
根指数为奇数，被开方数正负均可，结果的符号与被开方数的符号相同；
根指数为偶数，被开方数非负，结果非负.
6.方程4x-3?2x+2=0的解集为（　　）
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用换元法分析：设t=2x，原方程可以变形为t2-3t+2=0，解可得：t=1或t=2，分别求出x的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，设t=2x，
则t2-3t+2=0，
解可得：t=1或t=2，
若t=1，即2x=1，则x=0，
若t=2，即2x=2，则x=1，
则方程4x-3?2x+2=0的解集为{0，1}；
故选C．
【点睛】
本题考查指数的运算，关键是掌握指数的运算性质，属于基础题．
7.有下列各式：①(na)n=a；② x?34=31x4；③a34?a43=a；④4a2+b2=a+b
其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据幂的运算法则和根式的定义，分数指数幂的定义判断．
【详解】
根据根式的定义，(na)n=a正确；由分数指数幂的定义，x?34=14x3；a34?a43=a34+43=a2512；4a2+b2≠a+b．只有第一个正确，其他三个都错．
故选：B.
【点睛】
本题考查根式的定义，分数指数幂的定义，考查幂的运算法则，属于基础题．
8.下列各式：①nan=a；②a2?2a?30=1；③3?3=6?32．中正确的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】D
【解析】
【分析】
逐一分析判断每一个选项得解.
【详解】
①nan=a，是错误的，如：(?2)2=22=2≠?2，所以该结论是错误的；
②a2?2a?30=1，是错误的，因为当a=3或-1时，a2?2a?3=0，原式没有意义，所以是错误的；
③3?3=6?32，是错误的，因为等式左边是一个负数，等式右边是一个正数，所以等式错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查根式的运算和零次幂的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题(共 20 分)
9.已知x+x?1=3则x32+x?32的值为__________．
【答案】25
【解析】
【分析】
观察前后式子特点指数后面是前面的32，先将所以先将前面式子转换为x12+x?12=5，再通过立方和公式三次方即可．
【详解】
题意x12+x?122=x+2+x?1=5，∴x12+x?12=5，
∴x32+x?32=x12+x?12x?1+x?1=5(3?1)=25，
故答案为25．
【点睛】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如x12+x?122=x+2+x?1，x+x?12=x2+2+x?2，x32+x?32=x12+x?12x?1+x?1，解题时要善于应用公式变形．属于较易题目．
10.已知a12?a?12=1，则a2+a?2的值为______.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据a12?a?12=1，两边平方可得a+a?1，然后计算a+a?12，可得结果.
【详解】
由a12?a?12=1，则a12?a?122=1
所以a+a?1?2a12a?12=1，则a+a?1=3
所以a+a?12=32=9，则a2+a?2=7
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查指数幂的运算，难点在于a12?a?12,a2?a?2是个定值，属基础题.
11.若x≤?3，则x+32?x?32= ________．
【答案】?6
【解析】
【分析】
根据x≤－3，可得x+3≤0，x?3≤?6，利用根式的性质可得结果.
【详解】
∵x≤－3，∴x+3≤0,x?3≤?6，
∴x+32?x?32=?x+3??x?3=?6，故答案为?6.
【点睛】
解题时要注意根式性质的运用，即（1）nan=a；（2）当n为奇数时nan=a；
当n为偶数时nan={a,a≥0?a,a<0,特别是开方时一定要注意结果的符号.
12.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过3小时，这种细菌由一个可繁殖成______个.
【答案】512
【解析】
【分析】
先算出经过3小时细胞分裂的次数，利用有理数指数幂，求解即可．
【详解】
∵3小时＝180分钟，
∴经过3小时细胞分裂的次数为18020=9（次），
∴经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成29＝512个．
故答案为512．
【点睛】
本题考查的是有理数指数幂的应用，根据题意求出经过3小时细胞分裂的次数是解答此题的关键，属于基础题．
三、解答题(共 40 分)
13.化简：
（1）(32×3)6+(?2018)°?4×1649?12+4(3?π)4
（2）a32?1a+a12+1?a+a12a12+1+a?1a12?1.
【答案】（1）99+π；（2）a12.
【解析】
【分析】
（1）直接利用公式化简得到答案.
（2）利用立方差公式，化简得到答案.
【详解】
（1）原式=(32×3)6+(?2018)°?4×1649?12+4(3?π)4=108+1?7+π?3=99+π
（2）原式=a12?1?a+a12+1a+a12+1?a32?a+a?a12?a32+a12?a+1a?1 =a12?1?1?aa?1=a12.
【点睛】
本题考查了指数运算，意在考查学生的计算能力.
14.计算：（1）614?（π?1）0?（338）13+（164）?23；
（2）(0.09)?12?(?17)?2+(279)12?(2?1)0
（3）已知x＞0，化简(2x14+332)(2x14?332)?4x?12(x?x12)
【答案】（1）16 ，（2）?45，（3）?23
【解析】
【分析】
（1）利用幂运算，指数运算法则计算得到答案.
（2）利用幂运算，指数运算法则计算得到答案.
（3）将式子展开化简得到答案.
【详解】
（1）614?（π?1）0?（338）13+（164）?23=52?1?32+16=16
（2）(0.09)?12?(?17)?2+(279)12?(2?1)0=103?49+53?1=?45
（3）(2x14+332)(2x14?332)?4x?12(x?x12)=4x12?33?4x12+4=?23
【点睛】
本题考查了幂运算和指数运算，意在考查学生的计算能力.