13.3.2 空间图形的体积（2）同步练习-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册（Word版含解析）

空间图形的体积（2）
课本温习
1.
若一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　)
A.
　
B.
32π
C.
　
D.
64π
2.
设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若＝，则的值为(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
3.
一平面截一球得到直径是6
cm的圆面，球心到这个平面的距离是4
cm，则该球的体积是(　　)
A.
cm3　
B.
cm3
C.
cm3　
D.
cm3
4.在三棱锥中，平面，且为等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
固基强能
5.把球的体积扩大到原来的2倍，那么表面积扩大到原来的（
）
A.2倍
B.倍
C.倍
D.倍
6.在三棱锥中，平面，且.若三棱锥的外接球体积为，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
7（多选）如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（
）
A．直三棱柱侧面积是
B．直三棱柱体积是
C．三棱锥的体积为定值
D．的最小值为
8（多选）已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（
）
A．平面
B．面
C．四棱锥外接球的表面积为
D．四棱锥的体积为6
9.
有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
10..《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图，四面体为鱉臑，平面，为直角，且，则的体积为________.
11.在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.
12.一个圆锥的侧面展形图是中心角为120°，半径为的扇形，求此圆锥的体积．
规范演练
13.在平面几何中可利用等积变换求三角形的面积，通常有两种方案：一是同一三角形选不同的边作为底边所得面积相等；二是不同的三角形利用“等底同高”或“等高同底”得到三角形面积相等.在空间图形中能否借鉴平面几何的“等积变换”求三棱锥的体积？如图所示，正方体，的棱长为1，E为线段上的一点，在求三棱锥的体积时，随着E点的变化，底面的面积在变化，点A到底面的距离也在变化，导致体积难求.
（1）能否利用“等体积转换法”求解三棱锥的体积？
（2）求三棱锥的体积关键是求高，即求E点到平面的距离，如何求出E点到平面的距离？
（3）求出三棱锥的体积.
空间图形的体积（2）
1.
A　解析：设球的半径为R，则4πR2＝16π，解得R＝2.所以球的体积V＝πR3＝.故选A.
2.
D　解析：圆锥的母线l＝＝r，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝πr3，S2＝πrl＝πr2.∵
＝＝，∴
a＝r.∴
＝＝.故选D.
3.C　解析：根据球的截面性质，有R＝＝＝5，∴
V球＝πR3＝(cm3)．故选C.
4.B解析：的外接圆半径为，
底面，所以，三棱锥的外接球半径为，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
5.B【解析】设变化前后球的半径分别为，表面积分別为.由条件可知，因此扩大后球的表面积.
故选：B
6.C【解析】因为平面，所以，
又因为，所以平面，所以，
设的中点为，则到的四个顶点的距离都相等，
所以点是三棱锥外接球球心，又由外接球的体积为，得外接球半径，所以.设，则，得，
所以，
当且仅当时，取得最大值.
此时，
所以，三棱锥的表面积.
故选：C.
7（多选）ACD
【解析】在直三棱柱中，，，
底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；
直三棱柱的体积为，故B不正确；
由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，
三棱锥的高为定值，
××2＝，××＝，故C正确；
设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，
即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．故选ACD．
8（多选）BC
【解析】作图，在四棱锥中，根据题意逐一证明或排除.
作图在四棱锥中：
由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则
平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接交于，连接，中，∥，面，
面，所以面，所以选项B正确；
四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，
，则平面，，四棱锥的体积
所以选项D错误.
矩形中，易得，
中求得：在中
即：
，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
所以其体积为，所以选项C正确
故选：BC
9.
解：由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，
则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3.
而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是V′＝π··h＝πh3.
由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度为r.
10.【解析】由题意知平面，，，
所以的面积为，因此，.
故答案为：.
11.【解析】因为，为的中点，所以，
在折起的过程中，，，，所以平面，
因为二面角等于，所以，且，
，在中，，
外接圆半径为，
设外接球的半径为，则，
因此，所以外接球的体积为.
故答案为：.
12.
解：设圆锥的底半径为，高为，依题意，圆锥的母线长是．
由知：，
∴
．所以圆锥的体积是
13.【解析】（1）选为底面，则底面积不变，利用同一几何体的等积变换得，
三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
（2）由于正方体的侧面与侧面平行，
因此E点到平面的距离等于C点到平面的距离，
利用“等底同高”体积相等得，
三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
（3）由问题1、2得，.