《作业推荐》高中数学人教A版（2019） 必修（第一册）同步练习：4.5函数的应用（二）函数零点模块（Word含解析）

1215390011493500《作业推荐》—4.5函数的应用（二）函数零点模块
一、单选题(共 36 分)
1.方程(12)x?x12=0 有解x0，则x0在下列哪个区间（ ）
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
2.函数f(x)=log3x?32x在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（ ）
A.1,32 B.32,2 C.2,52 D.52,3
3.函数fx=3xlog2x?1的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设函数fx=2x,x<1x?3,x≥1，则函数gx=fx?12x?1的零点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知函数fx=x?1x?2+x?1x?3+x?2x?3有两个零点，这两个零点所在的区间为（ ）
A.?∞,1∪2,3 B.1,2∪3,+∞
C.?∞,1∪3,+∞ D.1,2∪2,3
6.已知函数f(x)=log2x,x>0，?x2?2x,x≤0.关于x的方程f(x)=m,m∈R，有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的取值范围为（ ）
A.(0,+∞) B.0,12 C.1,32 D.(1,+∞)
7.函数fx=2log2x,x≥1,fx+1,x<1,，若方程fx=?2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
A.?∞,4 B.?∞,4 C.?2,4 D.?2,4
8.函数fx=1?x2,|x|≤1|x|,|x|>1，若方程fx=a有且只有一个实数根，则实数a满足（ ）
A.a=1 B.a>1 C.0≤a<1 D.a<0
9.已知函数f(x)=x3?3x,x≤0,x+ax,x>0,下列关于函数y=f(f(x))?2的零点个数判断正确的是（ ）
A.当a>0时，至少有2个零点 B.当a>0时，至多有9个零点
C.当a<0时，至少有4个零点 D.当a<0时，至多有4个零点
二、填空题(共 24 分)
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2?2x． 若关于x 的方程f(x)?m=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是_____．
11.已知函数f(x)=(12)x?2?k ,若函数f(x)有两个不同零点，则实数k取值范围是______
12.已知函数fx=4x?x2,x≥01x,x<0，若函数gx=fx?b有两个零点，则实数b的取值范围为__________.
13.定义在R上的函数fx满足fx=?fx+2，fx=f2?x，且当x∈0,1时，fx=x2，则方程fx=1x?2在?8,10上所有根的和为______________
14.已知函数fx=x+4x,015.若定义在R上的函数y=fx，其图像是连续不断的，且存在常数k(k∈R)使得fx+k+kfx=0对任意实数x都成立，则称y=fx是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.
①fx=3x是一个“k～特征函数”；②fx=x?3不是“k～特征函数”；
③fx=0是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点；
三、解答题(共 40 分)
16.已知定义在R上的函数fx=?x2+4x,x≤ax?2,x>a.
（1）当a=1时，写出fx的单调区间；
（2）若关于x的方程fx=a有三个不等的实根，求实数a的取值范围.
17.已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；
(2)若函数g(x)＝1x－f(2x)－a的图象在12,+∞上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围.
1215390011493500《作业推荐》—4.5函数的应用（二）函数零点模块
一、单选题(共 36 分)
1.方程(12)x?x12=0 有解x0，则x0在下列哪个区间（ ）
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数fx=12x?x12，判断函数在定义域上为单调减函数，分析可得f（0）＞0，f（1）＜0，用零点存在定理判断即可．
【详解】
根据题意，构造函数fx=12x?x12，函数在0,+∞上单调递减，
∵f0=1>0，f1=12?1=?12<0，
∴函数fx=12x?x12的零点在区间(0,1)上，
故选：B
【点睛】
本题考查方程与函数之间的联系，考查零点存在定理的运用，关键是掌握函数零点的判定定理．
2.函数f(x)=log3x?32x在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（ ）
A.1,32 B.32,2 C.2,52 D.52,3
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求得f(1),f(32),f(2),f(52),f(3),进而根据零点存在性定理进行判断即可
【详解】
由题,f(1)=?32<0,f(32)=log332?1=log332?log33=log312<0,
f(2)=log32?34=log32?log3334=log32433=log341627<0,
f(52)=log352?35=log352?log3335=log352527>log352532=log354>0,
f(3)=1?12=12>0,
因此,f(2)?f(52)<0,则函数f(x)的零点在区间[2,52]内,
故选：C
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,考查对数的运算
3.函数fx=3xlog2x?1的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
函数的零点转化为方程3xlog2x?1=0的解，转化为函数y=log2x与y=13x的交点，数形结合即可解得.
【详解】
解：函数fx=3xlog2x?1的零点，即方程3xlog2x?1=0的解，
即log2x=13x，转化为函数y=log2x与y=13x的交点，
在同一平面直角坐标系上作出函数y=log2x与y=13x的图象，如下所示：
从函数图象可知，y=log2x与y=13x有两个交点，即方程3xlog2x?1=0有两个实数根，即函数fx=3xlog2x?1有两个零点，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点，体现了函数方程思想及数形结合思想，属于基础题.
4.设函数fx=2x,x<1x?3,x≥1，则函数gx=fx?12x?1的零点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
由gx=fx?12x?1得fx=12x+1，
作出fx与y=12x+1的图象，由图象知两个函数共有4个交点，
则函数gx的零点个数为4个，
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合或者定义法是解决本题的关键．
5.已知函数fx=x?1x?2+x?1x?3+x?2x?3有两个零点，这两个零点所在的区间为（ ）
A.?∞,1∪2,3 B.1,2∪3,+∞
C.?∞,1∪3,+∞ D.1,2∪2,3
【答案】D
【解析】
【分析】
可利用零点存在定理进行求解
【详解】
由零点存在定理，得f1=1?21?3=2，f2=2?12?3=?1，
f3=3?13?2=2，f1?f2<0,f2?f3<0，则零点区间在1,2和2,3内
故选：D
【点睛】
本题考查函数零点存在定理的应用，属于基础题
6.已知函数f(x)=log2x,x>0，?x2?2x,x≤0.关于x的方程f(x)=m,m∈R，有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的取值范围为（ ）
A.(0,+∞) B.0,12 C.1,32 D.(1,+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意作函数y=f(x)与y=m的图象，从而可得x1+x2=?2，0 【详解】
解：因为f(x)=log2x,x>0，?x2?2x,x≤0.，可作函数图象如下所示：
依题意关于x的方程f(x)=m,m∈R，有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,即函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点，由图可知令x1则x1+x2=?2，?log2x3=log2x4，即log2x3+log2x4=0，所以x3x4=1，则x3=1x4，x4∈1,2
所以x1+x2+x3+x4=?2+1x4+x4，x4∈1,2
因为y=1x+x，在x∈1,2上单调递增，所以y∈2,52，即1x4+x4∈2,52
∴x1+x2+x3+x4=?2+1x4+x4∈0,12
故选：B
【点睛】
本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题
7.函数fx=2log2x,x≥1,fx+1,x<1,，若方程fx=?2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
A.?∞,4 B.?∞,4 C.?2,4 D.?2,4
【答案】A
【解析】
【分析】
令gx=?2x+m,分别画出fx与gx的图象,根据只有两个交点找到m的范围
【详解】
令gx=?2x+m,画出fx与gx的图象,
平移直线,当直线经过1,2时只有一个交点,此时m=4,向右平移,不再符合条件,故m<4
故选：A
【点睛】
本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想
8.函数fx=1?x2,|x|≤1|x|,|x|>1，若方程fx=a有且只有一个实数根，则实数a满足（ ）
A.a=1 B.a>1 C.0≤a<1 D.a<0
【答案】A
【解析】
【分析】
作出函数fx图像，数形结合，即可求出答案.
【详解】
做出函数fx图像，如下图所示：
fx=1有且只有一个实数根.
故选:A
【点睛】
本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.
9.已知函数f(x)=x3?3x,x≤0,x+ax,x>0,下列关于函数y=f(f(x))?2的零点个数判断正确的是（ ）
A.当a>0时，至少有2个零点 B.当a>0时，至多有9个零点
C.当a<0时，至少有4个零点 D.当a<0时，至多有4个零点
【答案】B
【解析】
【分析】
画出f(x)的图像,再分a>0,a<0两种情况分析复合函数的零点个数即可.
【详解】
先分析y=x3?3x,x≤0,y'=3x2?3,令y'=3x2?3=0,x=±1,故y=x3?3x,x≤0在
x=?1处取最大值2.
①当a>0时：
要取得最少的零点个数,则a>1,此时x+ax≥2x?ax=2a>2,x>0.此时函数图像如图.
故y=f(f(x))?2=0有f(f(x))=2,故f(x)=?1,由图得y=f(f(x))?2零点个数为1.故A错误.
要取得最多的零点个数,则此时00.如图
故y=f(f(x))?2=0有f(f(x))=2,所以f1(x)=?1,f2(x)=t1,f3(x)=t2.
当2a此时t+at=2即t2?2t+a=0在区间2a,2上有两根t1,t2.
故2a2?2×2a+a>022?2×2+a>0?22?4a>0 .求解得1625②当a<0时,函数y=x+ax为增函数,画出图像有
令y=f(f(x))?2=0有f1(x)=?1,f2(x)=t,其中t+at=2?t2?2t+a=0,由图知t>0,故t=1+1?a>2.故f1(x)=?1有2个零点, f2(x)=t有一个零点.故一共有3个零点.
所以C,D错误.
【点睛】
本题主要考查了数形结合解决复合函数的零点个数的问题,一般方法是画出图像再分析内层函数的函数值,再当成函数值求零点个数.属于难题.
二、填空题(共 24 分)
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2?2x． 若关于x 的方程f(x)?m=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是_____．
【答案】(?1,0)
【解析】
【分析】
若方程f(x)?m=0有四个不同的实数解，则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点，作出函数f(x)的图象，由数形结合法分析即可得答案．
【详解】
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且当x≥0时，f(x)=x2?2x，
所以函数f(x)图象关于y轴对称，
作出函数f(x)的图象：
若方程f(x)?m=0有四个不同的实数解，则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点，
由图象可知：?1故m的取值范围是(?1,0)，
故答案为：(?1,0)
【点睛】
本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.
11.已知函数f(x)=(12)x?2?k ,若函数f(x)有两个不同零点，则实数k取值范围是______
【答案】(0,2)
【解析】
【分析】
函数f(x)=(12)x?2?k有两个不同零点，转化为(12)x?2=k有2个不等实根，作出y=(12)x?2与y=k的图象，数形结合即可求解.
【详解】
由f(x)=(12)x?2?k=0可得(12)x?2=k，
作出y=(12)x?2与y=k的图象函数图象如图：
由图象可知，当k∈(0,2)时，图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点
故答案为：(0,2)
【点睛】
本题主要考查了函数零点，函数与方程，函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.
12.已知函数fx=4x?x2,x≥01x,x<0，若函数gx=fx?b有两个零点，则实数b的取值范围为__________.
【答案】4,+∞∪{0}
【解析】
【分析】
可将函数零点问题通过构造函数?(x)=|f(x)|,t(x)=b，采用数形结合思想进行求解
【详解】
令g(x)=|f(x)|?b=0，即|f(x)|=b，令?(x)=|f(x)|,t(x)=b，先画出?(x)=|f(x)|的图像，如图所示：
要使函数g(x)=|f(x)|?b有两个零点，即使?(x)与t(x)有两交点，即?(2)=4，故当b∈(4,+∞)时，函数g(x)=|f(x)|?b有两个零点，
故答案为：(4,+∞)∪{0}
【点睛】
本题考查函数与方程中由零点个数确定参数范围，构造函数法，数形结合思想的应用，属于中档题
13.定义在R上的函数fx满足fx=?fx+2，fx=f2?x，且当x∈0,1时，fx=x2，则方程fx=1x?2在?8,10上所有根的和为______________
【答案】16
【解析】
【分析】
根据fx=?fx+2推出周期,根据fx=?fx+2，fx=f2?x,以及当x∈0,1时，fx=x2,推出x∈[1,5]的解析式,根据解析式作出一个周期的图象,再根据周期得到函数在[?8,10]的图象,根据f(4?x)+f(x)=0得到f(x)的图象关于(2,0)成中心对称,由图可知8个交点分成4组 关于(2,0)成中心对称,由对称性可得答案.
【详解】
因为f(4?x)=f[2?(x?2)]=f(x?2),而f(x?2)=?f(x?2+2)=?f(x),
所以f(4?x)=?f(x),即f(4?x)+f(x)=0,
所以f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,
当x∈[0,1]时,f(x)=x2,
当x∈[1,2]时,2?x∈[0,1],所以f(x)=f(2?x)=(2?x)2,
当x∈[?1,0]时, x+2∈[1,2],所以f(x)=?f(x+2)=?[(2?(x+2)]2=?x2,
当x∈[2,3]时,2?x∈[?1,0],所以f(x)=f(2?x)=?(2?x)2=?(x?2)2,
又由f(x)=?f(x+2),得f(x+2)=?f(x+4),
所以f(x)=?[?f(x+4)]=f(x+4),所以f(x)的周期为4,
由此可得函数f(x)在[?8,10]内的图像和函数y=1x?2的图象,
如图所示:
因为方程fx=1x?2在?8,10上所有根的和等于函数y=f(x)与函数y=1x?2的交点的横坐标之和,
由图可知,两个函数共有8个交点,这8个交点的横坐标之和为4+4+4+4=16.
故答案为:16
【点睛】
本题考查了函数的周期性,对称性,数形结合思想,函数与方程思想,找到8个交点的对称性是解题关键,本题属于较难题.
14.已知函数fx=x+4x,0【答案】96,100
【解析】
【分析】
根据解析式画出图象，数形结合可得y∈(4,5)时，存在0【详解】
解：∵fx=x+4x,0可得函数图象如下所示
由图可知，当y∈(4,5)时，存在0不妨令此时y=a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2?ax+4=0，所以x1x2=4；
对于x3、x4满足方程?x2+10x?20=a，即?x2+10x?20?a=0，所以x3+x4=10，则有x4=10?x3，
∴x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10?x3)=?4(x3?5)2+100，
其中x3∈(4,5)，则?4(x3?5)2+100∈(96,100)，
即x1x2x3x4∈(96,100)
故答案为： (96,100)．
【点睛】
本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题．
15.若定义在R上的函数y=fx，其图像是连续不断的，且存在常数k(k∈R)使得fx+k+kfx=0对任意实数x都成立，则称y=fx是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.
①fx=3x是一个“k～特征函数”；②fx=x?3不是“k～特征函数”；
③fx=0是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点；
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数k(k∈R)使得f(x+k)+kf(x)=0对任意实数x都成立即可.
【详解】
①f(x)=3x，考虑f(x)=3x即：3x+k+3xk=0，3x(3k+k)=0，
考虑g(k)=3k+k,g(?1)=?23,g(0)=1，必存在k0∈(?1,0)使g(k0)=0，
即存在k0∈(?1,0)，使得f(x+k0)+k0f(x)=0对任意实数x都成立，所以①正确；
②f(x)=x?3，讨论f(x+k)+kf(x)=0，即x+k?3+k(x?3)=0
当x=2时，关于k的方程2+k?3+k(2?3)=0无解，
不存在k(k∈R)使f(x+k)+kf(x)=0对任意实数x都成立，
所以f(x)=x?3不是“k～特征函数”，所以②正确；
③设常数函数f(x)=m，讨论f(x+k)+kf(x)=0，即(1+k)m=0，
当k=?1时对任意实数x都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”，
所以③错误；
④设f(x)是“13～特征函数”， 则f(x)是定义在R上的连续函数，
且f(x+13)+13f(x)=0对任意实数x都成立，
下面利用反证法证明f(x)必有零点：
证明：假设f(x)没有零点，因为f(x)是定义在R上的连续函数，则f(x)>0恒成立，或f(x)<0恒成立；
当f(x)>0恒成立，则f(x+13)>0，f(x+13)+13f(x)>0，与题矛盾；
当f(x)<0恒成立，则f(x+13)<0，f(x+13)+13f(x)<0，与题矛盾；
所以f(x)必有零点，所以④正确.
故答案为：①②④
【点睛】
此题作为一个新定义题型，重点考查函数的相关性质，对函数性质的综合应用能力要求极高，关键在于读懂题意，抓住细节，如定义域，连续函数，存在常数k(k∈R)对任意实数x都成立，对转化与化归思想要求较高.
三、解答题(共 40 分)
16.已知定义在R上的函数fx=?x2+4x,x≤ax?2,x>a.
（1）当a=1时，写出fx的单调区间；
（2）若关于x的方程fx=a有三个不等的实根，求实数a的取值范围.
【答案】（1）增区间?∞,1,2,+∞；减区间1,2；（2）0,1∪3,4.
【解析】
【分析】
（1）当a=1时，将fx写为分段函数的形式，由此求得fx的单调区间.
（2）对a分成a<2,a>2,a=2三种情况进行分类讨论，结合分段函数fx的解析式、单调区间和根的分布，求得实数a的取值范围.
【详解】
（1）当a=1时，fx=?x2+4x,x≤12?x,12，所以fx的增区间为?∞,1,2,+∞；减区间为1,2.
（2）当a<2时，fx=?x2+4x,x≤a2?x,a2，所以fx在?∞,a,a,2,2,+∞上都是单调函数，故fx=a在每个区间内各有一根.?x2+4x=a在?∞,a内有一根，需满足a≤?a2+4a，解得0≤a≤3.2?x=a在2,a内有一根，需满足0≤a≤2?a得0≤a<1.x?2=a在2,+∞内有一根，需满足a>0.综上得0当a>2时，fx=?x2+4x,x≤ax?2,x>a，fx在?∞,2,2,a,a,+∞上都是单调函数，故fx=a在每个区间内各有一根. ?x2+4x=a在?∞,2，2,a内各有一根，需满足?a2+4a≤a<4，得3≤a<4.x?2=a在a,+∞内有一根，需满足a?2综上得3≤a<4.
当a=2时，fx=?x2+4x,x≤2x?4,x>2，此时fx只有两个单调区间，方程fx=a不可能有三个不同的根.
综上所述，a的取值范围是0,1∪3,4.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
17.已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；
(2)若函数g(x)＝1x－f(2x)－a的图象在12,+∞上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围.
【答案】(1) [－1,4]；(2) (22－2,1).
【解析】
【分析】
（1）零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.
（2）设h(x)＝1x－f(2x)＝1x－|2x－2|，利用基本不等式求出h(x)min＝22－2.
将问题等价于h(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，利用数形结合即可求解.
【详解】
(1)由f(x)≤5－|x－1|，
得|x－1|＋|x－2|≤5，
所以x>22x?3≤5或1≤x≤21≤5或x<13?2x≤5，
解得－1≤x≤4，故不等式f(x)≤5－|x－1|的解集为[－1,4].
(2)设h(x)＝1x－f(2x)＝1x－|2x－2|
＝1x?2x+2,???????x≥11x+2x?2,??????12当12h(x)＝1x＋2x－2≥21x×2x－2＝22－2，
当且仅当1x＝2x即x＝22时取等号，
所以h(x)min＝22－2.
当x≥1时，h(x)＝1x－2x＋2递减，
画出函数h(x)的草图，如图：
原问题等价于h(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，
结合h(x)的图象可得，a∈(22－2,1).
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，数形结合的思想以及化归、转化的思想，属于中档题.