《作业推荐》高中数学人教A版(2019) 必修(第一册)同步练习:4.5函数的应用(二)抽象函数问题(Word含解析)

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名称 《作业推荐》高中数学人教A版(2019) 必修(第一册)同步练习:4.5函数的应用(二)抽象函数问题(Word含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-07-30 23:06:25

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1131570011747500《作业推荐》—4.5函数的应用(二)抽象函数问题
一、单选题(共 40 分)
1.函数f2x?2定义域是?1,2,则fx定义域是( )
A.?4,0 B.?4,2 C.?2,4 D.?1,2
2.已知函数y=fx的定义域为0,2,则函数y=f?2x的定义域为( )
A.?1,0 B.0,2 C.?2,0 D.?1,+∞
3.若函数f(x2+1)的定义域为[?2,1),则f(x)定义域为( )
A.2,5 B.1,5 C.1,2 D.(2,5]
4.定义在R上的函数fx对一切实数x、y都满足fx≠0,且fx+y=fx?fy,已知fx在0,+∞上的值域为0,1,则fx在R上的值域是( )
A.R B.0,1 C.0,+∞ D.0,1∪1,+∞
5.函数y=f(x+a)为偶函数,则下列关于函数y=fx的说法正确的是( )
A.关于直线x=a对称 B.关于直线x=?a对称
C.关于点a,0中心对称 D.关于点?a,0中心对称
6.已知f(x)是定义在R的函数,若y=f(x+1)为偶函数,且f(2+x)=?f(2?x),则f(x)是( )
A.周期为2的奇函数 B.周期为4的奇函数
C.周期为2的偶函数 D.周期为4的偶函数
7.已知函数fx=1,x是有理数0,x是无理数,则下列判断中是真命题的有( ).
①?x∈R,ffx=1;②fx是偶函数;③对于任意一个非零有理数T,?x∈R,fx+T=fx;④存在三个点Ax1,fx1,Bx2,fx2,Cx3,fx3,使得△ABC为等边三角形.
A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.②③④
8.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:①对任意的x1,x2∈[4,8],当x10;②f(x+4)=?f(x);③y=f(x+4)是偶函数;若a=f(4),b=f(11),c=f(2018),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a二、填空题(共 25 分)
9.函数y=f(x)的值域是[?1,1],则函数y=2f(x+1)的值域为________
10.已知f(x)+3f(?x)=2x+1,则f(x)的解析式是________.
11.已知函数f(x)满足f(x)+2f1x=x,则函数f(x)的解析式为_______.
12.已知fx?1=x+2x+2,则fx=____.(写出定义域)
13.对x∈R,y∈R,已知fx+y=fx?fy,且f1=2,则f2f1+f3f2+f4f3+…+f2015f2014+f2016f2015的值为__________.
三、解答题(共 35 分)
14.已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)证明:f(x)是偶函数;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
15.已知函数fx的定义域为R,且对任意的x,y∈R有fx+y=fx+fy. 当x>0时,fx>0,f1=2.
(1)求f0并证明fx的奇偶性;
(2)判断fx的单调性并证明;
(3)求f(3);若f4x?a+f6+2x+1>6对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
16.定义域为R的函数fx满足:对于任意的实数x,y都有fx+y=fx+fy成立,且当x<0时, fx>0恒成立,且nfx=fnx,(n是一个给定的正整数).
(1)判断函数fx的奇偶性,并证明你的结论;
(2)判断并证明fx的单调性;若函数fx在?2,5上总有fx≤10成立,试确定f1应满足的条件;
(3)当a<0时,解关于x的不等式1nfax2?nfx>1nfa2x?nfa.
1131570011747500《作业推荐》—4.5函数的应用(二)抽象函数问题
一、单选题(共 40 分)
1.函数f2x?2定义域是?1,2,则fx定义域是( )
A.?4,0 B.?4,2 C.?2,4 D.?1,2
【答案】B
【解析】
【分析】
由x∈?1,2计算出2x?2的取值范围,进而可得出函数y=fx的定义域.
【详解】
当x∈?1,2时,2x?2∈?4,2,因此,函数y=fx的定义域为?4,2.
故选:B.
【点睛】
本题考查抽象函数定义域的求解,解题时要注意以下两点:(1)定义域为自变量的取值范围;(2)中间变量的取值范围一致.考查计算能力,属于基础题.
2.已知函数y=fx的定义域为0,2,则函数y=f?2x的定义域为( )
A.?1,0 B.0,2 C.?2,0 D.?1,+∞
【答案】A
【解析】
【分析】
由f(x)的定义域为0,2,列出不等式,即可求解y=f?2x的定义域.
【详解】
因为f(x)的定义域为0,2,
要使得函数f(?2x)有意义,
则可得0≤?2x≤2,解得?1≤x≤0.
故选:A.
【点睛】
本题考查抽象函数定义域的求解,属基础题.
3.若函数f(x2+1)的定义域为[?2,1),则f(x)定义域为( )
A.2,5 B.1,5 C.1,2 D.(2,5]
【答案】B
【解析】
【分析】
利用fx2+1的定义域,求解出x2+1的取值范围,即为fx的定义域.
【详解】
因为f(x2+1)的定义域为?2,1,所以x2+1∈1,5,
所以fx中x∈1,5,所以fx的定义域为1,5.
故选:B.
【点睛】
本题考查抽象函数的定义域求解,难度较易.已知fgx的定义域,求解fx的定义域的方法:根据fgx的定义域求解出gx的值域,即为fx的定义域.
4.定义在R上的函数fx对一切实数x、y都满足fx≠0,且fx+y=fx?fy,已知fx在0,+∞上的值域为0,1,则fx在R上的值域是( )
A.R B.0,1 C.0,+∞ D.0,1∪1,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
令x=y=0,可得f(0)=f(0)?f(0)∴f(0)=1,再令y=?x,可得f(0)=f(x)?f(?x)=1,得到fx在?∞,0上的值域为1,+∞,即得解.
【详解】
因为定义在R上的函数fx对一切实数x、y都满足fx≠0,且fx+y=fx?fy,
令x=y=0,可得f(0)=f(0)?f(0)∴f(0)=1,
再令y=?x,可得f(0)=f(x)?f(?x)=1,
又fx在0,+∞上的值域为0,1,因此fx在?∞,0上的值域为1,+∞
则fx在R上的值域是0,+∞.
故选:C
【点睛】
本题考查了抽象函数的值域问题,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,属于较难题.
5.函数y=f(x+a)为偶函数,则下列关于函数y=fx的说法正确的是( )
A.关于直线x=a对称 B.关于直线x=?a对称
C.关于点a,0中心对称 D.关于点?a,0中心对称
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数定义,可得fx+a=f?x+a,然后再根据函数的对称性定义,即可得出结果.
【详解】
因为y=fx+a为偶函数,所以fx+a=f?x+a,所以函数y=fx关于直线x=a对称,故选A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和对称性,熟练掌握函数对称性定义是解题的关键,属于基础题.
6.已知f(x)是定义在R的函数,若y=f(x+1)为偶函数,且f(2+x)=?f(2?x),则f(x)是( )
A.周期为2的奇函数 B.周期为4的奇函数
C.周期为2的偶函数 D.周期为4的偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】
利用y=f(x+1)为偶函数,可得f(x+2)=f(?x),结合f(2+x)=?f(2?x)可得周期,然后利用周期及f(2+x)=?f(2?x)可得奇偶性.
【详解】
因为y=f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)=f(?x+1),f(x+2)=f(?x),
因为f(2+x)=?f(2?x),所以f(4+x)=?f(?x),
所以f(4+x)=?f(x+2),即周期为4;
由f(2+x)=?f(2?x),f(2+x?4)=f(2+x)得f(x?2)=?f(2?x),即有f(x)=?f(?x),所以为奇函数.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查函数性质,综合了周期性和奇偶性,转化为周期的常见形式是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.
7.已知函数fx=1,x是有理数0,x是无理数,则下列判断中是真命题的有( ).
①?x∈R,ffx=1;②fx是偶函数;③对于任意一个非零有理数T,?x∈R,fx+T=fx;④存在三个点Ax1,fx1,Bx2,fx2,Cx3,fx3,使得△ABC为等边三角形.
A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.②③④
【答案】B
【解析】
【分析】

①根据函数的对应法则,可知无论x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1;
②根据函数奇偶性的定义,可得f(x)是偶函数;
③根据函数的表达式,结合有理数和无理数的性质;
④取x1=?33,x2=0,x3=33,可得A33,0,B(0,1),C?33,0,三点恰好构成等边三角形.
【详解】
①∵当x为有理数时,f(x)=1;当x为无理数时,f(x)=0,
∴当x为有理数时,ffx=f(1)=1;当x为无理数时,ffx=f(0)=1,
即无论x是有理数还是无理数,均有ffx=1,故①正确;
②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,
∴对任意x∈R,都有f(?x)=f(x),故②正确;
③若x是有理数,则x+T也是有理数; 若x是无理数,则x+T也是无理数,
∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故③正确;
④取x1=?33,x2=0,x3=33,可得fx1=0,fx2=1,fx3=0,
∴A33,0,B(0,1),C?33,0,恰好△ABC为等边三角形,故④正确.
即真命题的个数是4个,
故选:B.
【点睛】
本题给出特殊函数表达式,求函数的值并讨论它的奇偶性,着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识,属于中档题.
8.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:①对任意的x1,x2∈[4,8],当x10;②f(x+4)=?f(x);③y=f(x+4)是偶函数;若a=f(4),b=f(11),c=f(2018),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a 【答案】A
【解析】
【分析】
由①可知,函数fx在区间[4,8]上为增函数,由②可知,函数fx的周期为8,由③可知,f?x+4=fx+4,即函数fx的图象关于直线x=4对称,进而可得b=f(11)=f3=f5,c=f2018=f252×8+2=f2=f6,结合函数fx区间[4,8]上的单调性,比较大小即可.
【详解】
对于条件①,
对任意的x1,x2∈[4,8],当x10,
即,对任意的x1,x2∈[4,8],当x1由单调性的定义可得,函数fx在区间[4,8]上为增函数,
对于条件②,
f(x+4)=?f(x),则f(x+8)=?f(x+4)=f(x),
因此函数fx的周期为8,
对于条件③,
y=f(x+4)是偶函数,
则f(x+4)=f(?x+4),即函数fx的图象关于直线x=4对称,
∴ b=f(11)=f3=f5,
c=f2018=f252×8+2=f2=f6,
又函数fx在区间[4,8]上为增函数,
∴ f4故选:A.
【点睛】
本题考查了抽象函数的应用,考查了函数的单调性、周期性以及对称性,考查了转化能力,属于中档题.
二、填空题(共 25 分)
9.函数y=f(x)的值域是[?1,1],则函数y=2f(x+1)的值域为________
【答案】[?2,2]
【解析】
【分析】
根据平移的相关知识知,函数y=f(x)与函数y=f(x+1)的值域相同,而函数y=2f(x+1)是由函数y=f(x+1)中的x值不变,y值变为原来的2倍得到,即可求出.
【详解】
因为函数y=f(x)的值域是[?1,1],将函数y=f(x)图象向左平移一个单位,得到函数y=f(x+1),其值域仍是[?1,1],而函数y=2f(x+1)是由函数y=f(x+1)中的x值不变,y值变为原来的2倍得到,所以其值域为[?2,2].
故答案为[?2,2].
【点睛】
本题主要考查由简单函数的值域求复合函数的值域.
10.已知f(x)+3f(?x)=2x+1,则f(x)的解析式是________.
【答案】f(x)=?x+14.
【解析】
【分析】
将等式f(x)+3f(?x)=2x+1中的x换为?x,建立二元一次方程组求解即可得出f(x)的解析式.
【详解】
将等式f(x)+3f(?x)=2x+1中的x换为?x得到:f(?x)+3f(x)=?2x+1
故有f(x)+3f(?x)=2x+1f(?x)+3f(x)=?2x+1解得:f(x)=?x+14
故答案为:f(x)=?x+14
【点睛】
本题主要考查了求抽象函数的解析式,属于基础题.
11.已知函数f(x)满足f(x)+2f1x=x,则函数f(x)的解析式为_______.
【答案】f(x)=?x3+23x
【解析】
【分析】
令f(1x)+2f(x)=1x,联立f(x)+2f(1x)=x消去f(1x)即可
【详解】
因为f(x)+2f(1x)=x,所以f(1x)+2f(x)=1x,
由f(x)+2f(1x)=xf(1x)+2f(x)=1x,消去f(1x),得f(x)=?x3+23x,
故答案为:f(x)=?x3+23x
【点睛】
本题考查方程组法求函数解析式,属于基础题
12.已知fx?1=x+2x+2,则fx=____.(写出定义域)
【答案】f(x)=x2+4x+5定义域?1,+∞
【解析】
【分析】
根据题意,利用换元法求函数的解析式.
【详解】
设t=x?1∴t≥?1
所以fx?1=x+2x+2=(x?1)2+4x+1=(x?1)2+4(x?1)+5,
可变形为:f(t)=t2+4t+5
所以:f(x)=x2+4x+5,定义域?1,+∞.
【点睛】
本题考查了换元法求函数解析式,考查了学生转化与划归,数学运算的能力,属于基础题.
13.对x∈R,y∈R,已知fx+y=fx?fy,且f1=2,则f2f1+f3f2+f4f3+…+f2015f2014+f2016f2015的值为__________.
【答案】4030
【解析】
【分析】
在已知等式f(x+y)=f(x)·f(y)中,取y=1,可得f(x+1)f(x)=2,由此求得f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+…+f(2015)f(2014)+f(2016)f(2015)的值.
【详解】
令y=1,则f(x+1)=f(x)·f(1)=2f(x),
即f(x+1)f(x)=2,
则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+…+f(2015)f(2014)+f(2016)f(2015)=2+2+…+2=2×2015=4030.
故答案为:4030.
【点睛】
本题主要考查函数值的计算,利用赋值法是解决抽象函数的常用方法,是中档题.
三、解答题(共 35 分)
14.已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)证明:f(x)是偶函数;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)?102,?22∪?22,22∪22,102
【解析】
【分析】
(1)令x1=x2=1,求得f1=0,再由x1=x2=?1,求得f?1=0,进而得出f?x=?fx,即可得到证明;
(2)根据函数的单调性的定义,即可证得函数的为单调递增函数;
(3)由(1)(2)可把不等式f(2x2?1)<2 转化为f(2x2?1)【详解】
(1)证明 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(-1)=0,
∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)证明 设x2>x1>0,
则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)
=f(x1)+f()-f(x1)=f(),
∵x2>x1>0,∴>1.
∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解 ∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2.
又∵f(x)是偶函数,
∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴|2x2-1|<4.
解得-102 即不等式的解集为?102,?22∪?22,22∪22,102.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的定义法证明,以及函数的单调性的应用,其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义,合理运算、化简是解答的关键,同时考查了转化思想的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
15.已知函数fx的定义域为R,且对任意的x,y∈R有fx+y=fx+fy. 当x>0时,fx>0,f1=2.
(1)求f0并证明fx的奇偶性;
(2)判断fx的单调性并证明;
(3)求f(3);若f4x?a+f6+2x+1>6对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)0,证明见解析,f(x)为奇函数;(2)f(x)单调递增,证明见解析;(3)a≤3.
【解析】
【分析】
(1)令x=y=0,求解f(0)=0.根据f(0)=f(x?x)=f(x)+f(?x)判奇偶即可.
(2)f(x)在R上是增函数,任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1﹣x2>0,可证得f(x1?x2)>0,即有f(x1)>f(x2),得到结果;
(3)通过f(3)=f(2)+f(1)=f1+f1+f1求解即可.由f(3)=6,f(4x﹣a)+f(6+2x+1)>6转化为f(4x﹣a+6+2x+1)>f(3)恒成立.利用函数的单调性,构造函数,转化求解即可.
【详解】
(1)f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0,
又因为f(x)的定义域为R关于原点对称
f(0)=f(x?x)=f(x)+f(?x),∴f(?x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1﹣x2>0,
f(x1?x2)=f(x1)+f(?x2)=f(x1)?f(x2),
因为x1?x2>0,∴f(x1?x2)>0,
所以f(x1)?f(x2)>0,f(x)单调递增.
(3)∵f3=f2+f1=f1+f1+f1=6,
若f4x?a+f6+2x+1>6= f3,
∴f(4x?a+6+2x+1)> f3,由(2)知f(x)单调递增,
∴4x?a+6+2x+1>3,
所以a<(2x)2+2?2x+3=(2x+1)2+2,
∴a≤3.
【点睛】
本题考查函数的恒成立的应用,涉及抽象函数求值和奇偶性、单调性的证明及应用,利用赋值法是关键,属于中档题.
16.定义域为R的函数fx满足:对于任意的实数x,y都有fx+y=fx+fy成立,且当x<0时, fx>0恒成立,且nfx=fnx,(n是一个给定的正整数).
(1)判断函数fx的奇偶性,并证明你的结论;
(2)判断并证明fx的单调性;若函数fx在?2,5上总有fx≤10成立,试确定f1应满足的条件;
(3)当a<0时,解关于x的不等式1nfax2?nfx>1nfa2x?nfa.
【答案】(1)fx为奇函数,证明见解析;(2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,证明见解析;f(1)∈[-5,0)(3)①当an2a或xa或x【解析】
【分析】
(1)利用函数奇偶性的定义,结合抽象函数关系,利用赋值法进行证明;
(2)结合函数单调性的定义以及最值函数成立问题进行证明即可;
(3)利用抽象函数关系,结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式,讨论参数的范围进行求解即可;
【详解】
(1)f(x)为奇函数,证明如下;
由已知对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?恒成立.
令?x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0.
所以对于任意x,都有f(-x)=-f(x).
所以f(x)是奇函数.
(2)设任意x1,x2且x1<x2,则x2﹣x1>0,由已知f(x2﹣x1)<0,
又f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2)﹣f(x1)<0
得f(x2)<f(x1),
根据函数单调性的定义知f(x)在(﹣∞,+∞) 上是减函数.
所以f(x)在[﹣2,5]上的最大值为f(﹣2).
要使f(x)≤10恒成立,当且仅当f(﹣2)≤10,
又因为f(﹣2)=﹣f(2)=﹣f(1+1)=﹣2f(1)
所以f(1)≥﹣5.
又x>1,f(x)<0,
所以f(1)∈[﹣5,0).
(3)∵1nfax2?nfx>1nfa2x?nfa.,
∴f(ax2)-f(a2x)>n2[f(x)-f(a)].
所以f(ax2-a2x)>n2f(x-a),
所以f(ax2-a2x)>f[n2(x-a)],
因为f(x)?在?(-∞,+∞)?上是减函数,
所以ax2-a2x<n2(x-a).
即(x-a)(ax-n2)<0,
因为a<0,所以(x-a)(x?n2a)>0.
讨论:
①当a<n2a<0,即a<-n时,原不等式的解集为{x|x>n2a或x<a};
②当a=n2a,即a=-n时,原不等式的解集为{x|x≠-n};
③当n2a<a<0,即-n<a<0?时,原不等式的解集为{x|x>a或x<n2a}.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的应用,利用函数奇偶性和单调性的定义,利用赋值法是解决本题的关键.考查学生的转化能力,综合性较强,有一定的难度.