【新教材】第四章测评-人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册练习（Word含解析）

1116330010274300第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2020浙江高三专题练习)已知离散型随机变量X的概率分布如下:
X
0
1
2
3
P
0.2
0.3
0.4
c


则实数c等于(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.0.5 B.0.24
C.0.1 D.0.76
2.(2020北京101中学月考)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为偶数},B={两次的点数之和为8},则P(B|A)=(　　)
A.118 B.112
C.13 D.29
3.(2019山东高三月考)在2019年高中学生信息技术测试中,经统计,某校高二学生的测试成绩X~N(86,σ2).若已知P(80 A.0.86 B.0.64
C.0.36 D.0.14
4.(2020湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,那么乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A.827 B.227
C.881 D.3281
5.(2019天津高二期中)已知X~B9,13,则E(X),D(X)的值依次为(　　)
A.3,2 B.2,3
C.6,2 D.2,6
6.(2019河北高二月考)已知离散型随机变量ξ的概率分布如下,若随机变量η=3ξ+1,则η的数学期望为(　　)
ξ
0
1
2
P
0.4
2k
k


A.3.2 B.3.4
C.3.6 D.3.8
7.(2019山东高二期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
8.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A.24181 B.26681
C.27481 D.670243
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列命题正确的是(　　)
A.P(B)=2330
B.事件B与事件A1相互独立
C.事件B与事件A2相互独立
D.A1,A2互斥
10.为研究需要,统计了两个变量x,y的数据.情况如下表:
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn


其中数据x1,x2,x3,…,xn和数据y1,y2,y3,…,yn的平均数分别为x和y,并且计算相关系数r=-0.8,回归方程为y^=b^x+a^,下列选项正确的是(　　)
A.点(x,y)必在回归直线上,即y=b^x+a^
B.变量x,y的相关性强
C.当x=x1,则必有y^=y1
D.b^<0
11.(2019山东高二期末)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2


若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的是(　　)
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
12.(2020山东蒙阴实验中学高三期末)下列判断正确的是(　　)
A.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.79,则P(ξ<-2)=0.21
B.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的必要不充分条件
C.若随机变量ξ服从二项分布:ξ~B4,14,则E(ξ)=1
D.已知直线ax+by=2经过点(1,3),则2a+8b的取值范围是[4,+∞)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019天津高二期末)为了了解家庭月收入x(单位:千元)与月储蓄y(单位:千元)的关系,从某居民区随机抽取10个家庭,根据测量数据的散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系,其回归直线方程为y^=0.3x-0.4,若该居民区某家庭月收入为7千元,据此估计该家庭的月储蓄为　　　　　千元.?
14.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是　　　　　,三人中至少有一人达标的概率是　　　　　.?
15.(2019安徽郎溪中学高二期末)2018年春季,世界各地相继出现流感疫情,这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果,某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验,得到如下列联表:

感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100


参照附表,在犯错误的概率最多不超过　　　　　的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.?
参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


16.(2020江西高安中学高二期末)设随机变量ξ满足P(ξ=k)=ck(k+1),k=1,2,3,c为常数,则P(0.5<ξ<2.5)=　　　　　.?
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2019海南海口一中高三月考)为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资,得到这100名农民工月工资的中位数为39(百元)(假设这100名农民工的月工资均在[25,55](百元)内)且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:

(1)求m,n的值;
(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名,非技术工有19名,则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k)
0.05
0.01
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828


18.(12分)为了实现中国梦的构想,在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为45,56,23,且三个项目是否成功互相独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.








19.(12分)(2019广西高三模拟)甲乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲,乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.




20.(12分)(2019重庆巴蜀中学高三月考)第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行,第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事,也是继北京奥运会之后我国举办的规模最大的国际体育盛会.来自109个国家的9 300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐,奖牌榜的前6名如下:
国家
金牌
银牌
铜牌
奖牌总数
中国
133
64
42
239
俄罗斯
51
53
57
161
巴西
21
31
36
88
法国
13
20
24
57
波兰
11
15
34
60
德国
10
15
20
45


某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表.
(1)请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人?
(2)从这9人中随机抽取3人,记这3人中银牌选手的人数为X,求X的分布列和期望;
(3)从这9人中随机抽取3人,求已知这3人中有获金牌运动员的前提下,这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.




21.(12分)(2019山东高考模拟)某手机公司生产某款手机,如果年返修率不超过千分之一,则生产部门当年考核优秀,现获得该公司2010—2018年的相关数据如下表所示:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产
量/万台
3
4
5
6
7
7
9
10
12
产品年利
润/千万元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.8
7.5
7.9
9.1
年返修
量/台
47
42
48
50
92
83
72
87
90


(1)从该公司2010—2018年的相关数据中任意选取3年的数据,以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数,求X的分布列和数学期望;
(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大,如果去掉该年的数据,试用剩下的数据求出年利润y(单位:千万元)关于年生产量x(单位:万台)的线性回归方程(精确到0.01).部分计算结果:y=19∑i=19yi=6.2,∑i=19xi2=509,∑i=19xiyi=434.1.
附:年返修率=年返修量(台)年生产量(台);线性回归方程y^=b^x+a^中,b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a^=y^?b^x.



22.(12分)(2019全国高三月考)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10


①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.




1116330010274300第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2020浙江高三专题练习)已知离散型随机变量X的概率分布如下:
X
0
1
2
3
P
0.2
0.3
0.4
c


则实数c等于(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.0.5 B.0.24
C.0.1 D.0.76
解析据题意得0.2+0.3+0.4+c=1,所以c=0.1,故选C.
答案C
2.(2020北京101中学月考)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为偶数},B={两次的点数之和为8},则P(B|A)=(　　)
A.118 B.112
C.13 D.29
解析∵P(A)=12×12=14,
P(AB)=16×16×3=112,
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=11214=13,故选C.
答案C
3.(2019山东高三月考)在2019年高中学生信息技术测试中,经统计,某校高二学生的测试成绩X~N(86,σ2).若已知P(80 A.0.86 B.0.64
C.0.36 D.0.14
解析因为X~N(86,σ2),P(80 所以P(X>92)=1-P(80 故选D.
答案D
4.(2020湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,那么乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A.827 B.227
C.881 D.3281
解析由乙以3∶1战胜甲,知第四局乙获胜,则乙以3∶1战胜甲的概率P=C31×23×1-233=227.故选B.
答案B
5.(2019天津高二期中)已知X~B9,13,则E(X),D(X)的值依次为(　　)
A.3,2 B.2,3
C.6,2 D.2,6
解析X~B9,13,则E(X)=9×13=3,D(X)=9×13×1-13=2.故选A.
答案A
6.(2019河北高二月考)已知离散型随机变量ξ的概率分布如下,若随机变量η=3ξ+1,则η的数学期望为(　　)
ξ
0
1
2
P
0.4
2k
k


A.3.2 B.3.4
C.3.6 D.3.8
解析由题意,根据离散型随机变量的分布列的性质,可得0.4+2k+k=1,解得k=0.2,
所以数学期望为E(ξ)=0×0.4+1×0.4+2×0.2=0.8,
又由随机变量η=3ξ+1,所以E(η)=3E(ξ)+1=3×0.8+1=3.4,故选B.
答案B
7.(2019山东高二期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析由题意,X的可能取值为0,1,2,
由题中数据可得P(X=0)=C43C63=15,
P(X=1)=C42C21C63=35,
P(X=2)=C41C22C63=15,
所以E(X)=15×0+1×35+2×15=1.故选B.
答案B
8.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A.24181 B.26681
C.27481 D.670243
解析依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为232+132=59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=59,P(ξ=4)=49×59=2081,P(ξ=6)=492=1681,故E(ξ)=2×59+4×2081+6×1681=26681,故选B.
答案B
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列命题正确的是(　　)
A.P(B)=2330
B.事件B与事件A1相互独立
C.事件B与事件A2相互独立
D.A1,A2互斥
解析根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点数:

因此P(A1)=1830=35,P(A2)=1230=25,P(B)=15+830=2330,A正确;
又因为P(A1B)=1530,所以P(A1B)≠P(A1)P(B),B错误;同理,C错误;
A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故D正确.
故选AD.
答案AD
10.为研究需要,统计了两个变量x,y的数据.情况如下表:
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn


其中数据x1,x2,x3,…,xn和数据y1,y2,y3,…,yn的平均数分别为x和y,并且计算相关系数r=-0.8,回归方程为y^=b^x+a^,下列选项正确的是(　　)
A.点(x,y)必在回归直线上,即y=b^x+a^
B.变量x,y的相关性强
C.当x=x1,则必有y^=y1
D.b^<0
解析回归直线经过样本中心点(x,y),故A正确;
变量的相关系数的绝对值越接近于1,则两个变量的相关性越强,故B正确;
根据回归方程的性质,当x=x1时,不一定有y^=y1,故C错误;
由相关系数r=-0.8<0知x,y负相关,所以b^<0,故D正确.
故选ABD.
答案ABD
11.(2019山东高二期末)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2


若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的是(　　)
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;
又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;
因为Y=2X+1,
所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,
故D正确.
故选ACD.
答案ACD
12.(2020山东蒙阴实验中学高三期末)下列判断正确的是(　　)
A.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.79,则P(ξ<-2)=0.21
B.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的必要不充分条件
C.若随机变量ξ服从二项分布:ξ~B4,14,则E(ξ)=1
D.已知直线ax+by=2经过点(1,3),则2a+8b的取值范围是[4,+∞)
解析若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.79,根据正态曲线的对称性有P(ξ≥-2)=P(ξ≤4)=0.79,所以P(ξ<-2)=1-P(ξ≥-2)=1-0.79=0.21,A正确;
因为α∥β,直线l⊥平面α,所以直线l⊥平面β,又直线m∥平面β,所以l⊥m,充分性成立;设α∩β=n,在α内取平行于n的直线m≠n,则l⊥m且m∥β,但是α与β相交,必要性不成立,B错误;
因为ξ~B4,14,所以E(ξ)=np=4×14=1,C正确;
由题意知a+3b=2,因为2a>0,8b=23b>0,所以2a+8b≥2·2a·23b=4,当且仅当a=1,b=13时取等号,D正确.
故选ACD.
答案ACD
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019天津高二期末)为了了解家庭月收入x(单位:千元)与月储蓄y(单位:千元)的关系,从某居民区随机抽取10个家庭,根据测量数据的散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系,其回归直线方程为y^=0.3x-0.4,若该居民区某家庭月收入为7千元,据此估计该家庭的月储蓄为　　　　　千元.?
解析由于y^=0.3x-0.4,代入x=7,于是得到y^=1.7.
答案1.7
14.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是　　　　　,三人中至少有一人达标的概率是　　　　　.?
解析三人均达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标的概率为1-(1-0.8)(1-0.6)·(1-0.5)=0.96.
答案0.24　0.96
15.(2019安徽郎溪中学高二期末)2018年春季,世界各地相继出现流感疫情,这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果,某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验,得到如下列联表:

感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100


参照附表,在犯错误的概率最多不超过　　　　　的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.?
参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


解析由题得χ2=100(10×30-20×40)230×70×50×50=10021≈4.762>3.841,
所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
答案0.05
16.(2020江西高安中学高二期末)设随机变量ξ满足P(ξ=k)=ck(k+1),k=1,2,3,c为常数,则P(0.5<ξ<2.5)=　　　　　.?
解析随机变量ξ满足P(ξ=k)=ck(k+1),k=1,2,3,
∴c2+c6+c12=1,
即6c+2c+c12=1,
解得c=43,
∴P(0.5<ξ<2.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)
=c2+c6=46×43=89.
答案89
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2019海南海口一中高三月考)为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资,得到这100名农民工月工资的中位数为39(百元)(假设这100名农民工的月工资均在[25,55](百元)内)且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:

(1)求m,n的值;
(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名,非技术工有19名,则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k)
0.05
0.01
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828


解(1)∵月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15,
∴月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为15100=0.15.
由频率分布直方图得(0.02+2m+4n+0.01)×5+0.15=1,
化简得m+2n=0.07.①
由中位数可得0.02×5+2m×5+2n×(39-35)=0.5,
化简得5m+4n=0.2.②
由①②解得m=0.02,n=0.025.
(2)根据题意得到列联表

技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均数
19
31
50
月工资高于平均数
31
19
50
总计
50
50
100


∴χ2=100×(19×19-31×31)250×50×50×50=5.76<10.828,
∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.
18.(12分)为了实现中国梦的构想,在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为45,56,23,且三个项目是否成功互相独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
解(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×1-23=29,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×1-56×23=445,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为1-45×56×23=19,
所以恰有两个项目成功的概率为29+445+19=1945.
(2)三个项目全部失败的概率为1-45×1-56×1-23=190,
所以至少有一个项目成功的概率为1-190=8990.
19.(12分)(2019广西高三模拟)甲乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲,乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.
解(1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是45,
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率
P=C42452152=96625.
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,
P(X=2)=C22C82C104=28210=215,
P(X=3)=C21C83C104=112210=815,
P(X=4)=C84C104=70210=13,
X的分布列为
X
2
3
4
P
215
815
13


(3)乙平均答对的题目数E(X)=2×215+3×815+4×13=165,
甲答对题目Y~B4,45,
甲平均答对的题目数E(Y)=4×45=165.
∵E(X)=E(Y),
∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.
20.(12分)(2019重庆巴蜀中学高三月考)第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行,第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事,也是继北京奥运会之后我国举办的规模最大的国际体育盛会.来自109个国家的9 300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐,奖牌榜的前6名如下:
国家
金牌
银牌
铜牌
奖牌总数
中国
133
64
42
239
俄罗斯
51
53
57
161
巴西
21
31
36
88
法国
13
20
24
57
波兰
11
15
34
60
德国
10
15
20
45


某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表.
(1)请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人?
(2)从这9人中随机抽取3人,记这3人中银牌选手的人数为X,求X的分布列和期望;
(3)从这9人中随机抽取3人,求已知这3人中有获金牌运动员的前提下,这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.
解(1)由题意可知,德国获奖运动员中,金牌、银牌、铜牌的人数比为2∶3∶4,
所以这9名获奖运动员中金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,X~H(9,3,3),
P(X=0)=C63C93=2084,
P(X=1)=C31C62C93=4584,
P(X=2)=C32C61C93=1884,
P(X=3)=C33C93=184,
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
2084
4584
1884
184


E(X)=1×4584+2×1884+3×184=1.
(3)记事件A为“3人中有获金牌运动员”,事件B为“这3人中恰好有1人为获铜牌运动员”,
P(A)=1-C73C93=712,
P(AB)=(C22+C21C31)C41C93=13,
P(B|A)=P(AB)P(A)=47.
21.(12分)(2019山东高考模拟)某手机公司生产某款手机,如果年返修率不超过千分之一,则生产部门当年考核优秀,现获得该公司2010—2018年的相关数据如下表所示:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产
量/万台
3
4
5
6
7
7
9
10
12
产品年利
润/千万元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.8
7.5
7.9
9.1
年返修
量/台
47
42
48
50
92
83
72
87
90


(1)从该公司2010—2018年的相关数据中任意选取3年的数据,以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数,求X的分布列和数学期望;
(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大,如果去掉该年的数据,试用剩下的数据求出年利润y(单位:千万元)关于年生产量x(单位:万台)的线性回归方程(精确到0.01).部分计算结果:y=19∑i=19yi=6.2,∑i=19xi2=509,∑i=19xiyi=434.1.
附:年返修率=年返修量(台)年生产量(台);线性回归方程y^=b^x+a^中,b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a^=y^?b^x.
解(1)由数据可知,2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀,
所以X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C50C43C93=121,P(X=1)=C51C42C93=514,
P(X=2)=C52C41C93=1021,P(X=3)=C53C40C93=542,
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
121
514
1021
542


∴E(X)=0×121+1×514+2×1021+3×542=53.
(2)因为x6=x=7,b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,
所以去掉2015年的数据后不影响b^的值,
所以b^=∑i=19xiyi-9x y∑i=19xi2-9x2=434.1-9×7×6.2509-9×72=43.568≈0.64,
去掉2015年数据后,x=7,y=9×6.2-7.88=6,
所以a^=y?b^x=6-43.568×7≈1.52,
故回归方程为y^=0.64x+1.52.
22.(12分)(2019全国高三月考)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10


①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.
解(1)由题意,当n∈[0,16)时,利润y=120n-960,
当n∈[16,+∞)时,利润y=(120-60)×16=960.
综上,当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y=120n-960,n∈[0,16),n∈N,960,n∈[16,+∞),n∈N.
(2)①由(1)可得,
当n=14时,利润X=120×14-960=720;
当n=15时,利润X=120×15-960=840;
当n≥16时,利润X=960.
所以X的分布列为
X
720
840
960
P
0.1
0.2
0.7


所以E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912(元).
D(X)=(720-912)2×0.1+(840-912)2×0.2+(960-912)2×0.7=6 336.
②由题意,加工17个蛋糕时,设Y表示当天利润,
当n=14时,利润Y=120×14-60×17=660;
当n=15时,利润Y=120×15-60×17=780;
当n=16时,利润Y=120×16-60×17=900;
当n≥17时,利润Y=60×17=1 020.
Y的分布列如下
Y
660
780
900
1 020
P
0.1
0.2
0.16
0.54


则E(Y)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1 020×0.54=916.8>912.
从数学期望来看,每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润,应加工17个.