全国卷2016-2021六年真题分类汇编（PDF无答案）

全国卷六年真题分类汇编
第 1讲集合 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2
第 2讲常用逻辑用语 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4
第 3讲函数的概念和性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5
第 4讲指数函数 、对数函数 、幂函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8
第 5讲函数方程与应用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
第 6讲导数的几何意义 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11
第 7讲：导数及应用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12
第 8讲：三角恒等变换三角函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14
第 9讲：解三角形 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????18
第 10讲：平面向量 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????21
第 11讲：立体几何初步 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????23
第 12讲：立体几何与向量方法 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????31
第 13讲：数列 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????38
第 14讲：不等式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????41
第 15讲：计数原理与概率初步 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????43
第 16讲：统计与概率分布 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????46
第 17讲：圆锥曲线 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????51
第 18讲：极坐标与参数方程 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????58
第 19讲：不等式选讲 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????61
第 20讲：复数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????64
·1·
第 1讲集合
1.(2021甲卷 )设集合 1
M =?x?03 ??， 则 M ∩N = ( )
1 1
A. ???x?03 ?? ? 3 ??
C. ?x?4≤x<5? D. ?x?02.(2021乙卷 )已知集合 S=?s?s=2n+1,n∈Z?， T=?t?t=4n+1,n∈Z?， 则 S∩T= ( )
A.? B. S
C. T D.Z
3.(2021新高考 1)设集合 A=?x?-2A. ?2? B. ?2,3?
C. ?3,4? D. ?2,3,4?
4.(2021新高考 2)设集合 U= {1,2,3,4,5,6},A= {1,3,6},B= {2,3,4}，则 A∩??UB?= ( )
A.{3} B. {1,6} C. {5,6} D.{1,3}
5.(2020高 考 )已 知 集 合 *
A= { (x,y) |x,y∈N ,y≥x}， B= { (x,y) |x+y=8}，则 A∩B中 元 素 的 个
数为 ( )
A.2 B. 3
C. 4 D.6
6.(2020高 考 )已 知 集 合 U = { -2， -1， 0， 1， 2， 3}， A= { -1， 0， 1}， B= {1， 2}，则 ?U(A∪B) =
( )
A.{ -2， 3} B. { -2， 2， 3}
C. { -2， -1， 0， 3} D.{ -2， -1， 0， 2， 3}
2
7.(2020高 考 )设 集 合 A= {x|x – 4≤0}， B= {x|2x+a≤0}，且 A∩B= {x|– 2≤x≤1}，则 a=
( )
A.-4 B. -2
C. 2 D.4
2
8.(2019全国Ⅰ理 )已知集合 M =?x?-4A.{x?-4C. {x?-22
9.(2019全国Ⅱ理 )设集合 A= {x|x -5x+6>0}， B= {x|x-1<0}，则 A∩B= ( )
A.( -∞， 1) B. ( -2， 1)
C. ( -3， -1) D.(3， +∞)
10.(2019全国Ⅲ理 )已知集合 2
A= { -1,0,1,2}， B=?x?x ≤1?， 则 A∩B= ( )
A. ?-1,0,1? B. ?0,1?
C. ?-1,1? D. ?0,1,2?
·2·
2
11.(2018全国卷Ⅰ )已知集合 A=?x?x -x-2>0?， 则 ?RA= ( )
A. ?x?-1C. {x|x<-1} ∪ {x|x>2} D.{x|x≤-1} ∪ {x|x≥2}
12.(2018全国卷Ⅲ )已知集合 A= {x|x-1≥0}， B= {0,1,2}，则 A∩B= ( )
A.{0} B. {1}
C. {1,2} D.{0,1,2}
2 2
13.(2018全国卷Ⅱ )已知集合 A= {(x,y)|x +y ≤3， x∈Z， y∈Z}，则 A中元素的个数为 ( )
A.9 B. 8
C. 5 D.4
14.(2017新课标Ⅰ )已知集合 x
A= {x|x<1}， B= {x|3 <1}，则 ( )
A.A∩B= {x|x<0} B. A∪B=R
C. A∪B= {x|x>1} D.A∩B=?
2
15.(2017新课标Ⅱ )设集合 A= {1,2,4}， B= {x|x -4x+m=0}，若 A∩B= {1}，则 B= ( )
A.{1, -3} B. {1,0}
C. {1,3} D.{1,5}
2 2
16.(2017新 课 标 Ⅲ )已 知 集 合 A= { (x,y) |x +y =1}， B= { (x,y) |y=x}，则 A∩B中 元 素 的 个 数 为
( )
A.3 B. 2
C. 1 D.0
17.(2016年全国 2
I)设集合 A= {x|x -4x+3<0},B= {x|2x-3>0},则 A∩B= ( )
3 3
A. ?-3, - B. ?-3,
2 ? 2 ?
3 3
C. ?1, D. ,3
2 ? ? 2 ?
18.(2016年全国 II)已知集合 A= {1,2,3},B= {x|(x+1) (x-2) <0,x∈Z},则 A∪B= ( )
A.{1} B. {1， 2}
C. {0， 1， 2， 3} D.{ -1， 0， 1， 2， 3}
19.(2016年全国 III)设集合 S=?x|(x-2) (x-3) ≥0?,T=?x|x>0?， 则 S∩T= ( )
A.[2， 3] B. ( -∞， 2] ∪ [3, + ∞)
C. [3, + ∞) D.(0， 2] ∪ [3, + ∞)
·3·
第 2讲常用逻辑用语
1.(2021乙 卷 )已 知 命 题 |x|
p:?x∈R,sinx<1﹔ 命 题 q:?x∈R﹐ e ≥1，则 下 列 命 题 中 为 真 命 题 的
是 ( )
A. p∧q B. ?p∧q C. p∧ ?q D.??p∨q?
2.(2021甲 卷 )等 比 数 列 ?an? 的 公 比 为 q，前 n项 和 为 Sn，设 甲 ： q>0，乙 ： ?Sn? 是 递 增 数 列 ，则
( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.(2020二卷 )设有下列四个命题 ：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 .
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面 .
p3：若空间两条直线不相交 ，则这两条直线平行 .
p4：若直线 l?平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .
① p1∧p4② p1∧p2③ ?p2∨p3④ ?p3∨?p4
4.(2019全国Ⅱ理 7)设 α， β为两个平面 ，则 α∥β的充要条件是 ( )
A.α内有无数条直线与 β平行 B. α内有两条相交直线与 β平行
C. α， β平行于同一条直线 D.α， β垂直于同一平面
5.(2017新课标Ⅰ )设有下面四个命题 ( )
1
p1：若复数 z满足 ∈R， 则 z∈R；
z
2
p2：若复数 z满足 z ∈R，则 z∈R； ?
p3：若复数 z1， z2满足 z1z2∈R，则 z1=z2；
p4：若复数 ?
z∈R，则 z∈R．
其中的真命题为
A. p1， p3 B. p1， p4 C. p2， p3 D. p2， p4
·4·
第 3讲函数的概念和性质
1.(2021甲 卷 )设 函 数 f?x?的 定 义 域 为 R， f?x+1?为 奇 函 数 ， f?x+2?为 偶 函 数 ，当 x∈?1,2?时 ， f
2
(x) =ax +b．若 9
f?0?+f?3?=6， 则 f? = ( )
2 ?
9 3 7 5
A.- B. - C. D.
4 2 4 2
1-x
2.(2021乙卷 )设函数 f(x) = ， 则下列函数中为奇函数的是 ( )
1+x
A. f?x-1?-1 B. f?x-1?+1 C. f?x+1?-1 D. f?x+1?+1
3.(2019 全 国 Ⅱ 理 14) 已 知 ax
f(x) 是 奇 函 数 ，且 当 x < 0 时 ， f(x) =-e . 若 f(ln 2) = 8，则 a =
.
4.(2019全国Ⅲ理 11)设 f?x?是定义域为 R的偶函数 ，且在 ?0, + ∞?单调递减 ，则 ( )
1 -3 -2 1 -2 -3
A. f?log3 >f?2 2?>f?2 3? B. f log >f?2 3?>f?2 2?
4 ? ? 34 ?
-3 -2 1 -2 -3 1
C. f?2 2?>f?2 3?>f?log 3 2
3 D. f?2 ?>f?2 ?>f log
4 ? ? 34 ?
5.(2019全国Ⅰ理 11)关于函数 f(x) =sin|x| +|sinx|有下述四个结论 ： ( )
① f(x)是偶函数
② π
f(x)在区间 ? ,π 单调递增
2 ?
③ f(x)在 [-π,π]有 4个零点
④ f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④ B. ②④ C. ①④ D.①③
sinx+x
6.(2019全国Ⅰ理 5)函数 f(x) = 2 在 [-π,π]的图像大致为 ( )
cosx+x
A. B.
C. D.
3
2x
7.(2019全国Ⅲ理 7)函数 y= x -x 在 ?-6,6?的图像大致为 ( )
2 +2
·5·
A. B.
C. D.
x -x
e -e
8.(2018全国卷Ⅱ )函数 f(x) = 2 的图像大致为 ( )
x
4 2
9.(2018全国卷Ⅲ )函数 y=-x +x +2的图像大致为 ( )
·6·
10.(2018全 国 卷 Ⅱ )已 知 f(x)是 定 义 域 为 ( -∞ , + ∞ )的 奇 函 数 ，满 足 f(1-x) =f(1+x)． 若 f(1) =
2，则 f(1) +f(2) +f(3) +?+f(50) = ( )
A.-50 B. 0
C. 2 D.50
11.(2017新 课 标 Ⅰ )函 数 f(x)在 ( -∞ , + ∞ )单 调 递 减 ，且 为 奇 函 数 ． 若 f(1) =-1，则 满 足 -1≤f(x
-2) ≤1的 x的取值范围是 ( )
A.[ -2,2] B. [ -1,1] C. [0,4] D.[1,3]
12.(2016全国 2 |x|
I)函数 y=2x -e 在 [– 2,2]的图像大致为 ( )
A. B.
C. D.
x+1
13.(2016全 国 II)已 知 函 数 f?x??x∈R?满 足 f?-x?=2-f?x?， 若 函 数 y= 与 y=f?x 图 像 的
x ?
m
交点为 ?x1， y1?， ?x2， y2?， ?， ?xm， ym?， 则 ??xi+yi?= ( )
i=1
A.0 B. m
C. 2m D.4m
x+1, x≤0
14.(2017新 课 标 Ⅲ )设 函 数 f(x) =? ， 则 满 足 1
f(x) + f?x- ?>1的 x的 取 值 范 围 是
?? x
2 , x>0 2
．
·7·
第 4讲指数函数 、对数函数、幂函数
1.(2021乙卷 )设 a=2ln1.01， b=ln1.02， c= 1.04-1．则 ( )
A.a3 x
2.(2021新课标 )已知函数 -x
f?x?=x ?a?2 -2 ?是偶函数 ，则 a= .
3.(2021新课标 )函数 f?x?=?2x-1?-2lnx的最小值为 .
x y -x -y
4.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科 )若 2 -2 <3 -3 ，则 ( )
A.ln(y-x+1) >0 B. ln(y-x+1) <0 C. ln|x-y| >0 D.ln|x-y| <0
5.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科 )设函数 f(x) =ln|2x+1| -ln|2x-1|，则 f(x) ( )
1
A.是偶函数 ，且在 ? ,+ ∞ 单调递增
2 ?
1 1
B. 是奇函数 ，且在 ?- , 单调递减
2 2 ?
1
C. 是偶函数 ，且在 ?-∞, - 单调递增
2 ?
1
D.是奇函数 ，且在 ?-∞, - 单调递减
2 ?
a b
6.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科 )若 2 +log2a=4 +2log4b，则 ( )
2 2
A.a>2b B. a<2b C. a>b D.a0.2 0.3
7.(2019全国Ⅰ理 3)已知 ?a=log20.2， b=2 ， c=0.2 ，则 ( )
A.ax
e ， x≤0，
8.(2018全 国 卷 Ⅰ )已 知函数 f(x) =? g(x)=f(x) +x+a．若 g(x)存在 2个零点 ，则 a的
??lnx， x>0，
取值范围是 ( )
A.[ -1,0) B. [0, + ∞)
C. [ -1, + ∞) D.[1, + ∞)
9.(2018全国卷Ⅲ )设 a=log0.20.3， b=log20.3，则 ( )
A.a+bC. a+b<010.(2017新课标Ⅰ )设 x y z
x,y,z为正数 ，且 2 =3 =5 ，则 ( )
A.2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D.3y<2x<5z
11.(2016全国 I)若 a>b>1， 0c c c c
A.a 4 2 1
12.(2016全国 III)已知 a=23， b=45， c=253， 则 ( )
A.b·8·
第 5讲函数方程与应用
1.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )某 校 一 个 课 外 学 习 小 组 为 研 究 某 作 物 种 子 的 发 芽 率 y和 温 度 x(
单 位 ： °C)的 关 系 ，在 20个 不 同 的 温 度 条 件 下 进 行 种 子 发 芽 实 验 ，由 实 验 数 据 (xi,yi) (i=1,2, ?
,20)得到下面的散点图 ：
由此散点图 ，在 10°C至 40°C之间 ，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归
方程类型的是 ( )
2 x
A.y=a+bx B. y=a+bx C. y=a+be D.y=a+blnx
2.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )在 新 冠 肺 炎 疫 情 防 控 期 间 ，某 超 市 开 通 网 上 销 售 业 务 ，每 天 能 完
成 1200份 订 单 的 配 货 ，由 于 订 单 量 大 幅 增 加 ，导 致 订 单 积 压 ． 为 解 决 困 难 ，许 多 志 愿 者 踊 跃 报 名
参加配货工作．已知该超市某日积压 500份订单未配货 ，预计第二天的新订单超过 1600份的概率
为 0． 05，志 愿 者 每 人 每 天 能 完 成 50份 订 单 的 配 货 ，为 使 第 二 天 完 成 积 压 订 单 及 当 日 订 单 的 配 货
的概率不小于 0． 95，则至少需要志愿者 ( )
A.10名 B. 18名 C. 24名 D.32名
3.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )Logistic模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一 ，可 应 用 于 流 行 病 学 领 城 ． 有
学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了 某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I(t) (t的 单 位 ：天 )的 Logistic模 型 ： I
K *
(t) = -0.23(t-53)， 其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 ． 当 I(t ) =0． 95K 时 ，标 志 着 已 初 步 遏 制 疫 情 ，
1+e
则 *
t 约为 (ln19≈3) ( )
A.60 B. 63 C. 66 D.69
4.(2019全 国 Ⅱ 理 12)设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R，满 足 f(x+1) =2f(x)，且 当 x∈ (0,1]时 ， f(x) =x
8
(x-1).若对任意 x∈ ( -∞,m]，都有 f(x) ≥- ， 则 m的取值范围是 ( )
9
9 7 5 8
A. ?-∞, ?? B. -∞, ?? C. -∞, ?? D. -∞, ??
4 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 3 ?
x
e ， x≤0，
5.(2018全 国 卷 Ⅰ )已 知函数 f(x) =? g(x)=f(x) +x+a．若 g(x)存在 2个零点 ，则 a的
??lnx， x>0，
取值范围是 ( )
A.[ -1,0) B. [0, + ∞)
C. [ -1, + ∞) D.[1, + ∞)
·9·
2 x-1 -x+1
6.(2017新课标Ⅲ )已知函数 f(x) =x -2x+a(e +e )有唯一零点 ，则 a= ( )
1 1 1
A.- B. C. D.1
2 3 2
7.(2017新 课 标 Ⅰ )如 图 ，圆 形 纸 片 的 圆 心 为 O，半 径 为 5 cm，该 纸 片 上 的 等 边 三 角 形 ABC的 中 心 为
O． D、 E、 F为 圆 O上 的 点 ， ΔDBC， ΔECA， ΔFAB分 别 是 以 BC， CA， AB为 底 边 的 等 腰 三 角
形 。 沿 虚 线 剪 开 后 ，分 别 以 BC， CA， AB为 折 痕 折 起 ΔDBC， ΔECA， ΔFAB，使 得 D、 E、 F 重
合 ，得到三棱锥。当 3
ΔABC的边长变化时 ，所得三棱锥体积 (单位 ： cm)的最大值为 .
·10·
第 6讲导数的几何意义
1.(2021新课标 )若过点 x
?a,b?可以作曲线 y=e 的两条切线 ，则 ( )
b a b a
A.e 2x-1
2.(2021甲卷 )曲线 y= 在点 ?-1,-3 处的切线方程为 .
x+2 ?
4
3.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科 )函数 3
f(x) =x -2x 的图像在点 (1， f(1))处的切线方程为
( )
A.y=-2x-1 B. y=-2x+1 C. y=2x-3 D.y=2x+1
4.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科 )若直线 l与曲线 2 2
y= x和 1
x +y = 都相切 ，则 l的方程为
5
( )
1 1 1 1
A.y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D.y= x+
2 2 2 2
2
5.(2019全国Ⅰ理 x
13)曲线 y=3(x +x)e 在点 (0， 0)处的切线方程为 .
2 x
6.(2019 年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅰ 卷 理 科 ) 曲 线 y = 3(x + x)e 在 点 (0,0) 处 的 切 线 方 程 为
.
x
7.(2019全国Ⅲ理 6)已知曲线 y=ae +xlnx在点 (1， ae)处的切线方程为 y=2x+b，则 ( )
-1 -1
A.a=e， b=-1 B. a=e， b=1 C. a=e ， b=1 D.a=e ， b=-1
3
8.(2018全 国 卷 Ⅰ )设 函 数 2
f(x) =x + (a-1)x +ax，若 f(x)为 奇 函 数 ，则 曲 线 y=f(x)在 点 (0,0)
处的切线方程为 ( )
A.y=-2x B. y=-x
C. y=2x D.y=x
x
9.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 (理 ) )曲 线 y=?ax+1?e 在 点 ?0,1?处 的 切 线 的 斜 率 为 -2，则 a=
.
10.(2018年高考数学课标Ⅱ卷 (理 ))曲线 y=2ln(x+1)在点 (0,0)处的切线方程为 .
·11·
第 7讲 ：导数及应用
1.(2021新课标 1卷 )已知函数 f?x?=x?1-lnx?.
(1)讨论 f?x?的单调性 ；
(2)设 a， b为两个不相等的正数 ，且 1 1
blna-alnb=a-b，证明 ： 2< + a b
a
2.(2021甲卷 )已知 x
a>0且 a≠1，函数 f(x) = x(x>0)．
a
(1)当 a=2时 ，求 f?x?的单调区间 ；
(2)若曲线 y=f?x?与直线 y=1有且仅有两个交点 ，求 a的取值范围．
3.(2021乙卷 )设函数 f?x?=ln?a-x?， 已知 x=0是函数 y=xf?x?的极值点．
(1)求 a；
x+f(x)
(2)设函数 g(x)= ．证明 :g?x?<1．
xf(x)
x-1
4.(2020新课标卷 )已知函数 f(x) =ae -lnx+lna．
(1)当 a=e时 ，求曲线 y=f(x)在点 (1， f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 ；
(2)若 f(x) ≥1，求 a的取值范围．
x 2
5.(2020一卷 )已知函数 f(x) =e +ax -x.
(1)当 a=1a=1时 ，讨论 f(x)的单调性 ；
1 3
(2)当 x≥0时 ， f(x) ≥ x +1， 求 a的取值范围 .
2
2
6.(2020二卷 )已知函数 f(x) =sin xsin2x.
(1)讨论 f(x)在区间 (0， π)的单调性 ；
(2)证明 ： 3 3
?f(x)?≤ ；
8
n
2 2 2 2 n 3
(3)设 n∈N *， 证明 ： sin xsin 2xsin 4x?sin 2 x≤ n.
4
3 1 1
7.(2020三卷 )设函数 f(x) =x +bx+c，曲线 y=f(x)在点 ? ， f
2 ? 2 ??处的切线与 y轴垂直．
(1)求 b．
(2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1的零点 ，证明 ： f(x)所有零点的绝对值都不大于 1．
3 2
8.(2019全国Ⅲ理 20)已知函数 f(x) =2x -ax +b．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)是 否 存 在 a， b，使 得 f(x)在 区 间 [0， 1]的 最 小 值 为 -1且 最 大 值 为 1？ 若 存 在 ，求 出 a， b的 所 有
值 ；若不存在 ，说明理由．
?
9.(2019全国Ⅰ理 20)已知函数 f(x) =sinx-ln(1+x)， f (x)为 f(x)的导数．证明 ：
? π
(1)f (x)在区间 ?-1, 存在唯一极大值点 ；
2 ?
(2)f(x)有且仅有 2个零点．
x+1
10.(2019全国Ⅱ理 20)已知函数 f?x?=lnx- .
x-1
(1)讨论 f(x)的单调性 ，并证明 f(x)有且仅有两个零点 ；
x
(2)设 x0是 f(x)的一个零点 ，证明曲线 y=lnx在点 A(x0， lnx0)处的切线也是曲线 y=e 的切线 .
·12·
1
11.(2018全国卷Ⅰ )已知函数 f(x) = -x+alnx．
x
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
f(x1) -f(x2)
(2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2，证明 ： x1-x2
x 2
12.(2018全国卷Ⅱ )已知函数 f(x) =e -ax ．
(1)若 a=1，证明 ：当 x≥0时 ， f(x) ≥1；
(2)若 f(x)在 (0, + ∞)只有一个零点 ，求 a．
2
13.(2018全国卷Ⅲ )已知函数 f(x) = (2+x+ax )ln(1+x) -2x．
(1)若 a=0，证明 ：当 -10时 ， f(x) >0；
(2)若 x=0是 f(x)的极大值点 ，求 a．
14.(2017新课标Ⅰ )已知函数 2x x
f(x) =ae + (a-2)e -x．
(1)讨论 f(x)的单调性 ；
(2)若 f(x)有两个零点 ，求 a的取值范围．
15.(2017新课标Ⅱ )已知函数 2
f(x) =ax -ax-xlnx，且 f(x) ≥0．
(1)求 a；
-2 -2
(2)证明 ： f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e 16.(2017新课标Ⅲ )已知函数 f(x) =x-1-alnx．
(1)若 f(x) ≥0，求 a的值 ；
1 1 1
(2)设 m为整数 ，且对于任意正整数 n， ?1+ 1+ ??? 1+ 2 ?? 2
2 ? ? n
2 ?
17.(2016年全国Ⅰ )已知函数 x 2
f(x) = (x-2)e +a(x-1) 有两个零点．
(I)求 a的取值范围 ；
(II)设 x1， x2是 f(x)的两个零点 ，证明 ： x1+x2<2．
18.(2016年全国Ⅱ )
x-2 x x
(I)讨论函数 f(x) = e 的单调性 ，并证明当 x>0时 ， (x-2)e +x+2>0；
x+2
x
e -ax-a
(II)证 明 ：当 a∈ [0,1)时 ，函 数 g?x?= 2 (x>0)有 最 小 值 ． 设 g?x?的 最 小 值 为 h(a)，求
x
函数 h(a)的值域．
19.(2016年全国Ⅲ )设函数 f(x) =αcos2x+ (α-1) (cosx+1)，其中 α>0，
记 |f(x)|的最大值为 A．
?
(1)求 f (x)；
(2)求 A；
?
(3)证明 |f (x)| ≤2A．
·13·
第 8讲 ：三角恒等变换三角函数
sinθ?1+sin2θ?
1.(2021年新课程卷 )若 tanθ=-2，则 = ( )
sinθ+cosθ
6 2 2 6
A.- B. - C. D.
5 5 5 5
π
2.(2021年新课程卷 )下列区间中 ，函数 f?x?=7sin?x- 单调递增的区间是 ( )
6 ?
π π 3π 3π
A. ?0, B. ,π C. π, D. ,2π
2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
π cosα
3.(2021年甲卷理科 )若 α∈?0, ,tan2α= ， 则 tanα= ( )
2 ? 2-sinα
15 5 5 15
A. B. C. D.
15 5 3 3
1
4.(2021年 乙 卷 理 科 )把 函 数 y=f(x)图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 ，纵 坐 标 不 变 ，再 把
2
所得曲线向右平移 π 个单位长度 ，得到函数 π
y=sin?x- 的图像 ，则 f(x) = ( )
3 4 ?
x 7x x π 7π π
A.sin? - B. sin + C. sin 2x- D.sin 2x+
2 12 ? ? 2 12? ? 12 ? ? 12?
5.(2021 年 甲 卷 理 科 ) 已 知 函 数 f ?x? = 2cos(ωx + φ) 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ，则 满 足 条 件
7π 4π
?f(x) -f?- 4 ???f(x)-f? 3 ??>0的最小正整数 x为 .
π
6.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )设 函 数 f(x) =cos?ωx+ 在 [-π,π]的 图 像 大 致 如 下 图 ，则 f
6 ?
(x)的最小正周期为 ( )
10π 7π 4π 3π
A. B. C. D.
9 6 3 2
·14·
7.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科 )若 α为第四象限角 ，则 ( )
A.cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D.sin2α<0
8.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科 )已知 α?∈ (0,π)，且 3cos2α-8cosα=5，则 sinα= ( )
5 2 1 5
A. B. C. D.
3 3 3 9
π
9.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科 )已知 2tanθ– tan?θ+ =7， 则 tanθ= ( )
4 ?
A.– 2 B. – 1 C. 1 D.2
π
10.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )设 函 数 f(x) =sin?ωx+ (ω>0)， 已 知 f x 在 ?0,2π?有 且 仅
5 ? ? ?
有 5个零点 ，下述四个结论 ：
① f?x?在 (0,2π)有且仅有 3个极大值点② f?x?在 (0,2π)有且仅有 2个极小值点
③ π 12 29
f?x?在 ?0, 单调递增④ ω的取值范围是 ?? ，
10? ? 5 10 ?
其中所有正确结论的编号是 ( )
A.①④ B. ②③ C. ①②③ D.①③④
π
11.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科 )已知 α∈?0, ， 2sin2α=cos2α+1，则 sinα= ( )
2 ?
1 5 3 2 5
A. B. C. D.
5 5 3 5
π π π
12.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科 )下列函数中 ，以 为周期且在区间 , 单调递增的是
2 ? 4 2 ?
( )
A. f(x) = ?cos2x? B. f(x) = ?sin2x? C. f(x) =cos?x? D. f(x) =sin?x?
13.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科 )关于函数 f(x) =sin?x?+?sinx?有下述四个结论 ：
① π
f(x)是偶函数② f(x)在区间 ? ,π 单调递增
2 ?
③ f(x)在 [-π,π]有 4个零点④ f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是 ( )
A.①②④ B. ②④ C. ①④ D.①③
1
14.(2018年高考数学课标Ⅲ卷 (理 ))若 sinα= ， 则 cos2α= ( )
3
8 7 7 8
A. B. C. - D.-
9 9 9 9
15.(2018年高考数学课标Ⅱ卷 (理 ))若 f(x) =cosx-sinx在 ?-a,a?是减函数 ，则 a的最大值是
( )
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
16.(2018年高考数学课标Ⅱ卷 (理 ))在 C 5
△ABC中 ， cos = ， BC=1， AC=5， 则 AB= ( )
2 5
A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5
·15·
2π
17.(2017年 高 考 数 学 新 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )已 知 曲 线 C1:y=cosx,C2:y=sin?2x+ ,则 下 面 结 论 正
3 ?
确的是 ( )
π
A.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向右平移 个单位长
6
度 ,得到曲线 C2
π
B. 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向左平移 个单位长
12
度 ,得到曲线 C2
1 π
C. 把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向右平移 个单位长
2 6
度 ,得到曲线 C2
1 π
D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍 ,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向左平移 个单位
2 12
长度 ,得到曲线 C2
π
18.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科 )设函数 f?x?=cos?x+ ， 则下列结论错误的是 ( )
3 ?
8π
A. f?x?的一个周期为 -2π B. y=f?x?的图像关于直线 x= 对称
3
π π
C. f?x+π?的一个零点为 x= D. f?x 在 ,π 单调递减
6 ? ? 2 ?
3 2
19.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科 )若 tanα= ,则 cos α+2sin2α= ( )
4
64 48 16
A. B. C. 1 D.
25 25 25
π 3
20.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科 )若 cos? -α = ， 则 sin2α= ( )
4 ? 5
7 1 1 7
A. B. C. - D.-
25 5 5 25
π
21.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )若 将 函 数 y=2 sin 2x的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 ，则 平 移 后 图
12
象的对称轴为 ( )
kπ π kπ π
A.x= - k∈Z B. x= + k∈Z
2 6 ? ? 2 6 ? ?
kπ π kπ π
C. x= - k∈Z D.x= + k∈Z
2 12? ? 2 12? ?
22.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )已 知 函 数 π π
f(x) =sin(ωx+φ)?ω>0， ?φ?≤ ,x=- 为 f(x)的
2 ? 4
零点 ， π
x= 为 π 5π
y=f(x)图像的对称轴 ，且 f(x)在 ， 单调 ，则 ω的最大值为 ( )
4 ?18 36?
A.11 B. 9 C. 7 D.5
23.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科 )关于函数 1
f(x) =sinx+ 有如下四个命题 ：
sinx
① f(x)的图像关于 y轴对称．
② f(x)的图像关于原点对称．
③ π
f(x)的图像关于直线 x= 对称．
2
·16·
④ f(x)的最小值为 2．
其中所有真命题的序号是 .
π
24.(2018年高考数学课标Ⅲ卷 (理 ))函数 f?x?=cos?3x+ 在 ?0,π?的零点个数为 .
6 ?
25.(2018 年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 ( 理 ) ) 已 知 sinα + cosβ = 1， cosα + sinβ = 0，则 sin(α + β) =
.
2
26.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科 )函数 3 π
f?x?=sinx+ 3cosx- ?x∈???0, ?? 的最大值是 ．
4 2 ??
27.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )函 数 y=sinx- 3cosx的 图 像 可 由 函 数 y=sinx+ 3cosx的 图
像至少向右平移 _____________个单位长度得到 .
·17·
第 9讲 ：解三角形
1.(2021年 甲 卷 )2020年 12月 8日 ，中 国 和 尼 泊 尔 联 合 公 布 珠 穆 朗 玛 峰 最 新 高 程 为 8848.86(单 位 ：
m)，三 角 高 程 测 量 法 是 珠 峰 高 程 测 量 方 法 之 一 ． 如 图 是 三 角 高 程 测 量 法 的 一 个 示 意 图 ，现 有 A，
? ? ? ? ?
B， C三 点 ，且 A， B， C在 同 一 水 平 面 上 的 投 影 A,B ,C 满 足 ∠A′C′B′ =45°， ∠A′B C =60°． 由
C点 测 得 B点 的 仰 角 为 ? ?
15°， BB 与 CC 的 差 为 100；由 B点 测 得 A点 的 仰 角 为 45°，则 A， C两 点
到水平面 ? ? ? ? ?
ABC 的高度差 AA -CC 约为 ( 3≈1.732) ( )
A.346 B. 373 C. 446 D.473
2.(2021年 乙 卷 )魏 晋 时 刘 徽 撰 写 的《 海 岛 算 经 》是 关 测 量 的 数 学 著 作 ，其 中 第 一 题 是 测 海 岛 的 高 ．
如 图 ，点 E， H， G在 水 平 线 AC上 ， DE和 FG是 两 个 垂 直 于 水 平 面 且 等 高 的 测 量 标 杆 的 高 度 ，称
为“表 高”， EG称 为“表 距”， GC和 EH都 称 为“表 目 距”， GC与 EH的 差 称 为“表 目 距 的 差”则 海
岛的高 AB= ( )
表高 ×表距 表高 ×表距
A. +表高 B. -表高
表目距的差 表目距的差
表高 ×表距 表高 ×表距
C. +表距 D. -表距
表目距的差 表目距的差
3.(2021年 乙 卷 )记 2 2
△ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c，面 积 为 3， B=60°， a +c =
3ac，则 b= .
4.(2021年 新 课 程 卷 )记 2
△ABC 是 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c.已 知 b =ac，点 D在 边 AC
上 ， BDsin∠ABC=asinC.
(1)证明 ： BD=b；
(2)若 AD=2DC，求 cos∠ABC.
5.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科 )在 2
△ABC中 ， cosC= ， AC=4， BC=3， 则 cosB= ( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
·18·
2 2
6.(2019全 国 Ⅰ 理 17) △ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c，设 (sinB-sinC) =sin A-
sinBsinC．
(1)求 A；
(2)若 2a+b=2c， 求 sinC．
π
7.(2019全 国 Ⅱ 理 15) △ABC的 内 角 A,B,C的 对 边 分 别 为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B= ， 则 △ABC
3
的面积为 .
A+C
8.(2019全国Ⅲ理 18)△ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 asin =bsinA．
2
(1)求 B；
(2)若 △ABC为锐角三角形 ，且 c=1，求 △ABC面积的取值范围．
9.(2018全国卷Ⅱ )在 C 5
△ABC中 ， cos = ， BC=1， AC=5， 则 AB= ( )
2 5
A.4 2 B. 30
C. 29 D.2 5
2 2 2
a +b -c
10.(2018全 国 卷 Ⅲ )ΔABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 ΔABC的面积为 ， 则
4
C= ( )
π π
A. B.
2 3
π π
C. D.
4 6
π 1
11.(2016年全国 III)在 △ABC中 ， B= ， BC边上的高等于 BC,则 cosA= ( )
4 3
3 10 10 10 3 10
A. B. C. - D.-
10 10 10 10
?
12.(2018全国卷Ⅰ )在平面四边形 ABCD中 ， ?
∠ADC=90 ， ∠A=45 ， AB=2， BD=5．
(1)求 cos∠ADB；
(2)若 DC=2 2， 求 BC．
2
a
13.(2017新课标Ⅰ )ΔABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ΔABC的面积为 3sinA
(1)求 sinBsinC；
(2)若 6cosBcosC=1， a=3，求 ΔABC的周长．
14.(2017新课标Ⅲ )ΔABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，
已知 sinA+ 3cosA=0， a=2 7， b=2．
(1)求 c；
(2)设 D为 BC边上一点 ，且 AD⊥AC，求 ΔABD的面积．
15.(2017新课标Ⅱ )ΔABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，
已知 2B
sin(A+C) =8sin ．
2
(1)求 cosB
(2)若 a+c=6， ΔABC面积为 2， 求 b．
·19·
16.(2016年全国 I)△ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知
2cosC(acosB+bcosA) =c.
(1)求 C；
(2)若 3 3
c= 7,△ABC的面积为 ， 求 △ABC的周长．
2
·20·
第 10讲 ：平面向量
1.( 2021 年 新 课 程 卷 ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 ，点 P1?cosα,sinα? ， P2?cosβ,-sinβ? ，
P3?cos?α+β?,sin?α+β??， A?1,0?， 则 ( )
??? ??? ?? ???
A. ?OP1? = ?OP2? B. ?AP1? = ?AP2?
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
C. OA?OP3=OP1?OP2 D.OA?OP1=OP2?OP3
? ? ? ? ? ? ?
2.(2021年甲卷 )已知向量 a=?3,1?,b=?1,0?,c=a+kb．若 a⊥c， 则 k= .
? ? ? ?
3.(2021年乙卷 )已知向量 ?
a=?1,3?,b=?3,4?， 若 (a-λb) ⊥b，则 λ= .
4.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )已 知 向 量 a， b满 足 |a| =5， |b| =6， a?b=-6，则 cos?a,a+b?=
( )
31 19 17 19
A.- B. - C. D.
35 35 35 35
? ? ?
5.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科 )设 a,b为单位向量 ，且 ?
|a+b| =1，则 |a-b| = .
? ? ? ?
6.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )已 知 单 位 向 量 a,b的 夹 角 为 ?
45°， ka-b与 a垂 直 ，则 k= ____
______．
? ? ? ? ? ? ? ? ?
7.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )已 知 a， b为 单 位 向 量 ，且 a·b=0，若 c=2a- 5b， 则 cos?a,c? =
.
??? ??? ??? ??? ???
8.(2019全国Ⅱ理 3)已知 AB= (2,3)， AC= (3， t)， ?BC? =1， 则 AB?BC= ( )
A.-3 B. -2 C. 2 D.3
9.(2019 全 国 Ⅲ 理 13) 已 知 a， b 为 单 位 向 量 ，且 a·b = 0，若 c = 2a - 5b， 则 cos < a,c >=
.
??? ??? ??? ??? ???
10.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科 )已知 AB=?2,3?， AC=?3,t?， ?BC? =1， 则 AB?BC=
A.-3 B. -2 C. 2 D.3
? ? ? ? ? ?
11.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅰ 卷 理 科 )已 知 非 零 向 量 a， b满 足 ? ? ?
?a? =2?b?， 且 ?a-b?⊥b， 则 a与 b
的夹角为 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
??
12.(2018全国卷Ⅰ )在 △ABC中 ， AD为 BC边上的中线 ， E为 AD的中点 ，则 EB= ( )
3 ??? 1 ??? 1 ??? 3 ???
A. AB- AC B. AB- AC
4 4 4 4
3 ??? 1 ??? 1 ??? 3 ???
C. AB+ AC D. AB+ AC
4 4 4 4
? ?? ? ? ?? ? ? ??
13.(2018全国卷Ⅱ )已知向量 a， b满足 |a|=1， a?b=-1， 则 a? (2a-b)= ( )
A.4 B. 3
C. 2 D.0
·21·
14.(2017新 课 标 Ⅲ )在 矩 形 ABCD中 ， AB=1， AD=2，动 点 P在 以 点 C为 圆 心 且 与 BD相 切 的 圆
??? ??? ???
上．若 AP=λAB+μAD，则 λ+μ的最大值为 ( )
A.3 B. 2 2 C. 5 D.2
??? ??
15.(2017新 课 标 Ⅱ )已 知 ΔABC 是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， P为 平 面 ABC 内 一 点 ，则 PA? (PB+
???
PC)的最小值是 ( )
3 4
A.-2 B. - C. - D.-1
2 3
16.(2016年全国 II)已知向量 a= (1,m)， b= (3, -2)，且 (a+b) ⊥b，则 m= ( )
A.-8 B. -6
C. 6 D.8
??? 1 3 ??? 3 1
17.(2016年全国 III)已知向量 BA=? , ,BC= , ,则 ∠ABC= ( )
2 2 ? ? 2 2 ?
? ? ? ?
A.30 B. 45 C. 60 D.120
18.(2018全国卷Ⅲ )已知向量 a= (1,2)， b= (2, -2)， c= (1,λ)．若 c∥ (2a+b)，则 λ= ．
19.(2017新课标Ⅰ )已知向量 a， b的夹角为 60°， |a| =2， |b| =1，则 |a+2b| = ．
2 2 2
20.(2016全国 I)设向量 a= (m,1)， b= (1,2)，且 |a+b| = |a| + |b| ，则 m= .
·22·
第 11讲 ：立体几何初步
1.(2021年 乙 卷 )在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， P为 B1D1的 中 点 ，则 直 线 PB与 AD1所 成 的 角 为
( )
π π π π
A. B. C. D.
2 3 4 6
2.(2021年 新 课 程 卷 )已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 2， 其 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆 ，则 该 圆 锥 的 母 线 长 为
( )
A.2 B. 2 2 C. 4 D.4 2
3.(2021年 甲 卷 )在 一 个 正 方 体 中 ，过 顶 点 A的 三 条 棱 的 中 点 分 别 为 E， F， G． 该 正 方 体 截 去 三 棱
锥 A-EFG后 ，所得多面体的三视图中 ，正视图如图所示 ，则相应的侧视图是 ( )
A. B.
C. D.
4.(2021年 甲 卷 )已 如 A， B， C是 半 径 为 1的 球 O的 球 面 上 的 三 个 点 ，且 AC⊥BC,AC=BC=1，
则三棱锥 O-ABC的体积为 ( )
2 3 2 3
A. B. C. D.
12 12 4 4
?? ??? ???
5.(2021年 新 课 程 卷 )在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AB=AA1=1，点 P满 足 BP=λBC+μBB1，
其中 λ∈?0,1?， μ∈?0,1?， 则 ( )
A.当 λ=1时 ， △AB1P的周长为定值 B. 当 μ=1时 ，三棱锥 P-A1BC的体积为定值
1
C. 当 λ= 时 ，有且仅有一个点 P，使得 A1P⊥BP
2
1
D.当 μ= 时 ，有且仅有一个点 P，使得 A1B⊥平面 AB1P
2
·23·
6.(2021年 乙 卷 )以 图 ① 为 正 视 图 ，在 图 ②③④⑤ 中 选 两 个 分 别 作 为 侧 视 图 和 俯 视 图 ，组 成 某 三 棱 锥
的三视图 ，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可 )．
7.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )已 知 A,B,C为 球 O的 球 面 上 的 三 个 点 ， ⊙O1为 △ABC的 外 接
圆 ，若 ⊙O1的面积为 4π， AB=BC=AC=OO1，则球 O的表面积为 ( )
A.64π B. 48π C. 36π D.32π
8.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古 代 世 界 建 筑 奇 迹 之 一 ，它 的 形 状 可 视 为 一
个 正 四 棱 锥 ，以 该 四 棱 锥 的 高 为 边 长 的 正 方 形 面 积 等 于 该 四 棱 锥 一 个 侧 面 三 角 形 的 面 积 ，则 其 侧
面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
5-1 5-1 5+1 5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
9 3
9.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )已 知 △ABC是 面 积 为 等 边 三 角 形 ，且 其 顶 点 都 在 球 O
4
的球面上．若球 O的表面积为 16π，则 O到平面 ABC的距离为 ( )
3 3
A. 3 B. C. 1 D.
2 2
10.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )如 图 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图 ，这 个 多 面 体 某 条 棱 的 一 个 端 点 在
正视图中对应的点为 M，在俯视图中对应的点为 N，则该端点在侧视图中对应的点为
·24·
A. E B. F C. G D.H
11.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科 )下图为某几何体的三视图 ，则该几何体的表面积是 ( )
A.6+4 2 B. 4+4 2 C. 6+2 3 D.4+2 3
12.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )如 图 ，点 N 为 正 方 形 ABCD的 中 心 ， △ECD为 正 三 角 形 ，平 面
ECD⊥平面 ABCD， M 是线段 ED的中点 ，则 ( )
A.BM =EN，且直线 BM,EN 是相交直线 B. BM ≠EN，且直线 BM,EN 是相交直线
C. BM =EN，且直线 BM,EN 是异面直线 D.BM ≠EN，且直线 BM,EN 是异面直线
13.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科 )设 α、 β为两个平面 ，则 α?β的充要条件是 ( )
A.α内有无数条直线与 β平行 B. α内有两条相交直线与 β平行
C. α， β平行于同一条直线 D.α， β垂直于同一平面
14.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅰ 卷 理 科 )已 知 三 棱 锥 P-ABC的 四 个 顶 点 在 球 O的 球 面 上 ， PA=
·25·
PB=PC， △ABC是 边 长 为 2的 正 三 角 形 ， E， F分 别 是 PA， AB的 中 点 ， ∠CEF=90°，则 球 O的
体积为 ( )
A.8 6π B. 4 6π C. 2 6π D. 6π
15.(2018年 高 考 数 学课 标 Ⅲ 卷 (理 ))设 A,B,C,D是同一个半径为 4的球的球面上四点 ， △ABC为等
边三角形且其面积为 9 3， 则三棱锥 D-ABC体积的最大值为 ( )
A.12 3 B. 18 3 C. 24 3 D.54 3
16.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 (理 ) )中 国 古 建 筑 借 助 榫 卯 将 木 构 件 连 接 起 来 ． 构 件 的 凸 出 部 分 叫
榫 ，凹 进 部 分 叫 卯 眼 ，图 中 木 构 件 右 边 的 小 长 方 体 是 榫 头 ，若 如 图 摆 放 的 木 构 件 与 某 一 带 卯 眼 的 木
构件咬合成长方体．则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )
17.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 (理 ) )在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， AB=BC=1， AA1= 3， 则
异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 ( )
1 5 5 2
A. B. C. D.
5 6 5 2
18.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )已 知 正 方 体 的 校 长 为 1，每 条 棱 所 在 直 线 与 平 面 α所 成 的 角 都 相
等 ，则 α截此正方体所得截面而积的最大值为 ( )
3 3 2 3 3 2 3
A. B. C. D.
4 3 4 2
19.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )某 圆 柱 的 高 为 2，底 面 周 长 为 16,其 三 视 图 如 右 圈 ，圆 柱 表 面 上
的 点 M 在 正 视 图 上 的 对 应 点 为 A． 圆 柱 表 面 上 的 点 N 在 左 视 图 上 的 对 应 点 为 B,则 在 此 圆 柱 侧
面上 ，从 M 到 N 的路径中 ，最短路径的长度为 ( )
A.2 17 B. 2 5 C. 3 D.2
20.(2017年 高 考 数 学 新 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )某 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ,其 中 正 视 图 和 左 视 图 都 由 正 方
形 和 等 腰 直 角 三 角 形 组 成 ,正 方 形 的 边 长 为 2,俯 视 图 为 等 腰 直 角 三 角 形 ． 该 多 面 体 的 各 个 面 中
有若干个是梯形 ,这些梯形的面积之和为 ( )
·26·
A.10 B. 12 C. 14 D.16
21.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )已 知 圆 柱 的 高 为 1，它 的 两 个 底 面 的 圆 周 在 直 径 为 2的 同 一 个 球
的球面上 ，则该圆柱的体积为 ( )
3π π π
A.π B. C. D.
4 2 4
?
22.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )已 知 直 三 棱 柱 ΑΒC-Α1Β1C1中 ， ∠ΑΒC=120 ， ΑΒ=2， ΒC=
CC1=1，则异面直线 ΑΒ1与 ΒC1所成角的余弦值为 ( )
3 15 10 3
A. B. C. D.
2 5 5 3
23.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )如 图 ，网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1，粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何 体
的三视图 ，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得 ，则该几何体的体积为 ( )
A.90π B. 63π C. 42π D.36π
24.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )在 封 闭 的 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1内 有 一 个 体 积 为 V的 球 ,若 AB
⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V的最大值是 ( )
9π 32π
A.4π B. C. 6π D.
2 3
25.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )如 图 ,网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,粗 实 现 画 出 的 是 某 多 面 体 的
三视图 ,则该多面体的表面积为 ( )
A.18+36 5 B. 54+18 5 C. 90 D.81
·27·
26.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )右 图 是 由 圆 柱 与 圆 锥 组 合 而 成 的 几 何 体 的 三 视 图 ，则 该 几 何 体 的
表面积为 ( )
A.20π B. 24π C. 28π D.32π
27.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )平 面 α过 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的 顶 点 A， α?平 面 CB1D1， α
∩平面 ABCD=m， α∩平面 ABB1A1=n，则 m,n所成角的正弦 ( )
3 2 3 1
A. B. C. D.
2 2 3 3
28.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )如 图 ，某 几 何 体 的 三 视 图 是 三 个 半 径 相 等 的 圆 及 每 个 圆 中 两 条 相
互垂直的半径．若该几何体的体积是 28π， 则它的表面积是 ( )
3
A.17π B. 18π C. 20π D.28π
29.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科 )设有下列四个命题 ：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
·28·
p3： 若空间两条直线不相交 ，则这两条直线平行．
p4：若直线 l?平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是 .
① p1∧p4② p1∧p2③ ?p2∨p3④ ?p3∨?p4
30.(2020年高 考数 学 课标 Ⅲ卷 理科 )已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球
的体积为 .
31.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )学 生 到 工 厂 劳 动 实 践 ，利 用 3D打 印 技 术 制 作 模 型 ． 如 图 ，该 模
型 为 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1挖 去 四 棱 锥 O-EFGH 后 所 得 的 几 何 体 ，其 中 O为 长 方 体 的 中
心 ， E,F,G,H 分 别 为 所 在 棱 的 中 点 AB=BC =6 cm,AA1=4 cm， 3D打 印 所 用 原 料 密 度 为
3
0.9g/cm ，不考虑打印损耗 ，制作该模型所需原料的质量为 g．
32.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅱ 卷 理 科 )中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化 ，印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一 ． 印
信 的 形 状 多 为 长 方 体 、正 方 体 或 圆 柱 体 ，但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是“半 正 多 面 体”
(图 1)． 半 正 多 面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体 ． 半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对
称 美 ． 图 2是 一 个 棱 数 为 48的 半 正 多 面 体 ，它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上 ，且 此 正 方
体 的 棱 长 为 1． 则 该 半 正 多 面 体 共 有 个 面 ，其 棱 长 为 (本 题 第 一 空 2分 ，
第二空 3分 ).
7
33.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 (理 ) )已 知 圆 锥 的 顶 点 为 S，母 线 SA， SB所 成 角 的 余 弦 值 为 ， SA
8
与圆锥底面所成角为 45°，若 △SAB的面积为 5 15， 则该圆锥的侧面积为 .
·29·
34.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )a,b为 空 间 中 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 ，等 腰 直 角 三 角 形 ABC的 直
角边 AC所在直线与 a,b都垂直 ，斜边 AB以直线 AC为旋转轴旋转 ，有下列结论 ：
①当直线 AB与 a成 60°角时 ， AB与 b成 30°角 ；
②当直线 AB与 a成 60°角时 ， AB与 b成 60°角 ；
③直线 AB与 a所成角的最小值为 45°；
④直线 AB与 a所成角的最大值为 60°．
其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号 )
35.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科 )α,β是两个平面 ， m,n是两条直线 ，有下列四个命题 ：
(1)如果 m⊥n， m⊥α， n?β，那么 α⊥β．
(2)如果 m⊥α， n?α，那么 m⊥n．
(3)如果 α?β， m?α，那么 m?β．
(4)如果 m?n， α?β，那么 m与 α所成的角和 n与 β所成的角相等．
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号 )
·30·
第 12讲 ：立体几何与向量方法
1.(2021年 乙 卷 )如 图 ，四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 是 矩 形 ， PD⊥底 面 ABCD， PD=DC=1， M 为
BC的中点 ，且 PB⊥AM．
(1)求 BC；
(2)求二面角 A-PM -B的正弦值．
2.(2021年 新 课 程 卷 )如 图 ，在 三 棱 锥 A-BCD中 ，平 面 ABD⊥平 面 BCD， AB=AD， O为 BD的
中点 .
(1)证明 ： OA⊥CD；
(2)若 △OCD是边长为 1的等边三角形 ，点 E在棱 AD上 ， DE=2EA，且二面角 E-BC-D的大
小为 45°，求三棱锥 A-BCD的体积 .
3.(2021年 甲 卷 )已 知 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ，侧 面 AA1B1B为 正 方 形 ， AB=BC=2， E， F分
别为 AC和 CC1的中点 ， D为棱 A1B1上的点． BF⊥A1B1
·31·
(1)证明 ： BF⊥DE；
(2)当 B1D为何值时 ，面 BB1C1C与面 DFE所成的二面角的正弦值最小 ?
4.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )如 图 ， D为 圆 锥 的 顶 点 ， O是 圆 锥 底 面 的 圆 心 ， AE为 底 面 直 径 ，
6
AE=AD． △ABC是底面的内接正三角形 ， P为 DO上一点 ， PO= DO．
6
(1)证明 ： PA⊥平面 PBC；
(2)求二面角 B-PC-E的余弦值．
5.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )如 图 ，已 知 三 棱 柱 ABC -A1B1C1的 底 面 是 正 三 角 形 ，侧 面
BB1C1C是 矩 形 ， M， N 分 别 为 BC， B1C1的 中 点 ， P为 AM 上 一 点 ，过 B1C1和 P的 平 面 交 AB于
E，交 AC于 F．
·32·
(1)证明 ： AA1∥MN，且平面 A1AMN ⊥EB1C1F；
(2)设 O为 △A1B1C1的中心 ，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平面 A1AMN 所
成角的正弦值．
6.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )如 图 ，在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ，点 E,F 分 别 在 棱
DD1,BB1上 ，且 2DE=ED1， BF=2FB1．
(1)证明 ：点 C1 平面 AEF内 ；
(2)若 AB=2， AD=1， AA1=3，求二面角 A-EF-A1的正弦值．
7.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )图 1是 由 矩 形 ADEB， Rt△ABC和 菱 形 BFGC组 成 的 一 个 平 面
图 形 ，其 中 AB=1， BE=BF=2， ∠FBC=60°，将 其 沿 AB， BC折 起 使 得 BE与 BF重 合 ，连 结
DG，如图 2．
(1)证明 ：图 2中的 A， C， G， D四点共面 ，且平面 ABC⊥平面 BCGE；
(2)求图 2中的二面角 B-CG-A的大小．
·33·
8.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅱ 卷 理 科 )如 图 ，长 方 体 ABCD-A1B1C1D1的 底 面 ABCD是 正 方 形 ，
点 E在棱 AA1上 ， BE⊥EC1．
?1?证明 ： BE⊥平面 EB1C1；
?2?若 AE=A1E， 求二面角 B-EC-C1的正弦值．
9.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅰ 卷 理 科 )如 图 ，直 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1的 底 面 是 菱 形 ， AA1=
4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是 BC， BB1， A1D的中点．
(1)证明 ： MN ?平面 C1DE；
(2)求二面角 A-MA1-N 的正弦值．
·34·
10.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 (理 ) ) (12分 )如 图 ，边 长 为 2的 正 方 形 ABCD所 在 平 面 与 半 圆 弧 CD
所在的平面垂直 ， M 是弧 CD上异于 C,D的点．
(1)证明 ：平面 AMD⊥平面 BMC；
(2)当三棱锥 M -ABC体积最大时 ，求面 MAB与面 MCD所成二面角的正弦值．
11.(2018年高考数学课标Ⅱ卷 (理 )) (12分 )
如图 ，在三棱锥 P-ABC中 ， AB=BC=2 2， PA=PB=PC=AC=4， O为 AC的中点．
(1)证明 ： PO⊥平面 ABC；
(2)若点 M 在棱 BC上 ，且二面角 M -PA-C为 30°，求 PC与平面 PAM 所成角的正弦值．
12.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) ) (12分 )如 图 ，四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， E,F分 别 为 AD,BC的
中点 ，以 DF为折痕把 ΔDCF折起 ，使点 C到达点 P的位置 ，且 PF⊥BF．
(1)证明 :平面 PEF⊥平面 ABFD；
(2)求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值．
13.(2017年 高 考 数 学 新 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )如 图 ,在 四 棱 锥 P-ABCD中 ,AB?CD,且 ∠BAP= ∠CDP
=90°．
·35·
(1)证明 :平面 PAB⊥平面 PAD;
(2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角 A-PB-C的余弦值．
14.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )如 图 ，四 面 体 ABCD中 ， ΔABC 是 正 三 角 形 ， ΔACD是 直 角 三
角形 ， ∠ABD= ∠CBD， AB=BD．
(1)证明 ：平面 ACD⊥平面 ABC；
(2)过 AC的 平 面 交 BD于 点 E，若 平 面 AEC把 四 面 体 ABCD分 成 体 积 相 等 的 两 部 分 ，求 二 面 角
D-AE-C的余弦值．
15.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )如 图 ，四 棱 锥 P-ABCD中 ，侧 面 PAD为 等 比 三 角 形 且 垂 直 于
底面 1 o
ABCD， AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90 ,E是 PD的中点．
2
(1)证明 ：直线 CE?平面 PAB；
(2)点 M 在 棱 PC 上 ，且 直 线 BM 与 底 面 ABCD所 成 锐 角 为 o
45 ，求 二 面 角 M -AB-D的 余 弦
值．
16.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷理 科 )如图 ,四棱锥 P-ABC中 ,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD
·36·
=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD上一点 ,AM =2MD,N 为 PC的中点 .
(Ⅰ )证明 MN ∥平面 PAB;
(Ⅱ )求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 .
17.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 ) (本 小 题 满 分 )如 图 ，菱 形 ABCD的 对 角 线 AC 与 BD交 于 点 O，
5
AB=5,AC=6，点 E,F分 别 在 AD,CD上 ， AE=CF= ， EF交 BD于 点 H． 将 ΔDEF沿 EF
4
折到 ? ?
ΔDEF的位置 ， OD = 10．
?
(I)证明 ： DH⊥平面 ABCD；
?
(II)求二面角 B-DA-C的正弦值．
18.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 ) (本 题 满 分 为 12分 )如 图 ，在 以 A,B,C,D,E,F为 顶 点 的 五 面 体 中 ，
面 ?
ABEF为 正 方 形 ， AF=2FD， ∠AFD=90 ，且 二 面 角 D-AF-E与 二 面 角 C-BE-F都 是
?
60．
(I)证明平面 ABEF⊥EFDC；
(II)求二面角 E-BC-A的余弦值．
·37·
第 13讲 ：数列
1.(2021年乙卷 )记 Sn为数列 2 1
?an?的前 n项和 ， bn为数列 ?Sn?的前 n项积 ，已知 + =2．
Sn bn
(1)证明 ：数列 ?bn?是等差数列 ;
(2)求 ?an?的通项公式．
an+1,n为奇数 ,
2.(2021年新课程卷 )已知数列 ?an?满足 a1=1， an+1=???an+2,n为偶数 .
(1)记 bn=a2n， 写出 b1， b2，并求数列 ?bn?的通项公式 ；
(2)求 ?an?的前 20项和 .
3.(2021年 甲 卷 )已 知 数 列 ?an?的 各 项 均 为 正 数 ，记 Sn为 ?an?的 前 n项 和 ，从 下 面 ①②③ 中 选 取 两
个作为条件 ，证明另外一个成立．
①数列 ?an?是等差数列 ：②数列 ? Sn?是等差数列 ；③ a2=3a1．
注 ：若选择不同的组合分别解答 ，则按第一个解答计分．
15 5
4.(2020二卷 )数列 {an}中 ， a1=2， am+n=aman，若 ak+1+ak+2+?+ak+10=2 -2 ，则 k= ( )
A.2 B. 3 C. 4 D.5
5.(2020二 卷 )0-1周 期 序 列 在 通 信 技 术 中 有 着 重 要 应 用 .若 序 列 a1a2?an?满 足 ai∈ {0,1} (i=
1,2, ? )，且 存 在 正 整 数 m，使 得 ai+m=ai(i=1,2, ? )成 立 ，则 称 其 为 0-1周 期 序 列 ，并 称 满 足
ai+m=ai(i=1,2, ? )的 最 小 正 整 数 m为 这 个 序 列 的 周 期 .对 于 周 期 为 m的 0-1序 列 a1a2?an
m
1
?， C(k) = ?aiai+k(k=1,2,? ,m-1)是 描 述 其 性 质 的 重 要 指 标 ，下 列 周 期 为 5的 0-1序 列
m
i=1
中 ，满足 1
C(k) ≤ (k=1,2,3,4)的序列是 ( )
5
A.11010? B. 11011? C. 10001? D.11001?
6.(2020新课标 )已知公比大于 1的等比数列 {an}满足 a2+a4=20,a3=8．
(1)求 {an}的通项公式 ；
(2)记 bm为 {an}在区间 *
(0,m] (m∈N )中的项的个数 ，求数列 {bm}的前 100项和 S100．
7.(2020三卷 )设数列 {an}满足 a1=3， an+1=3an-4n．
(1)计算 a2， a3，猜想 {an}的通项公式并加以证明 ；
n
(2)求数列 {2 an}的前 n项和 Sn．
8.(2020一卷 )设 {an}是公比不为 1的等比数列 ， a1为 a2， a3的等差中项．
(1)求 {an}的公比 ；
(2)若 a1=1，求数列 {nan}的前 n项和．
1 2
9.(2019全国 1理 14)记 Sn为等比数列 {an}的前 n项和．若 a1= ， a4=a6， 则 S5= .
3
10.(2019全 国 3理 5)已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an}的 前 4项 为 和 为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3
= ( )
A.16 B. 8 C. 4 D.2
11.(2019全国 1理 9)记 Sn为等差数列 {an}的前 n项和．已知 S4=0， a5=5，则 ( )
·38·
A.an=2n-5 B. ?an=3n-10
2 1 2
C. Sn=2n -8n D.Sn= n -2n
2
S10
12.(2019全国 3理 14)记 Sn为等差数列 {an}的前 n项和 ， a1≠0， a2=3a1，则 = .
S5
13.(2018全国卷Ⅰ )记 Sn为等差数列 {an}的前 n项和 ，若 3S3=S2+S4， a1=2，则 a5= ( )
A.-12 B. -10
C. 10 D.12
14.(2017新 课 标 Ⅰ )记 Sn为 等 差 数 列 {an}的 前 n项 和 ． 若 a4+a5=24， S6=48，则 {an}的 公 差 为
( )
A.1 B. 2 C. 4 D.8
15.(2017新 课 标 Ⅲ )等 差 数 列 {an}的 首 项 为 1，公 差 不 为 0． 若 a2， a3， a6成 等 比 数 列 ，则 {an}前 6项
的和为 ( )
A.-24 B. -3 C. 3 D.8
16.(2019全 国 2卷 理 19)已 知 数 列 {an}和 {bn}满 足 a1=1， b1=0， 4an+1=3an-bn+4， 4bn+1=3bn-
an-4.
(1)证明 ： {an+bn}是等比数列 ， {an– bn}是等差数列 ；
(2)求 {an}和 {bn}的通项公式 .
17.(2017新 课 标 Ⅱ )我 国 古 代 数 学 名 著《 算 法 统 宗 》中 有 如 下 问 题 ：“远 望 巍 巍 塔 七 层 ，红 光 点 点 倍 加
增 ，共 灯 三 百 八 十 一 ，请 问 尖 头 几 盏 灯？”意 思 是 ：一 座 7层 塔 共 挂 了 381盏 灯 ，且 相 邻 两 层 中 的 下
一层灯数是上一层灯数的 2倍 ，则塔的顶层共有灯
A.1盏 B. 3盏 C. 5盏 D.9盏
18.(2018全国卷Ⅰ )记 Sn为数列 {an}的前 n项和 ，若 Sn=2an+1，则 S6= .
n 1
19.(2017新课标Ⅱ )等差数列 {an}的前 n项和为 Sn， a3=3， S4=10，则 ? = .
k=1 Sk
20.(2017新 课 标 Ⅰ )几 位 大 学 生 响 应 国 家 的 创 业 号 召 ，开 发 了 一 款 应 用 软 件 ． 为 激 发 大 家 学 习 数 学
的 兴 趣 ，他 们 推 出 了“解 数 学 题 获 取 软 件 激 活 码”的 活 动 ． 这 款 软 件 的 激 活 码 为 下 面 数 学 问 题 的 答
案 ：已 知 数 列 1， 1， 2， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 8， 1， 2， 4， 8， 16， ?，其 中 第 一 项 是 0 0
2 ，接 下 来 的 两 项 是 2 ，
1
2 ，再 接 下 来 的 三 项 是 0 1 2
2 ， 2 ， 2 ，依 此 类 推 ． 求 满 足 如 下 条 件 的 最 小 整 数 N： N >100且 该 数 列 的
前 N 项和为 2的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )
A.440 B. 330 C. 220 D.110
21.(2016年 全 国 Ⅲ )定 义“规 范 01数 列” {an}如 下 ： {an}共 有 2m项 ，其 中 m项 为 0， m项 为 1，且 对
任 意 k≤2m， a1,a2, ? ,ak中 0的 个 数 不 少 于 1的 个 数 ． 若 m=4，则 不 同 的“规 范 01数 列”共 有
( )
A.18个 B. 16个 C. 14个 D.12个
22.(2018全国卷Ⅱ )记 Sn为等差数列 {an}的前 n项和 ，已知 a1=-7， S3=-15．
·39·
(1)求 {an}的通项公式 ；
(2)求 Sn，并求 Sn的最小值．
23.(2018全国卷Ⅲ )等比数列 {an}中 ， a1=1， a5=4a3．
(1)求 {an}的通项公式 ；
(2)记 Sn为 {an}的前 n项和．若 Sm=63，求 m．
24.(2016年 全 国 II)Sn为 等 差 数 列 ?an?的 前 n项 和 ，且 a1=1， S7=28． 记 bn=?lgan?， 其 中 ?x?表 示
不超过 x的最大整数 ，如 ?0.9?=0， ?lg99?=1．
(Ⅰ )求 b1， b11， b101；
(Ⅱ )求数列 ?bn?的前 1000项和．
·40·
第 14讲 ：不等式
1.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科 )已知 0.2 0.3
a=log20.2， b=2 ， c=0.2 ，则 ( )
A.a2.(2018年高考数学课标Ⅲ卷 (理 ))设 a=log0.20.3， b=log20.3，则 ( )
A.a+b2x+3y-3≤0
3.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )设 ， y满 足 约 束 条 件 ?2x-3y+3≥0， 则 z=2x+y的 最 小 值
??
y+3≥0
是 ( )
A.-15 B. -9 C. 1 D.9
2x+y-2≤0,
4.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )若 x， y满 足 约 束 条 件 ?x-y-1≥0, 则 z=x+7y 最 大 值
??
y+1≥0,
为 .
x+y≥0,
5.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )若 x， y满 足 约 束 条 件 ?2x-y≥0， ， 则 z=3x+2y的 最 大 值 为
??
x≤1,
.
x+2y-5≥0,
6.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 (理 ) )若 x,y满 足 约 束 条 件 ?x-2y+3≥0, 则 z=x+y的 最 大 值 为
??
x-5≤0,
.
x-2y-2≤0
7.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )若 x,y满 足 约 束 条 件 ?x-y+1≥0 ， 则 z=3x+2y最 大 值 为
??
y≤0
.
x+2y≤1
8.(2017年 高 考 数 学 新 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )设 x,y满 足 约 束 条 件 ?2x+y≥-1,则 z=3x-2y的 最 小 值
??
x-y≤0
为 .
x-y≥0
9.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )若 x,y满 足 约 束 条 件 ?x+y-2≤0,则 z=3x-4y的 最 小 值 为
??
y≥0
.
x-y+10
10.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )若 x,y满 足 约 束 条 件 ?x-2y0 ,则 z=x+y的 最 大 值 为
??
x+2y-20
.
11.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )某 高 科 技 企 业 生 产 产 品 A和 产 品 B需 要 甲 、乙 两 种 新 型 材 料 ． 生
·41·
产 一 件 产 品 A需 要 甲 材 料 1.5 kg，乙 材 料 1 kg，用 5个 工 时 ；生 产 一 件 产 品 B需 要 甲 材 料 0.5 kg，乙
材 料 0.3 kg，用 3个 工 时 ，生 产 一 件 产 品 A的 利 润 为 2100元 ，生 产 一 件 产 品 B的 利 润 为 900元 ． 该
企 业 现 有 甲 材 料 150 kg，乙 材 料 90 kg，则 在 不 超 过 600个 工 时 的 条 件 下 ，生 产 产 品 A、产 品 B的 利
润之和的最大值为 元．
·42·
第 15讲 ：计数原理与概率初步
1.(2021年 乙 卷 )将 5名 北 京 冬 奥 会 志 愿 者 分 配 到 花 样 滑 冰 、短 道 速 滑 、冰 球 和 冰 壶 4个 项 目 进 行 培
训 ，每名志愿者只分配到 1个项目 ，每个项目至少分配 1名志愿者 ，则不同的分配方案共有 ( )
A.60种 B. 120种 C. 240种 D.480种
2.(2021年乙卷 )在区间 7
(0,1)与 (1,2)中各随机取 1个数 ，则两数之和大于 的概率为 ( )
4
7 23 9 2
A. B. C. D.
9 32 32 9
3.(2021年 新 课 程 卷 )有 6个 相 同 的 球 ，分 别 标 有 数 字 1， 2， 3， 4， 5， 6，从 中 有 放 回 的 随 机 取 两 次 ，每
次 取 1个 球 ，甲 表 示 事 件“第 一 次 取 出 的 球 的 数 字 是 1”，乙 表 示 事 件“第 二 次 取 出 的 球 的 数 字 是
2”，丙 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 8”，丁 表 示 事 件“两 次 取 出 的 球 的 数 字 之 和 是 7”，则
( )
A.甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
4.(2021年甲卷 )将 4个 1和 2个 0随机排成一行 ，则 2个 0不相邻的概率为 ( )
1 2 2 4
A. B. C. D.
3 5 3 5
5.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )4名 同 学 到 3个 小 区 参 加 垃 圾 分 类 宣 传 活 动 ，每 名 同 学 只 去 1个
小区 ，每个小区至少安排 1名同学 ，则不同的安排方法共有 种．
2 2 6
6.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科 )?x + 的展开式中常数项是 (用数字作答 )．
x ?
7.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )从 2位 女 生 ， 4位 男 生 中 选 3人 参 加 科 技 比 赛 ，且 至 少 有 1位 女
生入选 ，则不同的选法共有种 。 (用数字填写答案 )
5 3
8.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 ) (2x+ x) 的 展 开 式 中 ， x 的 系 数 是 .(用 数 字 填 写 答
案 )
9.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )在 一 组 样 本 数 据 中 ， 1， 2， 3， 4出 现 的 频 率 分 别 为 p1,p2,p3,p4，且
4
?pi=1， 则下面四种情形中 ，对应样本的标准差最大的一组是 ( )
i=1
A. p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B. p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C. p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D. p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
10.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅰ 卷 理 科 )我 国古 代 典 籍《周 易》用“卦”描 述 万 物 的变 化 ． 每 一“重 卦”
由 从 下 到 上 排 列 的 6个 爻 组 成 ，爻 分 为 阳 爻“— —”和 阴 爻“— —”，如 图 就 是 一 重 卦 ． 在 所 有 重 卦
中随机取一重卦 ，则该重卦恰有 3个阳爻的概率是 ( )
5 11 21 11
A. B. C. D.
16 32 32 16
11.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 (理 ))某群 体中 的每 位 成员 使用 移动 支付 的概 率 都为 p，各成 员的 支 付
·43·
方 式 相 互 独 立 ，设 X 为 该 群 体 的 10位 成 员 中 使 用 移 动 支 付 的 人 数 ， DX =2.4， P?X=4? <
P?X=6?， 则 p= ( )
A.0.7 B. 0.6 C. 0.4 D.0.3
12.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 (理 ) )我 国 数 学 家 陈 景 润 在 哥 德 巴 赫 猜 想 的 研 究 中 取 得 了 世 界 领 先 的
成 果 ． 哥 德 巴 赫 猜 想 是“每 个 大 于 2的 偶 数 可 以 表 示 为 两 个 素 数 的 和”，如 30=7+23． 在 不 超 过
30的素数中 ，随机选取两个不同的数 ，其和等于 30的概率是 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
12 14 15 18
13.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )下 图 来 自 古 希 腊 数 学 家 希 波 克 拉 底 所 研 究 的 几 何 图 形 。 此 图 由
三 个 半 圆 构 成 ，三 个 半 圆 的 直 径 分 别 为 直 角 三 角 形 ABC的 斜 边 BC,直 角 边 AB,AC． ΔABC的
三 边 所 围 成 的 区 域 记 为 I，黑 色 部 分 记 为 II． 其 余 部 分 记 为 III． 在 整 个 图 形 中 随 机 取 一 点 ，此 点
取自 1， II,III的概率分别记为 P1,P2,P3则 ( )
A.P1=P2 B. P1=P3 C. P2=P3 D.P1=P2+P3
14.(2017年 高 考 数 学 新 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )如 图 ,正 方 形 内 的 图 形 来 自 中 国 古 代 的 太 极 图 ． 正
方 形 内 切 圆 中 的 黑 色 部 分 和 白 色 部 分 关 于 正 方 形 的 中 心 成 中 心 对 称 ． 在 正 方 形 内 随 机 取 一 点 ,则
此点取自黑色部分的概率是 ( )
1 π 1 π
A. B. C. D.
4 8 2 4
15.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )从 区 间 ?0,1?随 机 抽 取 2n个 数 x1,x2， ?， xn， y1， y2， ?， yn，构 成 n
个 数 对 ?x1,y1?， ?x2,y2?， ?， ?xn,yn?， 其 中 两 数 的 平 方 和 小 于 1的 数 对 共 有 m个 ，则 用 随 机 模 拟 的
方法得到的圆周率 π的近似值为 ( )
4n 2n 4m 2m
A. B. C. D.
m m n n
16.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )某 公 司 的 班 车 在 7:30， 8:00， 8:30发 车 ，小 明 在 7:50至 8:30之
间到达发车站乘坐班车 ，且到达发车站的时刻是随机的 ，则他等车时间不超过 10分钟的概率是
( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
17.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅰ 卷 理 科 )甲 、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛 ，采 取 七 场 四 胜 制 (当 一 队 赢 得 四
·44·
场 胜 利 时 ，该 队 获 胜 ，决 赛 结 束 )． 根 据 前 期 比 赛 成 绩 ，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客
主”． 设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6，客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5，且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立 ，则 甲 队 以
4： 1获胜的概率是 .
18.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )一 批 产 品 的 二 等 品 率 为 0.02，从 这 批 产 品 中 每 次 随 机 取 一 件 ，有
放回地抽取 100次 ， Χ表示抽到的二等品件数 ，则 DΧ= .
·45·
第 16讲 ：统计与概率分布
1.(2021年 新 课 程 卷 )有一组样本数据 x1， x2， ?， xn，由这组数据得到新样本数据 y1， y2， ?， yn，其中
yi=xi+c(i=1,2, ??? ,n),c为非零常数 ，则 ( CD )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样数据的样本极差相同
2.(2021年 乙 卷 )某 厂 研 制 了 一 种 生 产 高 精 产 品 的 设 备 ，为 检 验 新 设 备 生 产 产 品 的 某 项 指 标 有 无 提
高 ，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品 ，得到各件产品该项指标数据如下 ：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ?
x和 ? 2
y， 样本方差分别记为 2
S1和 S2．
? ? 2 2
(1)求 x， y， S1， S2；
2 2
? S1+S2
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 (如果 ?
y-x≥2 ，
10
则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ，否则不认为有显著提高 )．
3.(2021年 新 课 程 卷 )某 学 校 组 织“一 带 一 路”知 识 竞 赛 ，有 A， B两 类 问 题 ，每 位 参 加 比 赛 的 同 学 先
在 两 类 问 题 中 选 择 一 类 并 从 中 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，若 回 答 错 误 则 该 同 学 比 赛 结 束 ；若 回 答 正
确 则 从 另 一 类 问 题 中 再 随 机 抽 取 一 个 问 题 回 答 ，无 论 回 答 正 确 与 否 ，该 同 学 比 赛 结 束 .A类 问 题 中
的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 20分 ，否 则 得 0分 ； B类 问 题 中 的 每 个 问 题 回 答 正 确 得 80分 ，否 则 得 0分 ，
己 知 小 明 能 正 确 回 答 A类 问 题 的 概 率 为 0.8，能 正 确 回 答 B类 问 题 的 概 率 为 0.6，且 能 正 确 回 答 问
题的概率与回答次序无关 .
(1)若小明先回答 A类问题 ，记 X为小明的累计得分 ，求 X的分布列 ；
(2)为使累计得分的期望最大 ，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由 .
4.(2021年 甲 卷 )甲 、乙 两 台 机 床 生 产 同 种 产 品 ，产 品 按 质 量 分 为 一 级 品 和 二 级 品 ，为 了 比 较 两 台 机
床产品的质量 ，分别用两台机床各生产了 200件产品 ，产品的质量情况统计如下表 ：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床 、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少 ?
(2)能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异 ?
2
n(ad-bc)
附 ： 2
K = (a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
2
P?K ≥k? 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
5.(2020全 国 一 卷 )． 甲 、乙 、丙三 位 同学 进 行羽 毛 球比 赛 ，约 定 赛制 如 下 ：累 计负 两 场者 被 淘汰 ；比 赛
前 抽 签 决 定 首 先 比 赛 的 两 人 ，另 一 人 轮 空 ；每 场 比 赛 的 胜 者 与 轮 空 者 进 行 下 一 场 比 赛 ，负 者 下 一 场
轮 空 ，直 至 有 一 人 被 淘 汰 ；当 一 人 被 淘 汰 后 ，剩 余 的 两 人 继 续 比 赛 ，直 至 其 中 一 人 被 淘 汰 ，另 一 人 最
·46·
终获胜 ，比赛结束 .经抽签 ，甲 、乙首先比赛 ，丙轮空 1
.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
2
(1)求甲连胜四场的概率 ；
(2)求需要进行第五场比赛的概率 ；
(3)求丙最终获胜的概率 .
6.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )《 西 游 记 》《 三 国 演 义 》《 水 浒 传 》和《 红 楼 梦 》是 中 国 古 典 文 学 瑰
宝 ，并 称为 中 国 古典 小 说 四大 名 著． 某 中 学为 了 解 本校 学 生 阅读 四 大名 著 的 情况 ，随 机调 查 了 100
位 学 生 ，其 中 阅 读 过《西 游 记》或《红 楼 梦》的 学 生 共 有 90位 ，阅 读 过《红 楼 梦》的 学 生 共 有 80位 ，阅
读 过《西 游 记 》且 阅 读 过《红 楼 梦 》的 学 生 共 有 60位 ，则 该 校 阅 读 过《西 游 记 》的 学 生 人 数 与 该 校 学
生总数比值的估计值为 ( )
A.0.5 B. 0.6 C. 0.7 D.0.8
7.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科 )若 a>b，则 ( )
a b 3 3
A.ln(a-b) >0 B. 3 <3 C. a -b >0 D.|a| > |b|
8.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅱ 卷 理 科 )演讲比 赛共 有 9位评委 分别 给出 某选 手的原 始评 分 ，评定 该
选 手 的 成 绩 时 ，从 9个 原 始 评 分 中 去 掉 1个 最 高 分 、 1个 最 低 分 ，得 到 7个 有 效 评 分 ． 7个 有 效 评
分与 9个原始评分相比 ，不变的数字特征是 ( )
A.中位数 B. 平均数 C. 方差 D.极差
9.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )某 地 区 经 过 一 一 年 的 新 农 村 建 设 ，农 村 的 经 济 收 入 增 加 了 一 倍 ，
实 现 翻 番 ． 为 更 好 地 了 解 该 地 区 农 村 的 经 济 收 入 变 化 情 况 ，统 计 了 该 地 区 新 农 村 建 设 前 后 农 村 的
经济收入构成比例 ，得到如下饼图 :
则下面结论中不正确的是 ( )
A.新农村建设后 ，种植收入减少 B. 新农村建设后 ，其他收入增加了一倍以
C. 新农村建设后 ，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后 ，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅱ 卷 理 科 )我 国 高 铁 发 展 迅 速 ，技 术 先 进 ． 经 统 计 ，在 经 停 某 站 的 高 铁
列 车 中 ，有 10个 车 次 的 正 点 率 为 0.97，有 20个 车 次 的 正 点 率 为 0.98，有 10个 车 次 的 正 点 率 为
0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．
11.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )某 沙 漠 地 区 经 过 治 理 ，生 态 系 统 得 到 很 大 改 善 ，野 生 动 物 数 量 有
所 增 加 ． 为 调 查 该 地 区 某 种 野 生 动 物 数 量 ，将 其 分 成 面 积 相 近 的 200个 地 块 ，从 这 些 地 块 中 用
简 单 随 机 抽 样 的 方 法 抽 取 20个 作 为 样 区 ，调 查 得 到 样 本 数 据 (xi， yi) (i=1， 2， ?， 20)，其 中 xi和 yi
·47·
20
分 别 表 示 第 i个 样 区 的 植 物 覆 盖 面 积 (单 位 ：公 顷 )和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 ，并 计 算 得 ?xi=60，
i=1
20 20 20 20
? 2 ? 2 ? ?
?yi=1200， ?(xi-x) =80， ?(yi-y) =9000， ?(xi-x) (yi-y) =800．
i=1 i=1 i=1 i=1
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数
量的平均数乘以地块数 )；
(2)求样本 (xi， yi)(i=1， 2， ?， 20)的相关系数 (精确到 0． 01)；
(3)根据现有统计资料 ，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这
种野生动物数量更准确的估计 ，请给出一种你认为更合理的抽样方法 ，并说明理由．
n ? ?
?(xi-x) (yi-y)
附 ：相关系数 i=1
r= n n ， ≈1． 414．
? 2 ? 2
?(xi-x) ?(yi-y)
i=1 i=1
12.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 100天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级
和当天到某公园锻炼的人次 ，整理数据得到下表 (单位 ：天 )：
锻炼人次 [0， 200] (200， 400] (400， 600]
空气质量等级
1(优 ) 2 16 25
2(良 ) 5 10 12
3(轻度污染 ) 6 7 8
4(中度污染 ) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1， 2， 3， 4的概率 ；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 )；
(3)若某天的空气质量等级为 1或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3或 4，则
称这天“空气质量不好”．根据所给数据 ，完成下面的 2×2列联表 ，并根据列联表 ，判断是否有
95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 ≤400 人次 >400
空气质量好
空气质量不好
2
n(ad-bc)
附 ： 2
K = ，
(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
2
P(K ≥k) 0． 050 0． 010 0． 001
k 3 841 6． 635 10． 828
13.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )为 了 解 甲 、乙 两 种 离 子 在 小 鼠 体 内 的 残 留 程 度 ，进 行 如 下 试 验 ：
将 200只 小 鼠 随 机 分 成 A,B两 组 ，每 组 100只 ，其 中 A组 小 鼠 给 服 甲 离 子 溶 液 ， B组 小 鼠 给 服 乙 离
子 溶 液 ． 每 只 小 鼠 给 服 的 溶 液 体 积 相 同 、摩 尔 浓 度 相 同 ． 经 过 一 段 时 间 后 用 某 种 科 学 方 法 测 算 出
残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图 ：
·48·
记 C为事件 ：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P?C?的估计值为 0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中 a,b的值 ；
(2)分别估计甲 、乙离子残留百分比的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 )．
14.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 (理 ) ) (12分 )某 工 厂 为 提 高 生 产 效 率 ，开 展 技 术 创 新 活 动 ，提 出 了 完
成 某 项 生 产 任 务 的 两 种 生 产 方 式 ，为 比 较 两 咱 生 产 方 式 的 效 率 ，选 取 40名 工 人 ，将 他 们 随 机 分 成
两 组 ，每 组 20人 ，第 一 组 工 人 用 第 一 种 生 产 方 式 ，第 二 组 工 人 用 第 二 种 生 产 方 式 ． 根 据 工 人 完 成
生产任务的工作时间 (单位 ： min)绘制了如下茎叶图 ：
第一种生产方式 第二种生产方式
8 6 5 5 6 8 9
9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5
2 1 1 0 0 9 0
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由 ；
(2)求 40名工 人 完 成 生产 任 务 所 需时 间 的 中 位 数 m，并 将 完成 生 产 任 务所 需 时 间 超过 m和 不 超 过
m的工人数填入下面的列联表 ：
超过 m 不超过 m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据 (2)的列联表 ，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
2
n?ad-bc?
附 ： 2
K =
?a+b??c+d??a+c??b+d?
2
P?K ≥k? 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
15.(2017年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 ) (12分 )淡 水 养 殖 场 进 行 某 水 产 品 的 新 、旧 网 箱 养 殖 方 法 的 产 量
对比 ，收获时各随机抽取了 100个网箱 ，测量各箱水产品的产量 (单位 ： kg)某频率直方图如下 ：
·49·
(1)设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立 ，记 A表 示 事 件 ：旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 50 kg,新 养 殖 法 的
箱产量不低于 50kg,估计 A的概率 ；
(2)填写下面列联表 ，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关 ：
箱产量 <50kg 箱产量 ≥50kg
旧养殖法
新养殖法
2
(3) 根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图 ，求 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 ( 精 确 到 K =
2
n(ad-bc)
(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)
16.(2016高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )下 图 是 我 国 2008年 至 2014年 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 (单 位 :亿 吨
)的折线图 .
(Ⅰ )由折线图看出 ,可用线性回归模型拟合 y与 t的关系 ,请用相关系数加以说明 ;
(Ⅱ )建立 y关于 t的回归方程 (系数精确到 0.01),预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 .
7 7 7
参考数据 ? 2
:?yi=9.32,?tiyi=40.17, ?(yi-y) =0.55, 7≈2.646.
i=1 i=1 i=1
n ? ?
?(ti-t) (yi-y)
参考公式 i=1
:相关系数 r= n n
?
2 ? 2
?(ti-t) ?(yi-y)
i=1 i=1
n ? ?
(ti-t)(y-y)
回归方程 ? ? ? ? ? i
i=1 ? ? ??
y=a+bt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 :b= n ,a=y-bt.
?
2
?(ti-t)
i=1
·50·
第 17讲 ：圆锥曲线
1.(2021年新课程卷 )已知点 P在圆 2 2
?x-5? +?y-5? =16上 ，点 A?4,0?、 B?0,2?， 则 ( )
A.点 P到直线 AB的距离小于 10 B. 点 P到直线 AB的距离大于 2
C. 当 ∠PBA最小时 ， ?PB?=3 2 D.当 ∠PBA最大时 ， ?PB?=3 2
2 2
x y
2.(2021年 乙 卷 )设 B是 椭 圆 C : 2 + 2 =1(a>b>0)的 上 顶 点 ，若 C 上 的 任 意 一 点 P都 满 足
a b
|PB| ≤2b，则 C的离心率的取值范围是 ( )
2 1 2 1
A. ??? ,1 B. ??? ,1 C. 0, ? D. 0, ?
? ? ?
2 ? 2 ? ? 2 ?? ? 2 ?
2 2
x y
3.(2021年 新 课 程 卷 )已 知 F1， F2是 椭 圆 C： + =1的 两 个 焦 点 ，点 M 在 C上 ，则 ?MF1? ? ?MF2?
9 4
的最大值为 ( )
A.13 B. 12 C. 9 D.6
4.(2021年 甲 卷 )已 知 F1,F2是 双 曲 线 C 的 两 个 焦 点 ， P为 C 上 一 点 ，且 ∠F1PF2=60° ,?PF1? =
3?PF2?， 则 C的离心率为 ( )
7 13
A. B.
2 2
C. 7 D. 13
2
x 2
5.(2021年 乙 卷 )已 知 双 曲 线 C: -y =1(m>0)的 一 条 渐 近 线 为 3x+my=0， 则 C的 焦 距 为
m
.
2
6.(2021年 新 课 程 卷 )已 知 O为 坐 标 原 点 ，抛 物 线 C： y =2px(p>0)的 焦 点 为 F， P为 C 上 一 点 ，
PF与 x轴垂直 ， Q为 x轴上一点 ，且 PQ⊥OP，若 ?FQ?=6， 则 C的准线方程为 .
2 2
x y
7.(2021年 甲 卷 )已 知 F1,F2为 椭 圆 C： + =1的 两 个 焦 点 ， P， Q为 C上 关 于 坐 标 原 点 对 称 的
16 4
两点 ，且 ?PQ?=?F1F2?， 则四边形 PF1QF2的面积为 .
2 2 2
8.(2021年 乙 卷 )已 知 抛 物 线 C:x =2py?p>0?的 焦 点 为 F，且 F与 圆 M :x + (y+4) =1上 点 的
距离的最小值为 4．
(1)求 p；
(2)若点 P在 M 上 ， PA,PB是 C的两条切线 ， A,B是切点 ，求 △PAB面积的最大值．
9.(2021年 新 课 程 卷 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ，已 知 点 F1?- 17,0?、 F2? 17,0??MF1? - ?MF2? =
2， 点 M 的轨迹为 C.
(1)求 C的方程 ；
(2)设点 T在直线 1
x= 上 ，过 T的两条直线分别交 C于 A、 B两点和 P， Q两点 ，且 ?TA???TB?
2
=?TP???TQ?， 求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和 .
10.(2021年 甲 卷 )抛 物 线 C的 顶 点 为 坐 标 原 点 O． 焦 点 在 x轴 上 ，直 线 l： x=1交 C于 P， Q两 点 ，且
OP⊥OQ．已知点 M?2,0?， 且 ⊙M 与 l相切．
(1)求 C， ⊙M 的方程 ；
·51·
(2)设 A1,A2,A3是 C上的三个点 ，直线 A1A2， A1A3均与 ⊙M 相切．判断直线 A2A3与 ⊙M 的位置
关系 ，并说明理由．
2
11.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )已知 A为 抛物 线 C:y =2px(p>0)上 一点 ，点 A到 C的 焦点 的
距离为 12，到 y轴的距离为 9，则 p= ( )
A.2 B. 3 C. 6 D.9
2 2
y
12.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 理 科 )设 O为 坐 标 原 点 ，直 线 x
x=a与 双 曲 线 C: 2 - 2 =1(a>0,b
a b
>0)的两条渐近线分别交于 D,E两点 ，若 △ODE的面积为 8，则 C的焦距的最小值为 ( )
A.4 B. 8 C. 16 D.32
2 2
x y
13.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )设 双 曲 线 C： 2 - 2 =1(a>0， b>0) 左 、右 焦 点 分 别 为
a b
F1， F2，离心率为 5． P是 C上一点 ，且 F1P⊥F2P．若 △PF1F2的面积为 4，则 a= ( )
A.1 B. 2 C. 4 D.8
2
14.(2020年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )设 O为 坐 标 原 点 ，直 线 x=2与 抛 物 线 C： y =2px(p>0) 交
于 D， E两点 ，若 OD⊥OE，则 C的焦点坐标为 ( )
1 1
A. ? ,0 B. ,0 C. (1,0) D.(2,0)
4 ? ? 2 ?
2 2
y
15.(2019年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 理 科 )双 曲 线 x
C： - =1的 右 焦 点 为 F，点 P在 C的 一 条 渐 近 线
4 2
上 ， O为坐标原点 ，若 ?PO?=?PF?， 则 △PFO的面积为 ( )
3 2 3 2
A. B. C. 2 2 D.3 2
4 2
2 2
x y
16.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅱ 卷 理 科 )设 F 为 双 曲 线 C : 2 - 2 =1?a>0,b>0?的 右 焦 点 ， O
a b
为 坐 标 原 点 ，以 OF为 直 径 的 圆 与 圆 2 2 2
x +y =a 交 于 P， Q两 点 ，若 ?PQ? = ?OF?， 则 C的 离 心 率
为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
2 2
2 x y
17.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅱ 卷 理 科 )若 抛 物 线 y =2px?p>0?的 焦 点 是 椭 圆 + =1的 一
3p p
个焦点 ，则 p= ( )
A.2 B. 3 C. 4 D.8
18.(2019年 高 考 数 学 课 标 全 国 Ⅰ 卷 理 科 )已 知 椭 圆 C的 焦 点 为 F1( -1,0)， F2(1,0)，过 F2的 直 线 与 C
交于 A， B两点．若 ?AF2?=2?F2B?， ?AB?=?BF1?， 则 C的方程为 ( )
2 2 2 2 2 2 2
x 2 x y x y x y
A. +y =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
2 3 2 4 3 5 4
2 2
x y
19.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅲ 卷 (理 ))设 F1,F2是双曲线 C: 2 - 2 =1?a>0,b>0?的 左 、右焦点 ， Q
a b
是坐标原点 ，过 F2作 C的一条渐近线的垂线 ，垂足为 P，若 ?PF1?= 6?OP?， 则 C的离心率为
·52·
( )
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
2 2
x y
20.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 (理 ) )已 知 F1， F2是 椭 圆 C： 2 + 2 =1(a>b>0)的 左 ，右 焦 点 ， A
a b
是 C的 左 顶 点 ，点 P在 过 3
A且 斜 率 为 的 直 线 上 ， △PF1F2为 等 腰 三 角 形 ， ∠F1F2P=120°，则 C
6
的离心率为 ( )
2 1 1 1
A. B. C. D.
3 2 3 4
2 2
x y
21.(2018年 高 考 数 学 课 标 Ⅱ 卷 (理 ) )双 曲 线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的 离 心 率 为 3， 则 其 渐 近 线 方
a b
程为 ( )
2 3
A.y=± 2x B. y=± 3x C. y=± x D.y=± x
2 2
2
x 2
22.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )已 知 双 曲 线 C: -y =1,O为 坐 标 原 点 ， F为 C的 右 焦 点 ,过
3
F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M,N．若 ΔOMN 为直角三角形 ,则 ?MN?=
( )
3
A. B. 3 C. 2 3 D.4
2
2 2
23.(2018年 高 考 数 学 课 标 卷 Ⅰ (理 ) )设 抛 物 线 C:y =4x的 焦 点 为 F． 过 点 ?-2,0?且 斜 率 为 的
3
??? ???
直线与 C交于 M,N 两点 ，则 FM ?FN = ( )
A.5 B. 6 C. 7 D.8
24.(2017年 高 考 数 学 新 课 标 Ⅰ 卷 理 科 )已 知 F为 抛 物 线 2
C:y =4x的 焦 点 ,过 F作 两 条 互 相 垂 直 的
直线 l1,l2,直线 l1与 C交于 A,B两点 ,直线 l2与 C交于 D,E