第一章 1.2 1.2.1
请同学们认真完成
[练案6]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．下列四个命题中真命题的序号为( )
①3≥3；
②100或50是10的倍数；
③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；
④等腰三角形至少有两个内角相等．
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②④
2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角全是锐角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
3．下列全称量词命题中假命题的个数是( )
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．下列命题不是“?x∈R，x2>3”的另一种表述的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，使得x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
5．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．命题p：?x∈R，x2－2x＋1≤0是____命题(填“真”或“假”)．
7．若命题“?x∈[a,6]，x2≥4”是真命题，则实数a的取值范围是____.
8．已知P(x)：x2－2x－m>0，如果P(1)是假命题，P(2)是真命题，则实数m的取值范围是____.
三、解答题(共20分)
9．(10分)判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2<0；
(2)?x∈[0，＋∞)，＝＋2；
(3)?x∈R，x2<0；
(4)?x∈Z，是自然数；
(5)?a，b∈R，(a－b)2＝a2－b2.
10．(10分)用符号“?”(“?”表示“任意”)或“?”(“?”表示“存在”)表示下面的命题，并判断真假：
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立；
(3)勾股定理．
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．下列四个命题中，是存在量词命题且是真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋3≥0
B．?x∈N，x2≥0
C．?x∈Z，使x5<1
D．?x∈Q，x2＝3
2．已知?x∈[0,2]，m>x，?x∈[0,2]，n>x，那么m，n的取值范围分别是( )
A．m∈(0，＋∞)，n∈(0，＋∞)
B．m∈(0，＋∞)，n∈(2，＋∞)
C．m∈(2，＋∞)，n∈(0，＋∞)
D．m∈(2，＋∞)，n∈(2，＋∞)
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．下列命题中是假命题的是( )
A．形如a＋b的数是无理数
B．一个数不是正数就是负数
C．在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边
D．若x＋y为有理数，则x，y都是有理数
4．如果命题“若m>5，则q”为真命题，那么q可以是( )
A．m>0
B．m<8
C．m>2
D．m>6
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列命题：
①存在x<0，x2－2x－3＝0；
②对一切实数x<0，都有|x|>x；
③?x∈R，＝x；
④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N
，an≠bm.
其中，所有真命题的序号为____.
6．已知存在量词命题p：?x∈R，使2x2－3x＋9a＝0成立，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为___.
四、解答题(共10分)
7．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．
第一章 1.2 1.2.1
请同学们认真完成
[练案6]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．下列四个命题中真命题的序号为( D )
①3≥3；
②100或50是10的倍数；
③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；
④等腰三角形至少有两个内角相等．
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②④
解析：①3≥3是3>3或者3＝3，所以①是真命题．②100和50都是10的倍数，所以②是真命题．③举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形，所以③是假命题．④根据等腰三角形的定义可知④是真命题．故选D．
2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A．锐角三角形的内角全是锐角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A是全称量词命题．B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．
3．下列全称量词命题中假命题的个数是( C )
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：只有③是真命题．
4．下列命题不是“?x∈R，x2>3”的另一种表述的是( C )
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，使得x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
解析：选项C是全称量词命题，符合题意．
5．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，面积相等的三角形不一定全等，所以是假命题；对于②，xy＝0，则x＝0或y＝0，不能得到|x|＋|y|＝0，所以是假命题；对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；对于④，矩形的对角线不一定互相垂直，所以是假命题，综上所述，假命题有4个，故选D．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．命题p：?x∈R，x2－2x＋1≤0是__真__命题(填“真”或“假”)．
解析：由于x2－2x＋1＝(x－1)2≤0，当且仅当x＝1时等号成立．故命题p为真命题．
7．若命题“?x∈[a,6]，x2≥4”是真命题，则实数a的取值范围是__[2,6)__.
解析：由题意可得当a∈[2,6)时，a2≥4恒成立．故实数a的取值范围是[2,6)．
8．已知P(x)：x2－2x－m>0，如果P(1)是假命题，P(2)是真命题，则实数m的取值范围是__－1≤m<0__.
解析：由题意得m满足
即解得－1≤m<0.
三、解答题(共20分)
9．(10分)判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2<0；
(2)?x∈[0，＋∞)，＝＋2；
(3)?x∈R，x2<0；
(4)?x∈Z，是自然数；
(5)?a，b∈R，(a－b)2＝a2－b2.
解析：(1)假命题；(2)假命题；(3)假命题；(4)真命题；(5)真命题．
10．(10分)用符号“?”(“?”表示“任意”)或“?”(“?”表示“存在”)表示下面的命题，并判断真假：
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立；
(3)勾股定理．
解析：(1)这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．改写后命题为：?x∈R，x2≥0，它是真命题．(2)改写后命题为：?(x，y)，x∈R，y∈R,2x－y＋1<0，它是真命题．如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)这是全称量词命题，所有的直角三角形都满足勾股定理．改写后命题为：?Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2＋b2＝c2，它是真命题．
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．下列四个命题中，是存在量词命题且是真命题的是( C )
A．?x∈R，x2＋3≥0
B．?x∈N，x2≥0
C．?x∈Z，使x5<1
D．?x∈Q，x2＝3
解析：选项A，B为全称量词命题，故选项A，B错误；当x＝0时，x5<1，故选项C正确；由于x2＝3，x＝±，不是有理数，故选项D错误．
2．已知?x∈[0,2]，m>x，?x∈[0,2]，n>x，那么m，n的取值范围分别是( C )
A．m∈(0，＋∞)，n∈(0，＋∞)
B．m∈(0，＋∞)，n∈(2，＋∞)
C．m∈(2，＋∞)，n∈(0，＋∞)
D．m∈(2，＋∞)，n∈(2，＋∞)
解析：?x∈[0,2]，m>x，
可知m大于[0,2]中的最大值，即m>2，
由?x∈[0,2]，n>x，可知n大于[0,2]中的最小值．
即n>0，故选C．
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．下列命题中是假命题的是( ABD )
A．形如a＋b的数是无理数
B．一个数不是正数就是负数
C．在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边
D．若x＋y为有理数，则x，y都是有理数
解析：A是假命题，反例：若a＝1，b＝0，则a＋b为有理数；B是假命题，0既不是正数也不是负数；C是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边；D是假命题，如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，x，y都不是有理数．故选ABD．
4．如果命题“若m>5，则q”为真命题，那么q可以是( AC )
A．m>0
B．m<8
C．m>2
D．m>6
解析：由题可知q可以是m>0或m>2，B，D不符合题意．故选AC．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列命题：
①存在x<0，x2－2x－3＝0；
②对一切实数x<0，都有|x|>x；
③?x∈R，＝x；
④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N
，an≠bm.
其中，所有真命题的序号为__①②__.
解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③＝|x|＝故③为假命题；④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．
6．已知存在量词命题p：?x∈R，使2x2－3x＋9a＝0成立，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为__a≤__.
解析：由已知得Δ≥0，即9－4×2×9a≥0，∴a≤.
四、解答题(共10分)
7．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．
解析：若x>0，由|x|>ax得a<＝1，若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，则实数a的取值范围是(－1,1)．第一章 1.2 1.2.1
1．(多选)下列命题是全称量词命题的是( )
A．中国公民都有受教育的权利
B．每一个中学生都要接受爱国主义教育
C．有人既能写小说，也能搞发明创造
D．任何一个数除0，都等于0
2．下列命题中是真命题的是( )
A．?x∈R，x2＋1<0
B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|>3
D．?x∈Q，x2∈Z
3．下列命题中，是全称量词命题的有____，是存在量词命题的有____.(填序号)
①正方形的四条边相等；
②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数；
⑤所有正数都是实数吗？
4．给出命题p：?x≥3，使得2x－15．判断下列命题的真假：
(1)?x>0，>1；
(2)若a>b，则a2>b2.
第一章 1.2 1.2.1
1．(多选)下列命题是全称量词命题的是( ABD )
A．中国公民都有受教育的权利
B．每一个中学生都要接受爱国主义教育
C．有人既能写小说，也能搞发明创造
D．任何一个数除0，都等于0
解析：A、B、D都是全称量词命题．
2．下列命题中是真命题的是( B )
A．?x∈R，x2＋1<0
B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|>3
D．?x∈Q，x2∈Z
解析：A是假命题．因为?x∈R，x2＋1>1；B是真命题．当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题．如x＝2时，|x|<3；D是假命题．如x＝，x2?Z.
3．下列命题中，是全称量词命题的有__①②③__，是存在量词命题的有__④__.(填序号)
①正方形的四条边相等；
②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数；
⑤所有正数都是实数吗？
解析：④为存在量词命题，①②③为全称量词命题，而⑤不是命题．
4．给出命题p：?x≥3，使得2x－1解析：∵x∈[3，＋∞)，∴2x－1∈[5，＋∞)，
当命题p为真命题时，即?x∈[3，＋∞)，
使2x－15，
∴命题p为假命题时，实数m的取值范围是m≤5.
5．判断下列命题的真假：
(1)?x>0，>1；
(2)若a>b，则a2>b2.
解析：(1)∵x>0，∴x＋1>1，∴>1，命题为真．
(2)取a＝0，b＝－1，显然a>b，但a2>b2不成立，∴命题为假．
