第2章随机变量及其分布专题专解3 独立重复试验与二项分布 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案）

-86360-36195专题三 独立重复试验与二项分布
专题三 独立重复试验与二项分布

【必备知识点】
一．n次独立重复试验
每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。
二．独立重复试验的概率公式
1.定义
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：
（k=0，1，2，…，n）．
令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为
令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。
三．n次独立重复试验常见实例：
1.反复抛掷一枚均匀硬币
2.已知产品率的抽样
3.有放回的抽样
4.射手射击目标命中率已知的若干次射击
四．离散型随机变量的二项分布
1. 定义：
在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是
，（）．
于是得到离散型随机变量的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
由于表中第二行恰好是二项展开式
中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．
【典例展示】
例 1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）：
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为
．
（2）5次预报中至少有2次准确的概率为
false．
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为
．
例2． 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．
（1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？
（2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？

【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。则
．
（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则
．
例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。
（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列。
【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则
（Ⅱ）由题意，的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为
的分布列为
3
4
5
6
P
例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.
（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；
(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，
故
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是
例5．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的概率分布．
【解析】 （1）解法一：记B表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5．
X=2表明第一次击中，第二次也击中，
；
X=3表明前2次击中一次，第3次击中，
；
X=4表明前3次击中一次，第4次击中，
；
X=5表明前4次击中一次，第5次击中，
．
所以，．
解法二：利用．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．
所以．
（2）X=2，3，4时同（1），当X=5时，击中次数分别为0，1，2．
∴．
所以X的概率分布为
X
2
3
4
5
P
例6．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一大批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
【解析】依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
P()=(95%)=0.9025，
P()=(5%)(95%)=0.095，
P()=(5%)=0.0025．
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
P
0.9025
0.095
0.0025
【巩固练习】
1.甲每次投资获利的概率是p=0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：
（1）有5次获利的概率；
（2）6次都获利的概率；
（3）至少5次获利的概率．
【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，0.8），且
，
．
（1）他5次获利的概率约等于0.39．
（2）他6次都获利的概率约等于0.26．
（3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．
由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以
P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈0.39+0.26=0.65．
故他至少5次获利的概率约等于0.65．
2.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；。
3.十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
设从低层到顶层停次，则其概率为，
∴当或时，最大，即最大，
答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．
4.已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。
（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；
（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。
【答案】（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：
①记事件A1=“甲连胜四局”，
所以甲打完四局就获胜的概率为：
；
②记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，
所以甲打完五局才获胜的概率为：
；
③记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，
所以甲打完六局才获胜的概率为：
；
④记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，
所以甲打完七局才获胜的概率为：
。
（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，
故离散型随机变量X的分布列为
X
4
5
6
7
P




5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
【答案】依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095，
P()=(5%)=0.0025．
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
P
0.9025
0.095
0.0025
6.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解：（1）falseB(5, )，ξ的分布列为P(ξ=k)=false，k=0，1，2，3，4，5；
（2）η的分布列为P(η=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=false，k=0，1，2，3，4；P(η=5)=P(5个均为绿灯)=false；
（3）所求概率=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－false≈0.8683.
7.一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）．
【答案】由题意知，X是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是，取得白球的概率是，所以X=k（k=10，11，12…）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k－1）次取得9次红球．
∴X的分布列为
false（k=10，11，…），
（表格略）
．
8. 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．
【答案】
错解： X的可能取值是1，2，3，4．
P（X=1）=0.8；；
；
．
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.32
0.096
0.0256
错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现．
正解 X的可能取值是1，2，3，4．
P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.2×0.8=0.16；
P（X=3）=0.22×0.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008．
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.16
0.032
0.008
9.一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，
(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？
【答案】已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；
(1)要使，,必须，即射击次数必须不小于次.
(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次
10.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
（2）其中恰有3次击中目标的概率；
（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。
【变式1】 【答案】
（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，
相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，
又因为各次射击的结果互不影响，
故所求概率为；
（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。
相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有种情况。
故所求概率为；
法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。
该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为
；
（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，
把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况。
故所求概率为。
11.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1－p，且各发动机互不影响．如果至少50％的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P而言，四发动机比二发动机更安全？
【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为
，
二发动机飞机成功飞行的概率为
．
要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要，
化简整理，得．
∴当发动机不出故障的概率大于时，四发动机飞机比二发动机飞机安全．
12.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
（I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率。
【答案】
（I）记“厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品“为事件A，
则
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，
所以的概率分布为
0
1
2

13.在某批很大数量的产品中，有20%为二等品，从中任意地抽取产品二次，求取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率。
【答案】从大数量的产品中任意地抽取产品二次，相当于2次独立重复试验，
抽出的二等品的件数，
所以取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率：
。
【课后练习】
一、选择题
1．独立重复试验应满足的条件是（ ）．
①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中某事件发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
2．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（ ）
A． B． C． D．
3．若X～B（50，0.1），则P（X≤2）等于（ ）．
A．0.0725 B．0.00856 C．0.91854 D．0.11173
4．设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它 （ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
5．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰好有3次取到白球的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）

8．某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作，如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是p，则这段时间内这个仪表不能工作的概率是（ ）．
A．pm B．(1－p)m C．1－pm D．1－(1－p)m
二、填空题
9．下列四个随机变量：
①随机变量ξ表示重复投掷一枚硬币n次中正面向上的次数；
②有一批产品共有N件，其中M件是次品，采用有放回抽取的方法，用η表示n次抽取中出现次品的件数；
③某命中率为p（0＜p＜1）的射手对同一目标进行射击，一旦命中目标则停止射击，记ξ为该射手从开始射击到命中目标所需要的射击次数；
④随机变量ξ为n次射击中命中目标的次数．
上述四个随机变量服从二项分布的是________．
10．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________．（用数字作答）
11．某人猜谜的猜中率为60％，他共猜10个谜，其中猜中的个数最多为________个，10次猜谜猜中个数最多的概率为________．（只列出式子即可）
12．设有八门大炮独立地同时向某一目标各射击一发炮弹，若有不少于2发炮弹命中目标时，目标被击毁．若每门大炮命中目标的概率都是0.6，则目标被击毁的概率约为________．（保留3位小数）
三、解答题
13．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求：移栽的4株大树中，
（1）至少有1株成活的概率；
（2）两种大树各成活1株的概率．
14．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
（1）该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．
15．某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B级，若投中4次及以上则可确定为A级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5.
（1）求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；
（2）设阿明投篮投中次数为X，求X的分布列；
（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 由独立重复试验的概念可知应选C。
2．【答案】B
【解析】“至少命中一次”的对立事件为“4次都不命中”，
由相互独立及独立重复试验的概率公式可得，
解得。
3．【答案】D
【解析】 由二项分布的公式可得。
4. 【答案】D
【解析】，n>5,n=6。
5．【答案】C
【解析】 两班各自派出1名同学是相互独立事件，设A、B分别代表甲班、乙班派出的是三好学生，则AB代表两班派出的都是三好学生，则。
6．【答案】D
【解析】 本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为
。
7. 【答案】 A
【解析】即前三局甲胜2局负1局，第4局获胜
8．【答案】D
【解析】 所求事件的对立事件为“每个元件都不损坏”，概率为(1－p)m，所以所求概率为1―(1―p)m。
9．【答案】①②④
【解析】是否为独立重复试验中的结果。
10．【答案】0.9477
【解析】 所求事件可分两类，即3人或4人被治愈，∴所求概率P=0.94+×0.1×0.93=0.9477。
11．【答案】6
【解析】 本题就是求在10次独立重复试验中，事件A发生6次的概率，利用独立重复试验的概率公式求解。
12．【答案】0.991
【解析】 。
13．【解析】设Ak表示第k株甲种大树成活，k=1，2，
表示第株乙种大树成活，=1，2。
则A1，A2，B1，B2相互独立，且 ，。
（1）至少有1株成活的概率为
。
（2）由独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式知，所求概率为
。
14．【解析】（1）设A表示“资助总额为零”这个事件，则。
（2）设B表示“资助总额超过15万元”这个事件，则
。
15. 【解析】（1）阿明投篮4次才被确定为B级的概率.
（2）由已知X—B，X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：　
①5次投中3次，有种投球方式，其概率为；
②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是
；
③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为；
④投中0次只有否否一种，概率为；
所以阿明不能入围这一事件的概率是