第1章计数原理 专解5求二项展开式中的特定项及常数项系数必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案）

223520-15240专题五 求特定项的系数
专题五 求特定项的系数

【必备知识点】
一、二项式定理
1.定义
一般地,对于任意正整数,都有：
()，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2．二项式(a+b)n的展开式的特点：
(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
3.两个常用的二项展开式：
①()
②
二、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
（）
【典例展示】
例1：（天津）在（2x2?1x）5的二项展开式种，x的系数为（ ）
A.10 B.-10 C.40 D,-40
解析：Tk+1=C5k(2x2)5?k(?1x)k=(?1)k?25?k?C5K?x10?3k，
令10-3k=1，得k=3.
∴x的系数为(?1)3?25?2?C53=?40
答案：D
例2. 求的二项式的展开式．
【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号．
【解析】
解一： ．
解二：
．
例3．（1）求的展开式的第四项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
【解析】（1）的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
（2）∵的展开式的通项是，
∴，，
∴的系数，的二项式系数．
例4（1）(2x2－)6的展开式中的常数项；
（2）求的展开式中的有理项.
【解析】（1）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26- r·
依题意12－3r＝0，解得r＝4
故·22＝60为所求的常数项．
（2）通项
∵为有理项，∴,
即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12
故展开式中的有理项为,,.
例5．求的展开式中的系数.
【解析】
解法一：
，
的通项公式（），
分三类讨论：
（1）当前一个因式为1时，后面的应该为，即；
（2）当前一个因式为时，后面的应该为，即；
（3）当前一个因式为时，后面的应该为，即；
故展开式中的系数为。
解法二：
的通项公式（），
的通项公式,（），
令,则或或，
从而的系数为。
【思路总结与方法】
解决思路：求二项展开式种的特定项的系数的关键是求出满足条件的k的值，因此应通过求出其二项展开式的通项，然后根据条件p列出方程，解出k的值，最后代入通项种，求出特定项的系数,
步骤：
①根据二次昂视定理，求出二项展开式的通项，并化简
②利用条件p，列出方程，找到特定项.
③计算出特定项的系数.
【巩固练习】
1.求二项式的展开式．
【答案】

2.求的展开式的第3项的二项式系数和系数；
【答案】10，80；
3.求(x3－)5的展开式中x5的系数；
【答案】（1）Tr＋1＝
依题意15－5r＝5，解得r＝2
故(－2)2＝40为所求x5的系数
4.求二项式的展开式中的常数项及有理项．
【解析】 设二项式的通项为，
令，得r=8．
∴。
令，即r=0，2，4，6，8时，。
∴，
，
，
，
。
∴二项式的展开式中的常数项是第9项：；有理项是第1项：x20，第3项：，第5项：，第7项：，第9项：．
5.求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；
【答案】∵ (x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…
∴ (x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179
【课后练习】
一、选择题
1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是（ ）．
A． B． C． D．
2．的展开式中x3的系数是（ ）．
A．6 B．12 C．24 D．48
3．(1－x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）．
A．－297 B．－252 C．297 D．207
4．（AB≠0）的展开式中，各项都含有x的奇次幂，则n（ ）．
A．必为偶数 B．必为奇数 C．奇偶数均可 D．不存在这样的正整数
5．二项式的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第6项 B．第5、6项 C．第7项 D．第6、7项
6．设，则(a0+a2+a4+…+a10)2―(a1+a3+…+a9)2的值是（ ）
A．1 B．―1 C．0 D．
7．把(x―1)9按x降幂排列，系数最大的项是（ ）
A．第四项和第五项 B．第五项 C．第五项和第六项 D．第六项
8．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．―540 B．―162 C．162 D．540
二、填空题
9．9192被100除所得的余数为________．
10．________．
11．在(x2+x―1)7(2x+1)4的展开式中，奇数项的系数的和为________。
12．展开式中系数最大的项为________。
三、解答题
13．求的展开式．
14．已知二项式：
（1）求展开式第四项的二项式系数．
（2）求展开式第四项的系数．
15．在(5x―2y)20的展开式中，第几项的系数最大？第几项的系数最小？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵，∴系数为。
2．【答案】C
【解析】 ，由题意知：，则x3的系数为。
3．【答案】D
【解析】 (1－x3)(1+x)10=(1+x)10－x3(1+x)10展开式中含x5项的系数为：。
4．【答案】B
【解析】 展开式中的一般项为，要使n－2r都是奇数，必须使n为奇数。
5．【答案】A
【解析】 10为偶数，故为二项式系数最大的项。
6．【答案】A
【解析】 令x=1，―1，则，
，
∴(a0+a2+a4+…+a10)2―(a1+a3+…+a9)2
=(a0+a1+a2+…+a10)(a0―a1+a2―a3+…+a10)
.
7．【答案】B
【解析】 (x―1)9的展开式共有10项，中间项第五、第六项的二项式系数相等且最大，(x―1)9的展开式的各项系数的绝对值等于它的二项式系数，且展开式的奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，所以第五项的系数最大。
8．【答案】A
【解析】 令x=1，2n=64n=6。由
，令3―r=0r=3。
所以常数项为。
9．【答案】81
【解析】 利用9192=(100－9)92的展开式，或利用(90+1)92的展开式解题
10．【答案】(n+1)·2n
【解析】 设，
∴。
∴。
∴S=(n+1)·2n。
11．【答案】40
【解析】 设(x2+x―1)7(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+…+a18x18，则令x=1，得a0+a1+…+a18=34=81 ①。
令x=－1，得a0+a2+…+a18―(a1+a3+…+a17)=―1 ②。
①+②得2(a0+a2+…+a18)=80，
∴a0+a2+…+a18=40。
即展开式中奇数项系数之和为40。
12．【答案】70x
【解析】 此二项展开式中的二项式系数与系数相等，所以第5项的系数最大。
。
13．【解析】
。
14．【解析】的展开式通项是（r=0，1，…，10）。
（1）展开式的第四项的二项式系数为。
（2）展开式的第四项的系数为。
15．【解析】Tk+1的系数为，所以，当k为偶数时，系数才有可能最大；k为奇数时，系数才有可能最小。
下面研究Tr+1的系数的绝对值。
设，
由此可得。
又k∈Z，且k≥0，∴k=5，或k=6。
∴展开式的第7项的系数最大，第6项的系数最小。