第2章随机变量及其分布专题专解2 条件概率与独立事件 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案）
文档属性
| 名称 | 第2章随机变量及其分布专题专解2 条件概率与独立事件 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 312.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-30 23:16:10 | ||
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文档简介
-86360-36195专题二 条件概率与独立事件
专题二 条件概率与独立事件
【必备知识点】
一：条件概率
1.概念
设false、false为两个事件，求已知false发生的条件下，false发生的概率，称为false发生时false发生的条件概率，记为false，读作：事件false发生的条件下false发生的概率。
2.公式：
当false时，false.
3. 性质
（1）非负性：false；
（2）规范性：false（其中false为样本空间）；
（3）可列可加性：若两个事件false、false互斥，则false.
4.概率false与false的联系与区别：
联系：事件false，false都发生了。
区别：
①在false中，事件false，false发生有时间上的差异，事件false先发生，事件false后发生；在false中，事件false，false同时发生；
②基本事件空间不同在false中，事件false成为基本事件空间，即false；在false中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即false。
要点二：独立事件
1.定义：
事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，即，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
对于事件false和事件false，用表示事件false、false同时发生。
（1）若与是相互独立事件，则；
（2）若事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即：。
3．相互独立事件与互斥事件的比较
互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
4. 几种事件的概率公式的比较
已知两个事件false，false，它们发生的概率为false（false），false（false），则：
false，false中至少有一个发生记为事件false+false（或false）；
false，false都发生记为事件false（或false）；
都不发生记为事件false（或false）；
恰有一个发生记为事件false；
至多有一个发生记为事件.
则它们的概率间的关系如下表所示：
概率
false，false互斥
false，false相互独立
false（false+false）
false（false）+false（false）
false（false·false）
0
false（false）·false（false）
1－[false（false）+false（false）]
false（false）+false（false）
1
1－false（false）·false（false）
【典例展示】
例1． 一种耐高温材料，能承受200℃高温不熔化的概率为0.9，能承受300℃高温不熔化的概率为0.5，现有一种这样的材料，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是多少？
【解析】 用A表示事件“该材料承受200℃高温不熔化”，用B表示事件“该材料承受300℃高温不熔化”，则“能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率”可表示为false.
依题意得，false.
因为BA，所以A∩B=B，故有false，
由条件概率的定义可得
．
所以，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是false.
例2. 假定生男孩或女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个女孩，求至少有一个男孩的概率．
【解析】用A表示为“至少有一个男孩”，用B表示事件“至少有一个是女孩”，则“有一个女孩，至少有一个男孩的概率”可用表示.false.
将B作为样本空间，它可用树形图可以直观的表示出来，如下：
所以false，false，
所以false.
所以在有一个女孩的情况下，至少有一个男孩的概率为false
例3. 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
【解析】 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
（2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
例4. 要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；
（2）其中恰有一件废品的概率；
（3）其中至多有一件废品的概率；
（4）其中没有废品的概率；
（5）其中全是废品的概率．
【解析】 记事件A为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”．
则P（A）=0.04，P（）=0.96，P（B）=0.05，P（）=0.95．
由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的．
（1）“至少有一件废品”为事件A+B，
则．
（2）“恰有一件废品”为事件，
则
=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086．
（3）方法一：“至多有一件废品”为事件，
则
=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998．
方法二：“至多有一件废品”的对立事件为“两件都是废品”，即事件AB，
则．
（4）“其中没有废品”就是“两件都是正品”，即事件，
则．
（5）“其中全是废品”为事件AB，
则P（AB）=P（A）P（B）=0.04×0.05=0.002．
例5. 有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验．
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率．（结果都精确到0.001）
【解析】设从三种产品中各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C．
（1）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，则，．
因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一件不合格的概率为
=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176
（2）方法一：至少有两件不合格的概率为
=0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012．故至少有两件不舍格的概率为0.012．
方法二：三件产品都合格的概率为P（A∩B∩C）=P（A）·P（B）P（C）=0.90×0.95×0.95=0.812．由（1）知，恰有一件不合格的概率约为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(A∩B∩C)+0.176]≈1－0.812+0.176)=0.012．故至少有两件不合格的概率为0.012．
【巩固练习】
1.一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设=“第次取到好的晶体管”（=1，2）。
因为，，
所以。
2.在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．
【答案】设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则
，，
，
∴，．
∴．
即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为．
3.在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.
【答案】在第一次取到不合格品后，产品总数为99件，其中：合格品：95件，不合格品：4件。
由条件概率的概率可知，所求条件概率为在第一次取到不合格品后，不合格品占产品总数的比例，即
设事件“第二次取到不合格品”为A，事件“第一次取到不合格品”为B，则false.
4，从一副不含大小王的扑克牌（共52张）中不放回地抽取2次，每次抽1张，若第一次抽到J，则第二次也抽到J的概率为________。
【答案】第1次抽到J后，总扑克牌数为51张，其中：J有3张。由条件概率的定义可知，“第一次抽到J，则第二次也抽到J”表示在第1次抽到J后，J所占总扑克牌数的比例，即false.
5.判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．
（1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
（2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：
（3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
（4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
【答案】
（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．
（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立事件．
（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．
（4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件．
6.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的两球都是红球的概率。
【答案】因从甲袋中取一球为红球的概率为，从乙袋中取一球为红球的概率为，
故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为。
7.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
【答案】分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是
．
答：在这段时间内线路正常工作的概率是．
8.已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，，。求：（1）3人都通过体能测试的概率；
（2）只有2人通过体能测试的概率；
（3）只有1人通过体能测试的概率。
【答案】
设事件A=“甲通过体能测试”，事件B=“乙通过体能测试”，事件C=“丙通过体能测试”，
由题意有：，，。
（1）设事件M1=“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M1=ABC，
由事件A，B，C相互独立可得：
；
（2）设事件M2=“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则，
由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件，，两两互斥，
因此
；
（3）设事件M3=“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则，
由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件，，两两互斥，
因此
。
9.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
【答案】
因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率
（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为．
∵事件，，，，相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
=
∴敌机未被击中的概率为．
（2）至少需要布置门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：
敌机被击中的概率为1-
∴令，∴
两边取常用对数，得
∵，∴
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机
【课后练习】
一、选择题
1．下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件为次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是, 小明在一次上学路上遇到红灯的概率
2．下列式子成立的是（ ）
A．P（A｜B）=P（B｜A） B．0＜P（B｜A）＜1．
C．P（AB）=P（A）·P（B｜A） D．P（A∩B｜A）=P（B）
3．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
4．在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（ ）
A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42
5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（ ）
A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285
6．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
7．有一个电路，如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，若其闭合的概率都是，且每个开关闭合与否是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
366712583820A．
B．
C．
D．
8．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局，则再赛2局结束这次比赛的概率为( )
A．0.36 B．0.52 C．0.24 D．0.648
二、填空题
9．若false，则false=________，false =________．
10．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为false，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为false，则事件A发生的概率为_________．
11．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击四次且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，那么他第二次未击中，其他三次击中的概率是________．
12．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为false，false，false，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________．
三、解答题
13．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
14．甲、乙两人破译一密码，他们能译出的概率分别为和，求：
（1）两人都能译出的概率；
（2）两人都不能译出的概率；
（3）恰有一人能译出的概率；
（4）至多有一个能译出的概率；
（5）若要使译出的概率为99％，至少需要多少个乙这样的人？
15．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与．
（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（2）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少命中一次的概率．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】根据定义可得。
2．【答案】C
【解析】 由得P（AB）=P（B｜A）·P（A）。
3. 【答案】B
【解析】 一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知，这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为Ω，A为“其中一个是女”B为“另一个也是女”，
则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}
B＝{(女，女)}
∴P(B|A)＝＝＝
4. 【答案】D
【解析】P＝(1－0.3)(1－0 .4)＝0.42.
5. 【答案】A
【解析】 记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
6. 【答案】B
【解析】恰有一人解决这个问题包括两种情况：一种是甲解决了问题乙没有解决，概率为p1(1－p2)，另一种是乙解决了问题甲没有解决，概率为p2(1－p1)，所以恰有一人解决这个问题的概率是p1(1－p2)＋p2(1－p1)．
7．【答案】B
【解析】若设开关A与B中至少有一个不闭合的事件为T，
开关E与F中至少有一个不闭合的事件为R，
34290000则，
则灯不亮的概率为，
故灯亮的概率为。
8. 【答案】 B
【解析】 记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．
设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
A＝A3·A4＋B3·B4，由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋B(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
9．【答案】
【解析】 ，。
10. 【答案】
【解析】由题意知，P(AB)＝，P(B|A)＝，
∴P(A)＝＝＝.
11．【答案】0.0729
【解析】 设第一、二、三、四次击中目标分别为事件A1、A2、A3、A4，那么所求概率为且A1、、A3、A4相互独立，则。
12．【答案】
【解析】 分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A、B、C，则，，，停车一次即事件发生，故其概率为
。
13．【解析】
设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为P（B｜A）=0.8，P（A）=0.9。根据条件概率公式P（AB）=P（B｜A）·P（A）=0.8×0.9=0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72。
14．【解析】
设“甲能译出”为事件A，“乙能译出”为事件B，则A、B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立。
（1）“两人都能译出”为事件AB，故。
（2）“两人都不能译出”为事件，故
。
（3）“恰有一人能译出”为事件，又与互斥，故
。
（4）“至多有一人能译出”为事件，且、、互斥，故
。
（5）设至少需n个乙这样的人，而n个乙这样的人都译不出的概率为，故n个乙这样的人能译出的概率为，解得n=17。故至少需17个乙这样的人，才能使译出的概率为99%。
15．【解析】
（1）记“甲设一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则，，，。
∴恰好命中一次的概率为。
（2）记事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均未命中”的概率为P1，
则，
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少命中一次的概率为。
专题二 条件概率与独立事件
【必备知识点】
一：条件概率
1.概念
设false、false为两个事件，求已知false发生的条件下，false发生的概率，称为false发生时false发生的条件概率，记为false，读作：事件false发生的条件下false发生的概率。
2.公式：
当false时，false.
3. 性质
（1）非负性：false；
（2）规范性：false（其中false为样本空间）；
（3）可列可加性：若两个事件false、false互斥，则false.
4.概率false与false的联系与区别：
联系：事件false，false都发生了。
区别：
①在false中，事件false，false发生有时间上的差异，事件false先发生，事件false后发生；在false中，事件false，false同时发生；
②基本事件空间不同在false中，事件false成为基本事件空间，即false；在false中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即false。
要点二：独立事件
1.定义：
事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，即，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
对于事件false和事件false，用表示事件false、false同时发生。
（1）若与是相互独立事件，则；
（2）若事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即：。
3．相互独立事件与互斥事件的比较
互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
4. 几种事件的概率公式的比较
已知两个事件false，false，它们发生的概率为false（false），false（false），则：
false，false中至少有一个发生记为事件false+false（或false）；
false，false都发生记为事件false（或false）；
都不发生记为事件false（或false）；
恰有一个发生记为事件false；
至多有一个发生记为事件.
则它们的概率间的关系如下表所示：
概率
false，false互斥
false，false相互独立
false（false+false）
false（false）+false（false）
false（false·false）
0
false（false）·false（false）
1－[false（false）+false（false）]
false（false）+false（false）
1
1－false（false）·false（false）
【典例展示】
例1． 一种耐高温材料，能承受200℃高温不熔化的概率为0.9，能承受300℃高温不熔化的概率为0.5，现有一种这样的材料，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是多少？
【解析】 用A表示事件“该材料承受200℃高温不熔化”，用B表示事件“该材料承受300℃高温不熔化”，则“能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率”可表示为false.
依题意得，false.
因为BA，所以A∩B=B，故有false，
由条件概率的定义可得
．
所以，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是false.
例2. 假定生男孩或女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个女孩，求至少有一个男孩的概率．
【解析】用A表示为“至少有一个男孩”，用B表示事件“至少有一个是女孩”，则“有一个女孩，至少有一个男孩的概率”可用表示.false.
将B作为样本空间，它可用树形图可以直观的表示出来，如下：
所以false，false，
所以false.
所以在有一个女孩的情况下，至少有一个男孩的概率为false
例3. 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
【解析】 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
（2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
例4. 要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；
（2）其中恰有一件废品的概率；
（3）其中至多有一件废品的概率；
（4）其中没有废品的概率；
（5）其中全是废品的概率．
【解析】 记事件A为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”．
则P（A）=0.04，P（）=0.96，P（B）=0.05，P（）=0.95．
由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的．
（1）“至少有一件废品”为事件A+B，
则．
（2）“恰有一件废品”为事件，
则
=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086．
（3）方法一：“至多有一件废品”为事件，
则
=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998．
方法二：“至多有一件废品”的对立事件为“两件都是废品”，即事件AB，
则．
（4）“其中没有废品”就是“两件都是正品”，即事件，
则．
（5）“其中全是废品”为事件AB，
则P（AB）=P（A）P（B）=0.04×0.05=0.002．
例5. 有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验．
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率．（结果都精确到0.001）
【解析】设从三种产品中各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C．
（1）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，则，．
因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一件不合格的概率为
=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176
（2）方法一：至少有两件不合格的概率为
=0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012．故至少有两件不舍格的概率为0.012．
方法二：三件产品都合格的概率为P（A∩B∩C）=P（A）·P（B）P（C）=0.90×0.95×0.95=0.812．由（1）知，恰有一件不合格的概率约为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(A∩B∩C)+0.176]≈1－0.812+0.176)=0.012．故至少有两件不合格的概率为0.012．
【巩固练习】
1.一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设=“第次取到好的晶体管”（=1，2）。
因为，，
所以。
2.在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．
【答案】设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则
，，
，
∴，．
∴．
即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为．
3.在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.
【答案】在第一次取到不合格品后，产品总数为99件，其中：合格品：95件，不合格品：4件。
由条件概率的概率可知，所求条件概率为在第一次取到不合格品后，不合格品占产品总数的比例，即
设事件“第二次取到不合格品”为A，事件“第一次取到不合格品”为B，则false.
4，从一副不含大小王的扑克牌（共52张）中不放回地抽取2次，每次抽1张，若第一次抽到J，则第二次也抽到J的概率为________。
【答案】第1次抽到J后，总扑克牌数为51张，其中：J有3张。由条件概率的定义可知，“第一次抽到J，则第二次也抽到J”表示在第1次抽到J后，J所占总扑克牌数的比例，即false.
5.判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．
（1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
（2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：
（3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
（4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
【答案】
（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．
（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立事件．
（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．
（4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件．
6.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的两球都是红球的概率。
【答案】因从甲袋中取一球为红球的概率为，从乙袋中取一球为红球的概率为，
故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为。
7.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
【答案】分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是
．
答：在这段时间内线路正常工作的概率是．
8.已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，，。求：（1）3人都通过体能测试的概率；
（2）只有2人通过体能测试的概率；
（3）只有1人通过体能测试的概率。
【答案】
设事件A=“甲通过体能测试”，事件B=“乙通过体能测试”，事件C=“丙通过体能测试”，
由题意有：，，。
（1）设事件M1=“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M1=ABC，
由事件A，B，C相互独立可得：
；
（2）设事件M2=“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则，
由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件，，两两互斥，
因此
；
（3）设事件M3=“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则，
由于事件A，B，C，，，均相互独立，并且事件，，两两互斥，
因此
。
9.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
【答案】
因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率
（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为．
∵事件，，，，相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
=
∴敌机未被击中的概率为．
（2）至少需要布置门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：
敌机被击中的概率为1-
∴令，∴
两边取常用对数，得
∵，∴
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机
【课后练习】
一、选择题
1．下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件为次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是, 小明在一次上学路上遇到红灯的概率
2．下列式子成立的是（ ）
A．P（A｜B）=P（B｜A） B．0＜P（B｜A）＜1．
C．P（AB）=P（A）·P（B｜A） D．P（A∩B｜A）=P（B）
3．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
4．在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（ ）
A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42
5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（ ）
A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285
6．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
7．有一个电路，如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，若其闭合的概率都是，且每个开关闭合与否是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
366712583820A．
B．
C．
D．
8．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局，则再赛2局结束这次比赛的概率为( )
A．0.36 B．0.52 C．0.24 D．0.648
二、填空题
9．若false，则false=________，false =________．
10．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为false，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为false，则事件A发生的概率为_________．
11．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击四次且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，那么他第二次未击中，其他三次击中的概率是________．
12．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为false，false，false，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________．
三、解答题
13．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
14．甲、乙两人破译一密码，他们能译出的概率分别为和，求：
（1）两人都能译出的概率；
（2）两人都不能译出的概率；
（3）恰有一人能译出的概率；
（4）至多有一个能译出的概率；
（5）若要使译出的概率为99％，至少需要多少个乙这样的人？
15．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与．
（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（2）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少命中一次的概率．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】根据定义可得。
2．【答案】C
【解析】 由得P（AB）=P（B｜A）·P（A）。
3. 【答案】B
【解析】 一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知，这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为Ω，A为“其中一个是女”B为“另一个也是女”，
则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}
B＝{(女，女)}
∴P(B|A)＝＝＝
4. 【答案】D
【解析】P＝(1－0.3)(1－0 .4)＝0.42.
5. 【答案】A
【解析】 记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
6. 【答案】B
【解析】恰有一人解决这个问题包括两种情况：一种是甲解决了问题乙没有解决，概率为p1(1－p2)，另一种是乙解决了问题甲没有解决，概率为p2(1－p1)，所以恰有一人解决这个问题的概率是p1(1－p2)＋p2(1－p1)．
7．【答案】B
【解析】若设开关A与B中至少有一个不闭合的事件为T，
开关E与F中至少有一个不闭合的事件为R，
34290000则，
则灯不亮的概率为，
故灯亮的概率为。
8. 【答案】 B
【解析】 记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．
设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
A＝A3·A4＋B3·B4，由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋B(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
9．【答案】
【解析】 ，。
10. 【答案】
【解析】由题意知，P(AB)＝，P(B|A)＝，
∴P(A)＝＝＝.
11．【答案】0.0729
【解析】 设第一、二、三、四次击中目标分别为事件A1、A2、A3、A4，那么所求概率为且A1、、A3、A4相互独立，则。
12．【答案】
【解析】 分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A、B、C，则，，，停车一次即事件发生，故其概率为
。
13．【解析】
设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为P（B｜A）=0.8，P（A）=0.9。根据条件概率公式P（AB）=P（B｜A）·P（A）=0.8×0.9=0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72。
14．【解析】
设“甲能译出”为事件A，“乙能译出”为事件B，则A、B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立。
（1）“两人都能译出”为事件AB，故。
（2）“两人都不能译出”为事件，故
。
（3）“恰有一人能译出”为事件，又与互斥，故
。
（4）“至多有一人能译出”为事件，且、、互斥，故
。
（5）设至少需n个乙这样的人，而n个乙这样的人都译不出的概率为，故n个乙这样的人能译出的概率为，解得n=17。故至少需17个乙这样的人，才能使译出的概率为99%。
15．【解析】
（1）记“甲设一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则，，，。
∴恰好命中一次的概率为。
（2）记事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均未命中”的概率为P1，
则，
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少命中一次的概率为。