2.4单摆 讲义-2021-2022学年【新教材】人教版（2019）高中物理选择性必修第一册word版含答案

第二章机械振动
第4节单摆
【素养目标】
1.知道什么是单摆,了解单摆运动的特点。
2.通过实验,探究单摆的周期与摆长的关系。
3.知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测定重力加速度。
【必备知识】
单摆的回复力
1．单摆
由细线和小球组成，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略。忽略摆动过程中所受阻力的作用，单摆是实际摆的理想化模型。
为了满足上述条件，我们尽量选择质量大、半径小的球和尽量细的无弹性的线。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧方向的分力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝－x。
(3)运动规律：如图所示，摆球受重力G＝mg和绳子的拉力F′两个力作用，将重力mg按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F′与重力的径向分力的合力充当了以悬点为圆心的圆周运动的向心力，而重力的切向分力F提供了使摆球振动的回复力。当单摆运动到摆线与竖直方向夹角为θ的位置时，摆球受到的回复力为F＝mgsin
θ。
设单摆的摆长为l，在摆角θ＜5°的条件下，若将θ用弧度值来表示，就存在如下近似关系：sin
θ≈θ。
上式中弧OP所对的弦OP就是摆角为θ时摆球对平衡位置的位移x，所以sin
θ≈。
摆球在摆角θ很小的条件下受到的回复力近似表示为：
F＝－·x，令k＝，则F＝－kx。
对一个确定的单摆来说，k是一个不随振动变化的定值，这表明摆球所受的回复力的大小跟摆球振动的位移成正比，负号则正好反映了摆球所受回复力的方向与摆球位移的方向相反(即回复力方向始终指向平衡位置)。由此可见，单摆在摆角θ＜5°的条件下的振动是简谐运动。
二、单摆的周期
(1)实验研究：单摆的振幅、质量、摆长对周期各有什么影响？
控制条件：实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。
步骤1：把摆长相同的两个摆球从不同高度释放，观察现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期与振幅无关。
步骤2：将摆长相同、质量不同的摆球拉到同一高度释放，观察现象：两摆球同步振动，即说明单摆的周期与摆球质量无关，不受其影响。
步骤3：取摆长不同，两个相同的摆球从某一高度同时释放，观察现象：两摆球振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动跟摆长有关。
实验表明：单摆的振动周期与摆球的质量无关；在振幅较小时，与振幅无关；但是与摆长有关，摆长越长，周期越长。
步骤4：定量研究周期跟摆长的关系：测量不同摆长下的单摆的振动周期，实验需要精确地测量两个物理量，它们是摆长和周期。
①摆长的测量：用带毫米刻度的米尺测量摆线的长度，用游标卡尺测量摆球的直径。摆长等于摆线长度与摆球半径之和。
②周期的测量：用停表测出单摆30～50次全振动的时间t，周期为：T＝。
(2)周期公式：荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的振动，在大量可靠的实验基础上，经过一系列的理论推导和证明得到：单摆的周期和摆长l的平方根成正比，和重力加速度g的平方根成反比，而与振幅、摆球的质量无关。
惠更斯确定了单摆振动的周期公式：T＝2π。
【课堂检测】
1.一单摆做简谐振动，如图为摆绳对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，则该单摆的摆长为（重力加速度g取10m/s2）（??
）
A.?0.4m?????????????????????????????????????B.?1.6m?????????????????????????????????????C.?4m?????????????????????????????????????D.?16m
【答案】
B
【解析】ABCD．因为一个周期内两次经过平衡位置，经过平衡位置时拉力最大，可知小球的周期为0.8p
s，由
得，该单摆的摆长为
故答案为：B。
【分析】利用拉力的最大值可以求出周期的大小，结合单摆的周期公式可以求出摆长的大小。
2.用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A、B、C、D，用刻度尺测出A、B间的距离为x1；C、D间的距离为x2。已知单摆的摆长为L，重力加速度为g，则此次实验中测得的物体的加速度为（?
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由题意可知，AB段，BC段，CD段的时间相等且都等于单摆的半周期，由匀变速直线运动规律得
其中T为单摆周期，则
，联立解得
ACD不符合题意，B符合题意。
故答案为：B。
【分析】利用单摆周期公式结合匀变速的速度位移公式可以求出加速度的大
【素养作业】
1.关于单摆的运动，下列说法正确的是（　　）
A.?单摆摆动时，摆球所受的向心力大小不变???????????B.?摆球经过平衡位置时，所受回复力为零
C.?摆球振动的回复力是摆球受到的合力??????????????????D.?摆球经过平衡位置时，所受合力为零
【答案】
B
【解析】A．单摆摆动时，摆球的速度不断变化，则所受的向心力大小不断变化，A不符合题意；
B．单摆振动的回复力由重力沿切向方向的分量提供，则摆球经过平衡位置时，所受回复力为零，B符合题意；
C．摆球振动的回复力由重力沿切向方向的分量提供，不是摆球受到的合力，C不符合题意；
D．摆球经过平衡位置时，有向心加速度，则所受合力不为零，D不符合题意。
故答案为：B。
2.一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的（??
）
A.?位移增大?????????????????????????B.?速度增大
C.?回复力减小?????????????????????????D.?机械能减小
【答案】
A
【解析】A．简谐运动中，以平衡位置为位移的起点，在偏角增大的过程中，位移增大，A符合题意；
B．离平衡位置越远，速度越小，因此在偏角增大的过程中，速度减小，B不符合题意；
C．离平衡位置越远，回复力越大，因此在偏角增大的过程中，回复力增大，C不符合题意；
D．单摆做简谐运动过程中，机械能守恒，无论偏角增大还是减小，机械能保持不变，D不符合题意。
故答案为：A。
3.下列说法正确的是（??
）
A.?若把一个在平原地区走时准确的摆钟，搬到高原上去，则走时会变快
B.?物体做受迫振动时如果增大驱动力的频率，则物体做受迫振动的振幅会增大
C.?“美人鱼”在水下表演节目时，她们在水中听到的音乐与在岸上听到的频率相同
D.?两列机械波相遇时，在相遇的区域一定会出现稳定的干涉现象
【答案】
C
【解析】A．由于从平原到高原海拔变高，重力加速度变小，根据单摆的周期公式T
=
2π
，周期变大，走时变慢，A不符合题意；
B．物体做受迫振动时当驱动力的频率等于振动的固有频率时达到共振，振幅最大；该选项只说增大驱动力频率不知道固有频率情况，无法判断振幅如何变化，B不符合题意；
C．机械波的频率只与振源有关，振源频率不变，波的频率就不变，C符合题意；
D．发生稳定干涉现象的条件是频率相同，该选项并未描述两列波的频率情况，则无法判断，D不符合题意。
故答案为：C。
4.单摆摆长为L，若将摆长增加1m，则周期变为原来的1.5倍，则L为（??
）
A.?0.5m?????????????????????????????????????B.?0.8m?????????????????????????????????????C.?1m?????????????????????????????????????D.?2m
【答案】
B
【解析】当单摆摆长为
时，周期为
摆长增加
后，周期变为
两式相比解得
故答案为：B。
5.一个单摆做简谐运动的周期为
T。如果将其摆长增加为原来的
2
倍，振幅变为原来的二分之一，则其周期变为（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?2T
【答案】
C
【解析】根据
可知，单摆的周期与振幅无关，将其摆长增加为原来的
2
倍，则
故答案为：C。
6.如图所示的圆弧轨道，A为圆心，O为最低点，OB为一光滑弦轨道，OC为一段圆弧轨道，C点很靠近O点。将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点同时由静止释放，最后都到达O点。如果忽略一切阻力，那么下列说法正确的是（??
）
A.?乙球最先到达O点，甲球最后到达O点
B.?乙、丙两球同时到达O点，甲球比乙、丙两球后到达O点
C.?乙球最先到达O点，甲球最后到达O点
D.?甲球最先到达O点，乙球最后到达O点
【答案】
D
【解析】A点，AO距离为r，加速度为g，时间
B点，设∠AOB=θ，BO距离为s=2rcosθ
加速度为
时间
C点，简谐振动，周期
时间
很明显t2＞t3＞t1
知乙球最后到，甲球最先到。D符合题意，ABC不符合题意。
故答案为：D。
7.甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知（
??）
A.?甲、乙两单摆的周期之比是3:2
B.?甲、乙两单摆的摆长之比是2:3
C.?tb时刻甲、乙两摆球的速度相同
D.?ta时刻甲、乙两单摆的摆角不等
【答案】
D
【解析】A．由图像可知，甲、乙两单摆的周期之比是2:3，A不符合题意；
B．根据
，则
，则甲、乙两单摆的摆长之比是4:9，B不符合题意；
C．因乙摆摆长大，振幅小，则在最高点时离开平衡位置的高度小，则到达最低点时的速度较小，即tb时刻甲、乙两摆球的速度不相同，C不符合题意；
D．ta时刻甲、乙两单摆的位移相等，但是由于两摆的摆长不等，则摆角不等，D符合题意；
故答案为：D.
8.如图，长为l的细绳下方悬挂一小球，绳的另一端固定在天花板上O点，在O点正下方
的点O'有一固定细铁钉。
将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，当小球摆至最低位置时，细绳受到铁钉的阻挡后继续运动。
下列说法正确的是（??
）
?
A.?碰钉前后瞬间小球的加速度之比为4：1
B.?碰钉前后瞬间绳的拉力之比1：4
C.?碰钉前后小球离开平衡位置的最大距离之比2：1
D.?小球碰钉前运动时间和碰钉后离开平衡位置到最大距离所用时间之比4：1
【答案】
C
【解析】A．碰钉前后瞬间小球的速度不变，
，根据
可知加速度之比为
A不符合题意；
B．根据F-mg=ma
可得F=mg+ma
可得碰钉前后瞬间绳的拉力之比不等于1：4，B不符合题意；
C．根据机械能守恒可知，碰钉前后小球上升的最大高度相同，则
整理可得
即
由于离开平衡位置的角度很小，则
则
根据
则解得离开平衡位置的最大距离之比
C符合题意；
D．由于离开平衡位置的角度很小，则小球碰钉前后均可看做单摆，根据单摆周期公式则小球碰钉前运动时间
碰钉后离开平衡位置到最大距离所用时间
则时间之比2：1，D不符合题意。
故答案为：C。