第2章随机变量及其分布专题专解1 求离散型随机变量的分布列 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案）

（含答案）-86360-36195专题一 求离散型随机变量的分布列
专题一 求离散型随机变量的分布列

【必备知识点】
一、随机变量和离散型随机变量
1. “随机试验”的概念
一般地，一个试验如果满足下列条件：
A．试验可以在相同的情形下重复进行．
B．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．
c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．
2．随机变量的定义
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
通常用大写拉丁字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示。
3．离散型随机变量的定义
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….
4. 随机变量的分类
随机变量有以下两种：
离散型随机变量:
连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．
5. 若是随机变量，其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
二、离散性随机变量的分布列
分布列定义：
设离散型随机变量所有可能取得的值为x1,x2,…,x3,…xn,若取每一个值xi(i=1,2,…，n)的概率为，则称表
x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
2.分布列的性质
离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
（1）Pi≥0,i=1,2，…，n；
（2）P1+P2+…+Pn=1
3. 离散型随机变量函数及其分布列
一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。
已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数的分布列：
①ξ与η一一对应时，ξ的每个取值的概率就对应着η的每个取值的概率；
②如果ξ有多个取值对应一个η的值，那么这个η值的概率就是这多个ξ值的概率的和。
四、两类特殊的分布列
1. 两点分布
随机变量 X 的分布列是
ξ
0
1
P
像上面这样的分布列称为两点分布列．
要点诠释：
(1)若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布
(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；
投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.
2. 超几何分布
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k｝发生的概
率为, 其中，且．
0
1
称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
【典例展示】
例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η

【解析】 (1) ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
例2.掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量ξ：
（1）求ξ的分布列；
（2）求P（3＜ξ＜7）。
【解析】（1）用数轴表示出掷骰子的所有结果如图所示
∴ξ的取值为2，3，4，…，10，11，12。
，
，
，
，
，
。
∴ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
（2）。
例3．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列

【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3
当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P（ξ=1）===；
当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P（ξ=2）==；
当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P（ξ=3）==
因此，ξ的分布列如下表所示：
ξ
1
2
3
P
例4. 一批零件中有九个合格品，三个废品．安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ的分布列．
【答案】由题意知ξ可知0，1，2，3，则
，
，
，
。
ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
【总结升华】不放回地抽取，ξ可能的取值为有限的数值，然后分别求出相应的概率即可．
例5. （1）随机变量的概率分布规律为（n=1，2，3，4），其中a是常数，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
（2）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q的值。
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
【解析】 （1）因为（n=1，2，3，4），所以，所以，因为。故选D。
（2）离散型随机变量的分布列满足①0≤pi≤1，i=1，2，3，…，n。
②p1+p2+p3+…+pn=1。所以，解得。
例6． 一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球。
（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即，求X的分布列；
（2）从中任意摸出两个球，用“X=0”表示两个球全是白球，用“X=1”表示两个球不全是白球，求X的分布列。
【解析】
（1）X的分布列如下表：
X
0
1
P
（2）X的分布列如下表：
X
0
1
P
例7.在某班的春节联欢活动中，组织了一次幸运抽奖活动.袋中装有18个除颜色外质地相同的小球，其中8个是红球，10个是白球.抽奖者从中一次抽出3个小球，抽出3个红球得一等奖，2个红球得二等奖，1个红球得三等奖，0个红球不得奖.分别计算得到一等奖、二等奖、三等奖的概率.
【解析】设表示抽到的红球数，则服从超几何分布，即，
(得一等奖).
(得二等奖).
(得三等奖).
例8．已知随机变量的分布列如下：
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量，的分布列。
【解析】列出一个表格（不是分布列，而是一张预备表）：
－2
－1
0
1
2
3
－1
0
1
4
1
0
1
4
9
P
∴的分布列为：
－1
0
1
P
的分布列为：
0
1
4
9
P
【巩固练习】
1．投掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）．
A．出现正面的次数 B．出现正面或反面的次数
C．掷硬币的次数 D．出现正、反面次数之和
【答案】A 。
因为B、C、D中所指的量均非变量，根据随机变量定义，故选A.

2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
【答案】因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点
3.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
（1）袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为ξ；
（2）抛掷两个骰子，所得点数之和为ξ，所得点数之和是偶数为η。
【答案】
（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4。
ξ=k表示取出的4个球中，有k个红球，4－k个白球（k=0，1，2，3，4）。
（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，…，12。
若以（i，j）表示抛掷甲、乙两个骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，
则ξ=2表示（1，1）；
ξ=3，表示（2，1），（1，2）；
ξ=4，表示（1，3），（2，2），（3，1）；
…
ξ=12，表示（6，6）。
η的可能取值为2，4，6，…，12。
4.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．
【答案】设黄球的个数为n，由题意知
　　绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．
　∴　，，．
　　　　所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ
1
0
－1
P
5.盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列
【答案】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6
P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；
P（ξ=5）==；P（ξ=6）==
所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
6
P
6.设离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
则p的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由离散型随机变量分布列的性质，知P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1，
所以。
由分布列性质，有a+2a+3a+4a+5a=1，解得。
7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
　　【答案】
“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：
P（≥7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88
8.若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9C2－C
3－8C
试求常数C。
【答案】由离散型随机变量的分布列性质有：
P(X=0)+P(X=1)=1，即9C2－9C+2=0，得或
又∵（），
∴应满足，解得，
∴。
9.鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同.捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算：
（1）其中有1条鲤鱼的概率；
（2）其中有2条鲤鱼的概率；
（3）其中有3条鲤鱼的概率；
（4）4条都是鲤鱼的概率；
【答案】
从100条鱼中打捞上来4条鱼，有中不同的等可能结果，这是元素的总数.用表示被打捞的4条鱼中的鲤鱼数.因为每条鱼被打捞的可能性相同，所以服从超几何分布.即.
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
10.在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：
(1)取到的次品数X 的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
【答案】 (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为，从100 件产品中任取3件，
其中恰有k 件次品的结果数为，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为
。
所以随机变量 X 的分布列是

X
0
1
2
3
P

(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率
P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )
≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006
= 0. 144 00 .
【课后练习】
一、选择题
1．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某立交桥一天内经过的车辆数X．其中不是离散型随机变量的是（ ）．
A．①中的X B．②中的X C．③中的X D．④中的X
2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ）．
A．2颗都是4点
B．1颗是1点，另1颗是3点
C．2颗都是2点
D．1颗是1点、另1颗是3点，或2颗都是2点
3．已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
…
n
P



…

则k的值为(　　)
A. B．1 C．2 D．3
4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X=0)=（ ）
A．0 B． C． D．
5．设随机变量X的分布列为，i=1，2，3，则a的值为（ ）．
A．1 B． C． D．
6．有加个零件，其中有16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（ ）．
A． B． C． D．以上均不对
7．玉树大地震的四川救援队中有一支12人的医疗支队，其中有一对夫妻．现将这支医疗支队平均分为两组开展工作，则这对夫妻恰好分到同一组的概率为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
0.16
0.22
0.24
0.10
0.06
0.01
则P（ξ=3）________．
9．有以下三个随机变量：
①某无线寻呼台1分钟内接到的呼叫次数ξ；
②一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置对应的坐标ξ；
③某人射击一次，中靶的环数ξ．
其中是离散型随机变量的是________．
10．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个球，则其中红球个数X的可能取值为________；P（X=2）=________．
11．袋中有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，则P（X=12）=________．（用式子表示）
三、解答题
12．现有10张人民币，其中8张2元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的概率分布．
13．某年级联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出个球，
（1）若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
（2）若至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．
14．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克），下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
18
166
175
180
y
75
80
77
70
81
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y，满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
15．设随机变量ξ的分布列为（k=1，2，3，4，5）．
（1）求常数a的值；
（2）求；
（3）求．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 ①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量。而③中X的可能取值无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量。
2．【答案】D
【解析】 由于抛掷1颗骰子可能出现的点数是1，2，3，4，5，6这6种情况之一，而ξ表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以ξ=4=1+3=2+2表示的随机试验结果是：1颗是1点、另一颗是3点，或者2颗都是2点，故选D。
3.【答案】　B
【解析】　由题意得·n＝1，
∴k＝1.故选B.
4．【答案】C；
设失败率为P，则成功率为2P，应有P+2P=1，所以，故选C。
5．【答案】D
【解析】 由分布列的性质有：，∴
6．【答案】B
【解析】 。应选B。
7．【答案】C
【解析】 从15个村庄中任意选10个村庄的方法有种，从15个村庄中任意选10个村庄，恰好有4个村庄交通不太方便的方法有种，所以。故选C。
8．【答案】0.21
【解析】 P（ξ=3）=1―0.16―0.22―0.24―0.10―0.06―0.01=0.21。
9．【答案】①③
【解析】 考查离散型随机变量的概念。
10．【答案】0，1，2
【解析】 本题中随机变量X服从超几何分布，其中N=5，M=3，n=2。
11．【答案】
【解析】由古典概型公式可得。
12．【解析】设所得金额为X，X的可能取值为6，9，12。
，
，
，
故X的概率分布为
X
6
9
12
P
13. 【解析】（1）若以个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取个球，表示取到的红球数，则 服从超几何分布．
由公式得，
所以获一等奖的概率约为．
（2）根据题意，设随机变量表示“摸出红球的个数”，则服从超几何分布，的可能取值为，，，，，，根据公式可得至少摸到个红球的概率为：
，
故中奖的概率为．
14．【解析】（1）设乙厂生产的产品数量为m件，依题意得，∴m=35。
（2）∵题述样本数据中满足x≥175，且y≥75的只有2件，∴估计乙厂生产的优等品的数量为件。
（3）依题意，ξ可取值0，1，2。则
，，。
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
15．【解析】由已知分布列为：
ξ
1
P
a
2a
3a
4a
5a
（1）由a+2a+3a+4a+5a=1，得；
（2），
或；
（3）因为，所以只有，，满足，
故。