《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 必修（第一册）同步练习：4.3对数与指数混合问题（Word含解析）

1084580011391900《作业推荐》—4.3对数与指数混合问题
一、单选题(共 32 分)
1.已知a=logπe，b=lnπe，c=lne2π，则（ ）
A.a2.若实数x，y满足3x=7y=21，则1x+1y=（ ）
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.已知a=log45，b=12log23，c=eln2，则a，b，c满足（ ）
A.a4.设a=log0.12，b=log302，则（ ）
A.2ab>a+b>32ab B.2ab C.aba+b>32ab
5.已知a=log32，b=log56，c=ln2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a6.设a=215，b=(14)13，c=log212，则（ ）
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
7.已知函数f(x)＝log2x,x>03?x+1,x≤0则f(f(1))＋f(log312)的值是(　　)
A.5 B.3 C.－1 D.72
8.通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1?,?E2，则E1和E2的关系为（ ）
A.E1=32E2 B.E1=64E2 C.E1=1000E2 D.E1=1024E2
二、填空题(共 23 分)
9.已知6a=2b=9，则1a?1b=_______．
10.若a=log23，b=log48，c=log58，则a,?b,?c的从大到小顺序为______________.
11.已知log53=a，log54=b，则log2512=______（用a，b表示）．
12.比较下列各对数的大小（填“>”“<”或“=”）：
（1）log33.1____________log33.2；（2）log13π________log133；
（3）lg35________lg47；（4）ln9___________lnπ2；
（5）log34_______log73；（6）log312_______log512；
（7）log3.14π_________1；（8）lg0.9__________0.
三、解答题(共 45 分)
13.(1)若6x=5y=a,且1x+1y=1,求a的值.
(2)已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,1x+1y+1z=0,求abc的值.
14.已知lg2≈0.3010,lg7≈0.8451，求lg35的近似值（精确到0.0001）.
15.化简、求值：
（1）化简：a23b12??3a12b13÷13a16b56；
（2）已知log2log3lgx=0，求实数x的值；
（3）计算：lg22+lg2?lg50+lg25．
1084580011391900《作业推荐》—4.3对数与指数混合问题
一、单选题(共 32 分)
1.已知a=logπe，b=lnπe，c=lne2π，则（ ）
A.a 【答案】B
【解析】
【分析】
因为b+c=1，分别与中间量12做比较，作差法得到b<1212，最后利用作差法比较a、c的大小即可.
【详解】
解：因为b+c=1，分别与中间量12做比较，b?12=12lnπ2e2?lne=12lnπ2e3<0，c?12=12lne4π2?lne=12lne3π2>0，则b<1212，a?c=1lnπ?2?lnπ=1lnπ+lnπ?2>0，所以b故选：B.
【点睛】
本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.
2.若实数x，y满足3x=7y=21，则1x+1y=（ ）
A.-2 B.2 C.-1 D.1
【答案】D
【解析】
【分析】
取对数表示出x,y，再代入1x+1y计算．
【详解】
由3x=21得lg3x=lg21，即xlg3=lg21，
所以x=lg21lg3，同理y=lg21lg7，
所以1x+1y=lg3lg21+lg7lg21=lg3+lg7lg21=lg21lg21=1.
故选：D．
【点睛】
本题考查对数的定义和运算，掌握对数的定义是解题关键．
3.已知a=log45，b=12log23，c=eln2，则a，b，c满足（ ）
A.a 【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小.
【详解】
a=log45=12log25=log25
b=12log23=log23 ，
∵y=log2x是单调递增函数，
∴1c=eln2=2，
∴a故选：A
【点睛】
本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.
4.设a=log0.12，b=log302，则（ ）
A.2ab>a+b>32ab B.2ab C.aba+b>32ab
【答案】B
【解析】
【分析】
a=log0.12=1log20.1，b=log302=1log230，然后运用对数的运算性质分别判断出a+b?2ab和a+b?32ab的符号即可.
【详解】
由对数的性质得：a=log0.12=1log20.1，b=log302=1log230
所以a+b?2ab=1log20.1+1log230?2log20.1×log230
=log20.1+log230?2log20.1×log230=log23?2log20.1×log230
因为log23<2,log20.1<0,log230>0
所以a+b?2ab>0，即a+b>2ab
a+b?32ab=1log20.1+1log230?32log20.1×log230
=2log20.1+2log230?32log20.1×log230=2log23?32log20.1×log230
因为2log23?3=log29?log28>0
所以a+b?32ab<0，即a+b<32ab
综上：2ab故选：B
【点睛】
作差法是比较大小的常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.
5.已知a=log32，b=log56，c=ln2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a 【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象与性质，求得a 【详解】
由题意，根据对数的性质，可得a=log32∈(0,1)，b=log56∈(1,+∞)，
又由a=log32=1log23，c=ln2=1log2e，
因为3>e，所以log23>log2e>1，可得a所以a故选：A.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得a,b,c的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6.设a=215，b=(14)13，c=log212，则（ ）
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
【答案】A
【解析】
【分析】
c=log212=?1，由指数函数的单调性有a=215>20=1，0 【详解】
由指数函数的单调性有a=215>20=1，0又c=log212=?1，则a>b>c,
故选：A
【点睛】
本题考查对数运算，指数函数的单调性，利用函数单调性比较大小,属于基础题.
7.已知函数f(x)＝log2x,x>03?x+1,x≤0则f(f(1))＋f(log312)的值是(　　)
A.5 B.3 C.－1 D.72
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出f(f(1))和f(log312)的值，即得解.
【详解】
由题意可知f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
flog312＝3?log312＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，
所以f(f(1))＋flog312＝5.
故选A
【点睛】
本题主要考查分段函数求值，考查指数和对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8.通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1?,?E2，则E1和E2的关系为（ ）
A.E1=32E2 B.E1=64E2 C.E1=1000E2 D.E1=1024E2
【答案】C
【解析】
【分析】
考虑lgE1?lgE2的值，再利用指对数转换可得E1和E2的关系.
【详解】
由题设可得lgE1?lgE2=1.5×2，故E1E2=103=1000，
故选：C.
【点睛】
本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本题属于容易题.
二、填空题(共 23 分)
9.已知6a=2b=9，则1a?1b=_______．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据指数和对数的关系进行互化,借助对数的运算性质即可求解.
【详解】
∵6a=2b=9，∴a=log69，b=log29，
即1a?1b=log96?log92=log93=12．
故答案为:12.
【点睛】
本题考查指数与对数的互化,考查对数的运算性质,难度较易.
10.若a=log23，b=log48，c=log58，则a,?b,?c的从大到小顺序为______________.
【答案】a>b>c
【解析】
【分析】
首先利用对数运算比较a,b的大小，同理利用对数运算比较b,c的大小，由此得到a,b,c大小关系.
【详解】
由于b=log48=12log28=log28b.
由b=log48=1log84>1log85=c，即b>c.所以a>b>c.
故答案为：a>b>c
【点睛】
本题考查了对数的运算，考查了根据对数的单调性比较大小，属于基础题.
11.已知log53=a，log54=b，则log2512=______（用a，b表示）．
【答案】a+b2
【解析】
【分析】
由对数的运算loganbm=mnlogab，logax+logay=logaxy，代入运算即可得解.
【详解】
解：因为log53=a，log54=b，
又log2512=12log512=12(log53+log54)=a+b2，
即log2512=a+b2
故答案为：a+b2
【点睛】
本题考查了对数的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
12.比较下列各对数的大小（填“>”“<”或“=”）：
（1）log33.1____________log33.2；（2）log13π________log133；
（3）lg35________lg47；（4）ln9___________lnπ2；
（5）log34_______log73；（6）log312_______log512；
（7）log3.14π_________1；（8）lg0.9__________0.
【答案】 (1). < (2). < (3). > (4). < (5). > (6). < (7). > (8). <
【解析】
【分析】
直接利用对数函数的单调性得到答案.
【详解】
根据对数函数单调性知：
log33.1lg47，ln9log34>log33=1，log73log73；
0>log123>log125，故log312=1log123<1log125=log512；
log3.14π>log3.143.14=1，lg0.9【点睛】
本题考查了换底公式，利用对数函数的单调性比较大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
三、解答题(共 45 分)
13.(1)若6x=5y=a,且1x+1y=1,求a的值.
(2)已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,1x+1y+1z=0,求abc的值.
【答案】(1)30(2)1
【解析】
【分析】
（1）将指数式化为对数式，结合对数运算，化简求得a的值.
（2）将指数式化为对数式，结合对数运算，化简求得abc的值.
【详解】
(1)∵6x=5y=a,∴xlg6=lga,ylg5=lga.
∴1x=lg6lga=loga6,1y=lg5lga=loga5.
∴1x+1y=loga6+loga5=loga30=1.∴a=30.
(2)设ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正数,
∴lgax=lgk,lgby=lgk,lgcz=lgk.
∴x=logak,y=logbk,z=logck.∴1x=logka,1y=logkb,1z=logkc.
∵1x+1y+1z=0,∴logka+logkb+logkc=0.
即logk(abc)=0.∴abc=1.
【点睛】
本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.
14.已知lg2≈0.3010,lg7≈0.8451，求lg35的近似值（精确到0.0001）.
【答案】1.5441.
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则，用lg2,lg7将lg35表示出来即可.
【详解】
解：lg35=lg5+lg7=1?lg2+lg7≈1?0.3010+0.8451=1.5441，
∴lg35的近似值约为1.5441
【点睛】
本题考查对数的运算法则的应用，属于基础题.
15.化简、求值：
（1）化简：a23b12??3a12b13÷13a16b56；
（2）已知log2log3lgx=0，求实数x的值；
（3）计算：lg22+lg2?lg50+lg25．
【答案】（1）?9a（2）1000（3）2
【解析】
【分析】
（1）利用指数的运算法则计算即可（2）根据对数的性质化简即可（3）利用对数的运算法则化简求值即可.
【详解】
（1）a23b12??3a12b13÷13a16b56=?9a23+12?16b12+13?56=?9ab0=?9a
（2）∵log2log3lgx=0，
∴log3lgx=1，
∴lgx=3，
∴x=103=1000，
（3）lg22+lg2?lg50+lg25=lg22+lg2?(2?lg2)+lg25
=lg22?(lg2)2+2lg2+2lg5
=2(lg2+lg5)=2
【点睛】
本题主要考查了指数运算法则，对数运算法则，对数的性质，属于中档题.