1.4.1充分条件与必要条件学案-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）必修第一册同步学案-1.4.1充分条件与必要条件
1.4.1
充分条件与必要条件
班级：
；姓名：
.
有了目标，才有方向
【知识目标】理解充分条件的概念及必要条件概念.
【能力目标】1.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件；
2.从子集关系的角度认识充分条件、必要条件，以此为依据进行相关的参数求解；
3.准确掌握充分不必要条件和必要不充分条件的区别；
4.不但要正确理解“充分、必要”的概念，还能在涉及的实际问题中用文字语言正确表述.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料1】
1.老王在北京，能不能充分保证老王在中国？（能）
老王不在中国，老王能在北京吗？（不能）
“老王在中国”对于“老王在北京”来说，是不是必要的？（是）
2.老王在中国，能不能充分保证老王在北京？（不能）
老王不在北京，老王一定不在中国吗？（不一定）
“老王在北京”对于“老王在中国”来说，是不是必要的？（不是）
【材料2】
集合A={1，2}，B={1，2，3}.
1.x∈A，能不能充分保证x∈B？（能）
若xB，那么x∈A能成立吗？（不能），
“x∈B”对于“x∈A”来说，是不是必要的？（是）
2.x∈B能不能充分保证x∈A？（不能）
若xA，那么x∈B一定不成立吗？（不一定）
“x∈A”对于“x∈B”来说，是不是必要的？（不是）
二、充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.
这时，我们就说p可以推出q，记作p
q，并且说，p是q的
充分
条件（sufficient
condition），q是p的
必要
条件（necessary
condition）.
如果“若p，则q”为假命题，是指由条件p不能推出结论q，记作p
≠>
q.
此时就说p不是q的
充分
条件，q不是p的
必要
条件.
【边学边用】
对于材料1：
老王在北京
老王在中国，这说明“老王在北京”是“老王在中国”的
充分
条件，“老王在中国”是“老王在北京”的
必要
条件；
老王在中国
≠>
老王在北京，这说明“老王在中国”不是“老王在北京”的
充分
条件，“老王在北京”不是“老王在中国”的
必要
条件.
思考：1.“老王在中国”的充分条件只有一个吗？（不是，“老王在上海”也是）
2.“老王在北京”的必要条件只有一个吗？（不是，“老王在亚洲”也是）
对于材料2：
x∈A
x∈B，这说明“x∈A”是“x∈B”的
充分
条件，“x∈B”是“x∈A”的
必要
条件；
x∈B
≠>
x∈A，这说明“x∈B”不是“x∈A”的
充分
条件，“x∈A”不是“x∈B”的
必要
条件；
提醒：充分、必要条件的判断，决定于箭头指向.
【规律总结】
A、B是两个非空集合，且AB，则有如下结论：
1.“x∈A”是“x∈B”的
充分
条件（以“小”推“大”），“x∈B”是“x∈A”的
必要
条件；
2.“x∈B”不是“x∈A”的
充分
条件（“大”不能推“小”），“x∈A”不是“x∈B”的
必要
条件.
【传统文化】
王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的充分条件还是必要条件？（必要条件）
剖析：非有志者不能至，就是说“不是有志的人”是“到不了”的，所以“有志”对于“能至”是必不可少的，
活学活用，发展思维
【题型1】p是q充分条件的判断(pq).
1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x
＝1，则x2－4x＋3＝0；
（2）若a=b，则ac=bc；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
剖析：（1）x
＝1代入方程x2－4x＋3＝0，等号成立，所以pq，p是q的充分条件；
（2）根据等式性质可知，pq，p是q的充分条件；
（3）是无理数，但=2是有理数，所以p≠>q，p不是q的充分条件.
提醒：说明p≠>q，举出一个反例即可.
【题型2】q是p必要条件的判断(p?q).
2.下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?
（1）若x
＝
y，则x2
＝
y2；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
（3）若a
＞b,则ac＞bc．
剖析：（1）根据等式性质可知，pq，q是p的必要条件；
（2）根据三角形全等的特点可知，pq，q是p的必要条件；
（3）c<0时，不等号需要改变，所以p≠>q，q不是p的必要条件.
【题型3】p是q的“充分不必要条件(pq，且q
≠>
p)”的判断及“必要不充分条件(p≠>
q，且q
p)”的判断.
3.下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分不必要条件？哪些命题中的p是q的必要不必要条件?
（1）若(x?1)(y?2)=0，则(x?1)2+(y?2)2=0；
（2）若x=1，则x2=1.
剖析：（1）x=1，y=3时，(x?1)(y?2)=0成立，但(x?1)2+(y?2)2=0不成立，所以p≠>q，p不是q的充分条件；
(x?1)2+(y?2)2=0x=1，且y=2(x?1)(y?2)=0，所以qp，p是q的必要条件.
综上所述，p是q的必要不充分条件.
(2)x=1代入方程x2=1，等号成立，所以pq，p是q的充分条件；
x2=1时，x不一定是1，还可以为－1，所以q≠>p，p不是q的必要条件.
综上所述，p是q的充分不必要条件.
再次提醒：充分性、必要性的判断，看箭头指向！
【题型4】有关参数范围的确定(以小推大)
4.若“x>2m2?3”是“?15.?设p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
4.解析：x{x|x>2m2?3}≠>
x{x|?12m2?3}，依据“小推大”的原则，有结论{x|x>2m2?3}{x|?12m2?3≤－1，m2≤1，－1≤m≤1.
5.解析：pq，但q≠>p，有结论{x|≤x≤1}{x|a≤x≤a+1}.
，（两不等式中的等号不同时成立），解得：0≤a≤．
题型对点训练，巩固提升
1.设x∈R，则x>2的一个必要条件是(????)
A.
x>1
B.
x<1
C.
x>3
D.
x<3
2.如果p是q的充分条件，s是q的必要条件，那么(????)
A.
p是s的必要条件
B.
q是p的充分条件
C.
s是p的充分条件
D.
p是s的充分条件
3.已知P={x|a?44.已知集合M={x|?2若x∈M是x∈CRN的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
自我反馈，总结提升
1.完成下面的表格：
p是q的
充分条件
必要条件
充分不必要条件
必要不充分条件
pq
qp
pq，且q≠>p
p≠>q，且qp
2.利用集合中包含思想判定充分性、必要性的问题，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题.
自我评估
选择题：
1.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(????)
A.
若1+x=1+y，则x=y
B.
若x2=1，则x=1
C.
若=，则x=y
D.
若x2.下列命题中正确的序号是(????)
(1)A(CUA)=U；
(2)集合{x∈N|?2≤x<3}，用列举法表示为{?2，?1，0，1，2}；
(3)x>3是x>2的充分条件．
A.
(1)
B.
(1)(2)
C.
(1)(3)
D.
(1)(2)(3)
3.（多选题）若?1A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
填空题:
4.写出一个“x2<1”的充分条件，
.
5.已知p：x?a>0，q：x>?2，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是?????????
?．
解答题
：
6.设集合A={x|x2?3x+2=0}，B={x|ax=1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a
组成的集合．
最后的任务
把失误的题落实到纠错本上，并反思失误原因
题型对点训练，巩固提升答案：
1.【答案】A
解析：令S={x|x>2}，根据题意，xSx∈T，则S为T的子集.
故选A．
2.【答案】D
解析：p是q的充分条件，即p?q；s是q的必要条件，即q?s.
综上，得p?q?s，则p?s，p是s的充分条件．
故选D．??
3.【答案】?1≤a≤5
解析：∵x∈P是x∈Q的必要条件，即x∈Q?x∈P，∴Q?P.
，解得?1≤a≤5．
4.解析：解析：N={x|m?1∵x∈M是x∈CRN的充分不必要条件，即x∈M?x∈CRN，且x∈CRN?x∈M，∴M?(CRN).
m?1≥10或m+1≤?2，解得m≤?3或m≥11．所以实数m的取值范围是{m|m≤?3或m≥11}．
自我评估答案：
选择题：1.【答案】A；2.【答案】C；3【答案】BCD.
填空题：4.
0.
解答题：6.解析：∵A={x|x2?3x+2=0}={1，2}.
∵“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴BA．
当B=?时，得a=0；
当B≠?时，a≠0，B={}，则=1或2，a=1或．
综上所述，实数a
组成的集合是{0，1，}．
1
1
1