第二章 2.1 2.1.2
请同学们认真完成
[练案10]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值为( )
A．正数
B．非负数
C．一切实数
D．零
2．一元二次方程3x2－1＝2x＋5的两个实数根的和与积分别是( )
A．，－2
B．，－2
C．－，2
D．－，2
3．关于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤－
B．k≥－且k≠0
C．k≥－
D．k>－且k≠0
4．如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为( )
A．α＋β≥
B．α＋β≤
C．α＋β≥1
D．α＋β≤1
5．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－2或3
B．3
C．－2
D．－3或2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝___.
7．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为____.
若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个实数根，则xx2＋x1x的值是____.
三、解答题(共20分)
9．(10分)若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
(1)求|x1－x2|的值；
(2)求＋的值；
(3)x＋x.
10．(10分)已知关于x的方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0.
(1)若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x＋x＝x1x2＋7，求实数k的值．
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是( )
A．2
B．－1
C．2或－1
D．不存在
2．若关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(其中a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋1)2＋b＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝0
B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝－4，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝4
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围可以是( )
A．[0,1)
B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
4．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是( )
A．这两个方程的根都是负根
B．这两个方程的根中可能存在正根
C．(m－1)2＋(n－1)2≥2
D．－1≤2m－2n≤1
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．设x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根(x16．设a，b是方程x2＋x－2
020＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为____.
四、解答题(共10分)
7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值．
第二章 2.1 2.1.2
请同学们认真完成
[练案10]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值为( B )
A．正数
B．非负数
C．一切实数
D．零
解析：当m≥0时，一元二次方程x2＝m有解．故选B．
2．一元二次方程3x2－1＝2x＋5的两个实数根的和与积分别是( B )
A．，－2
B．，－2
C．－，2
D．－，2
解析：设这个一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，方程3x2－1＝2x＋5化为一元二次方程的一般形式为3x2－2x－6＝0.∵a＝3，b＝－2，c＝－6，∴x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝－＝－2.故选B．
3．关于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有实数根，则k的取值范围是( B )
A．k≤－
B．k≥－且k≠0
C．k≥－
D．k>－且k≠0
解析：∵关于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有实数根，
∴，解得k≥－，且k≠0.故选B．
4．如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为( C )
A．α＋β≥
B．α＋β≤
C．α＋β≥1
D．α＋β≤1
解析：由Δ≥0，得m≤，∴α＋β＝2(1－m)≥1，故选C．
5．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( C )
A．－2或3
B．3
C．－2
D．－3或2
解析：∵方程有两个相等实根，
∴Δ＝[－(m＋6)]2－4m2＝0，
即m2－4m－12＝0.①
又∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，
∴m＋6＝m2，②
由①②得：m＝－2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝__12__.
解析：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝x1x2＝12.
7．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为__3__.
解析：由题图得：∴
∴Δ＝b2－4am＝12a－4am＝4a(3－m)≥0.
∴m≤3，∴m的最大值为3.
8．若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个实数根，则xx2＋x1x的值是__15__.
解析：根据题意，由根与系数的关系得x1＋x2＝－3，x1x2＝－5，所以xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)＝(－5)×(－3)＝15.
三、解答题(共20分)
9．(10分)若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
(1)求|x1－x2|的值；
(2)求＋的值；
(3)x＋x.
解析：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
(1)∵|x1－x2|2＝x＋x－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(－)2－4×(－)＝＋6＝.
∴|x1－x2|＝.
(2)＋＝＝
＝＝＝.
(3)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×(－)]＝－.
10．(10分)已知关于x的方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0.
(1)若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x＋x＝x1x2＋7，求实数k的值．
解析：(1)∵x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0有实数根，
∴Δ＝4(k－3)2－4(k2－4k－1)＝4k2－24k＋36－4k2＋16k＋4＝40－8k≥0，
解得：k≤5.
(2)∵方程的两实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2(k－3)，x1·x2＝k2－4k－1.
∵x＋x＝x1x2＋7，
∴(x1＋x2)2－3x1x2－7＝0，
∴k2－12k＋32＝0，解得k1＝4，k2＝8.
又∵k≤5，∴k＝4.
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是( A )
A．2
B．－1
C．2或－1
D．不存在
解析：由题知，
解得m>－1且m≠0.
∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴＋＝＝＝4m，
∴m＝2或－1，
∵m>－1，∴m＝2.
2．若关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(其中a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋1)2＋b＝0的解是( A )
A．x1＝－3，x2＝0
B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝－4，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝4
解析：把方程a(x＋m＋1)2＋b＝0看作关于x＋1的一元二次方程，则x＋1＝－2，x＋1＝1，解得x1＝－3，x2＝0.
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围可以是( AB )
A．[0,1)
B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
解析：∵关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，
∴
解得m≥0且m≠1.
4．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是( ACD )
A．这两个方程的根都是负根
B．这两个方程的根中可能存在正根
C．(m－1)2＋(n－1)2≥2
D．－1≤2m－2n≤1
解析：设方程x2＋2mx＋2n＝0的两根为x1、x2，方程y2＋2ny＋2m＝0的两根为y1、y2.由题意知x1x2＝2n>0，y1y2＝2m>0，又∵x1＋x2＝－2m，y1＋y2＝－2n，∴这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确；∵4m2－8n≥0,4n2－8m≥0，∴m2－2n≥0，n2－2m≥0，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2n＋1＋n2－2m＋1＝(m2－2n)＋(n2－2m)＋2≥2，故C正确．
由根与系数的关系可得：
2m－2n＝y1y2＋y1＋y2＝(y1＋1)(y2＋1)－1
由y，y2均为负整数，得：
(y1＋1)(y2＋1)≥0，故2m－2n≥－1
同理可得2n－2m＝x1x2＋x1＋x2＝(x1＋1)(x2＋1)－1，得2n－2m≥－1
∴－1≤2m－2n≤1，故D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．设x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根(x1解析：由题知，x1＋x2＝m＝1，
则原方程为x2－x－6＝0，
解得x1＝－2，x2＝3.
6．设a，b是方程x2＋x－2
020＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为__2
019__.
解析：由题知，Δ>0，a＋b＝－1，
a2＋a－2
020＝0，
∴a2＋2a＋b＝(a2＋a)＋(a＋b)＝2
020－1＝2
019.
四、解答题(共10分)
7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值．
解析：(1)不存在．理由：假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．
∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k＋1)＝－16k≥0，∴k<0.
∵x1＋x2＝1，x1x2＝，
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2x－5x1x2＋2x
＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝2－＝－，
即＝，解得k＝，与k<0相矛盾，所以不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．
(2)∵＋－2＝－2＝－2＝－4＝－4＝＝－，
∴要使＋－2的值为整数，只需k＋1能整除4.而k为整数，∴k＋1只能取±1，±2，±4.
又∵k<0，∴k＋1<1，
∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5.
∴能使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5.第二章 2.1 2.1.2
1．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为( )
A．2
B．0
C．0或2
D．0或－2
2．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A．a>2
B．a<2
C．a<2且a≠1
D．a<－2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝____.
4．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝____，x＋x＝____.
5．已知关于x的方程x2－2x＋m－1＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根．
第二章 2.1 2.1.2
1．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为( A )
A．2
B．0
C．0或2
D．0或－2
解析：因为x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，所以4－4m＋4＝0，所以m＝2.
2．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( C )
A．a>2
B．a<2
C．a<2且a≠1
D．a<－2
解析：Δ＝4－4(a－1)＝8－4a>0，得a<2.又a－1≠0，所以a<2且a≠1.
3．已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2__.
解析：依题意，得2×12－3k×1＋4＝0，即2－3k＋4＝0.解得，k＝2.
4．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝__－1__，x＋x＝__3__.
解析：∵x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，
∴x1＋x2＝－＝－＝－1，
x1·x2＝＝＝－1，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(－1)2－2×(－1)＝1＋2＝3.
5．已知关于x的方程x2－2x＋m－1＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根．
解析：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(m－1)>0，
即4－4m＋4>0，解得m<2.
(2)设方程的另一个实数根为x2，
∵5＋x2＝2，∴x2＝－3.
∴当方程有一个实数根是5时，另一个根为－3.
