4.3.1等比数列(第一课时)课件-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（21张PPT）

4.3.1等比数列的概念
等差数列
定义
an - an-1=d
公差
d可以是0
等差中项
2A=a+b
通项公式
an=a1+(n－1)d
=an=am+(n－m)d
性质(若m+n=p+q=2k)
ap + aq = as + at= 2ak
复习
引入
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列:
9,92,93,...,910; ①
100,1002,1003,...,10010; ②
5,52,...,510 ③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把一尺之锤的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“锤”的长度依次是
④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,……
引入
4.某人存入银行a元,存期为五年,年利率为r,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是
a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息
探究
（1） 9,92,93,...,910;
（2） 100,1002,1003,...,10010;
（3）5,52,...,510
（4）
（5）2,4,8,16,32,64,……
（6）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5
思考1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律，你发现了什么规律
如果用{an}表示数列①，那么有
表明,数列①有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它前一项的比都等于9
思考2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 。
符号表述：
新知
注：（1） “从第二项起每一项”与“它的前一项”之比为常数q
（2） 任意一项an≠0且q ≠ 0
（3） q=1时，｛an｝为非零常数列
等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 。
符号表述：
新知
说出下列等比数列的公比
（1） 9,92,93,...,910; （2） 100,1002,1003,...,10010;
（3）5,52,...,510 （4）
（5）2,4,8,16,32,64,…… （6）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5
是，q＝2
是，q=－2
是，q＝1
不是
不是
是，q＝－1
练习
是，
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4

±3
±2
练习
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
即G2=ab
新知
探究
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
问题：已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，求数列{an}的通项公式
解：根据等比数列的定义有an+1=anq
则 a2=a1q
a3=a2q=a1q2
a4=a3q=a1q3
...
an=a1qn-1(n≥2)
又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立
等比数列的通项公式：an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
新知
求下列等比数列的通项公式
(1)2，4，8，16，32，64.
(2)1，3，9，27，81，243，…
在等比数列{an}中，a1＝3，a3＝27，求an；
练习
解：设公比为q
∵a3＝a1·q2 ∴27＝3·q2，
∴q＝±3.
∴an＝3·3n－1或an＝3·(－3)n－1
解：设公比为q的等比数列，由已知条件，有
解得
因此
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项
例题
解法二：∵a5是a4与a6的等比中项
∴ =a4×a6=48×12=576
∴ a5 = =±24
故{an}的第5项是24或－24
变式.若等比数列{an}的第2项和第6项分别为4和16,求{an}的第4项
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项
例题
解：∵a4是a2与a6的等比中项
∴ =a2×a6=4×16=64
∴ a3 =±8
∵a4=a2×q2=4q2＞0
故{an}的第4项是8
变式.若等比数列{an}的第2项和第6项分别为4和16,求{an}的第4项
在等比数列中，应用等比中项解决问题，要注意下标都是奇数或者都是偶数的情况
练习
解：由已知条件，有a1＋a2=1，a3＋a4=4
练习
若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，求a1和公比q
等比数列通项公式的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
1.根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
2.充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
归纳
新知
如图
当q＞0且q≠1时，等比数列{an}是指数函数
当x=n时的函数值，即an=f(n)。
反之
任给指数函数f(x)=kax(k、a为常数,k≠0,a＞0且a≠1)
则f(1)=ka，f(2)=ka2，...，f(n)=kan,...
构成一个等比数列{kan}，首项为ka,公比为k
小结
等差数列
等比数列
定义
an - an-1=d
公差
d可以是0
q不可以是0
等差中项
2A=a+b
G2=ab
通项公式
an=a1+(n－1)d
=an=am+(n－m)d
an=a1qn-1
性质(若m+n=p+q=2k)
ap + aq = as + at= 2ak
作业
P31 课本 练习 3