2020-2021学年湖北省襄阳市宜城市八年级（下）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年湖北省襄阳市宜城市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A．﹣ B． C． D．
2．等式?＝成立的条件是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1
3．下列四组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41
4．一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（　　）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
5．一次数学考试，七年一班45人的分数和为a，七年二班47人的分数和为b，则这次考试两个班的平均分为（　　）
A． B．
C． D．
6．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x
7．在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB⊥BC D．AC＝BD
8．如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．15 C．30 D．60
9．已知一次函数y＝x﹣1的图象如图所示，下列正确的有（　　）个．
①点（﹣2，﹣3）在该函数的图象上；
②方程x﹣1＝0的解为x＝2；
③当x＞2时，y的取值范围是y＞0；
④该直线与直线y＝﹣4+x平行．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在?ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，BE：EC＝2：1，依据尺规作图的痕迹，则?ABCD的面积为（　　）
A．12 B．12 C．12 D．12
二、填空题（把各题的正确答案填在题后的横线上，每小题3分，共18分）
11．化简＝　 　．
12．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2＝　 　．
13．某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝36，S乙2＝30，则两组成绩的比较稳定的是　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝　 　度．
15．已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于O点，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则AB的长度为　 　cm．
16．已知一次函数y＝（2k﹣1）x+k+2的图象在范围﹣1≤x≤2内的一段都在x轴上方，则k的取值范围　 　．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整：
（1）收集数据：从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65；乙班：90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据：按如下表分数段整理、描述这两组样本数据，在表中m＝　 　，n＝　 　；
成绩、人数、班级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
甲班 1 3 3 2 1
乙班 2 1 m 2 n
（3）分析数据：
班级 平均数 中位数 众数
甲班 72 x 75
乙班 72 70 y
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如右表所示，在表中x＝　 　，y＝　 　；
②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有 　 　人．
19．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．
20．已知函数y1＝﹣x+2和y2＝2x﹣1．
（1）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（2）根据图象，写出它们的交点坐标；
（3）根据图象，试说明当x取什么值时，y1＞y2？
21．如图，平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）分别作∠ABC和∠BCD的平分线，交AD于E、F．
（2）线段AF与DE相等吗？请证明．
22．如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF∥AB，DF∥BE．
（1）求证：DF与AE互相平分．
（2）当四边形ADEF是矩形，若∠C＝90°，AC＝8，BC＝4时，求CE的长．
23．2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表：
A（吨） B（吨） 合计（吨）
C a b 240
D c x 260
总计（吨） 200 300 500
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　（用含x的代数式表示）；
（2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．
24．（1）尝试探究：
如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F．
①求证：△CDE≌△CBF；
②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°，且OA＝AB，OB＝6，OC＝5．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t＝4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m＝3.5时，请直接写出点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，在下面的每小题的四个选项中，有且只有一个符合题意，把符合题意的选项代号填在题后括号内，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A．﹣ B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分析即可．
解：A、﹣符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
B、是三次根式，故本选项不符合题意；
C、当x＜0，则它无意义，故本选项不符合题意；
D、由于﹣3＜0，则它无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．等式?＝成立的条件是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
解：∵、有意义，
∴，
∴x≥1．
故选：C．
3．下列四组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
B、42+72≠92，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
D、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意．
故选：B．
4．一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（　　）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解：在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7，
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是6，7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（6+7）÷2＝6.5．
故选：D．
5．一次数学考试，七年一班45人的分数和为a，七年二班47人的分数和为b，则这次考试两个班的平均分为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意得出两班的总成绩，再除以两班的总人数，即可得出这次考试两个班的平均分．
解：∵七年一班45人的分数和为a，七年二班47人的分数和为b，
∴两班的总成绩是a+b，
∴这次考试两个班的平均分为＝．
故选：D．
6．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x
【分析】将函数图象经过的点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0）进行计算即可．
解：将点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0），
得﹣1＝2k，
∴k＝﹣，
∴函数的表达式为y＝﹣x，
故选：D．
7．在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB⊥BC D．AC＝BD
【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
8．如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．15 C．30 D．60
【分析】观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，从而可得阴影面积等于?ABCD面积的一半；利用底×高计算出?ABCD面积，再乘以，即可得出答案．
解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，
∴S阴影＝S?ABCD，
∵BC＝10，BC边上的高为6，
∴S?ABCD＝10×6＝60，
∴S阴影＝×60＝30．
故选：C．
9．已知一次函数y＝x﹣1的图象如图所示，下列正确的有（　　）个．
①点（﹣2，﹣3）在该函数的图象上；
②方程x﹣1＝0的解为x＝2；
③当x＞2时，y的取值范围是y＞0；
④该直线与直线y＝﹣4+x平行．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①把x＝﹣2代入解析式求得函数值与﹣3比较即可判断；②由图象与x轴的交点即可判定；③根据图象即可判断；④用两直线的系数k的值来判定即可．
解：把x＝﹣2代入解析式求得y＝﹣2≠﹣3，所以①错误；
∵直线y＝x﹣1与x轴的交点为（2，0），
∴方程x﹣1＝0的解为x＝2，所以②正确；
由图象可知，当x＞2时，y＞0，所以③正确；
∵直线y＝x﹣1的一次项系数与直线y＝﹣1+x的一次项系数相等，所以直线y＝x﹣1与直线y＝﹣4+x平行，所以④正确，
故选：B．
10．如图，在?ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，BE：EC＝2：1，依据尺规作图的痕迹，则?ABCD的面积为（　　）
A．12 B．12 C．12 D．12
【分析】过点A作AH⊥BC于H，证明△ABE是等边三角形，求出BC，AH即可解决问题．
解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
由作图可知，EF垂直平分线段AB
∴EA＝EB，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∵AH⊥BE，
∴BH＝EH＝2，
∴AH＝，
∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝2，BC＝BE+EC＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC?AH＝12，
故选：C．
二、填空题（把各题的正确答案填在题后的横线上，每小题3分，共18分）
11．化简＝　20　．
【分析】首先把转化为，然后再求400的算术平方根．
解：＝＝20．
故答案为20．
12．直角三角形三边长分别为5，12，x，则x2＝　169或119　．
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分x为直角边与斜边两种情况进行讨论．
解：当x为直角边时，x2＝122﹣52＝119；
当x为斜边时，x2＝52+122＝169．
故答案为169或119．
13．某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝36，S乙2＝30，则两组成绩的比较稳定的是　乙　．
【分析】比较甲、乙两组方差的大小，根据方差越小，表明这组数据分布比较集中，即波动越小，数据越稳定解答即可．
解：∵S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝　22.5　度．
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB═OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故答案为22.5°．
15．已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于O点，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则AB的长度为　19　cm．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，结合△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB﹣BC＝8；再根据平行四边形的对边相等，结合平行四边形ABCD的周长为60cm，得AB+BC＝30，从而求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴，
两个方程相加，得AB＝19（cm）．
故答案为：19．
16．已知一次函数y＝（2k﹣1）x+k+2的图象在范围﹣1≤x≤2内的一段都在x轴上方，则k的取值范围　0＜k＜3且k≠　．
【分析】由于2k﹣1的符号不能确定，故应分2k﹣1＞0和2k﹣1＜0两种情况进行解答．
解：一次函数y＝（2k﹣1）x+k+2中，2k﹣1≠0，则k≠，
当2k﹣1＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣1得：y＝﹣2k+1+k+2，
根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2k+1+k+2＞0，
解得：k＜3．
当2k﹣1＜0时，y随x的增大而减小，由x＝2得：y＝（2k﹣1）×2+k+2，根据函数的图象在x轴的上方，
则有（2k﹣1）×2+k+2＞0，解得：k＞0，
故答案为0＜k＜3且k≠．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后再计算；
（2）分别化简二次根式，先算小括号里面的，然后再算括号外面的．
解：（1）原式＝5﹣4+2
＝3；
（2）原式＝（3+﹣2）÷4
＝2÷4
＝．
18．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整：
（1）收集数据：从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65；乙班：90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据：按如下表分数段整理、描述这两组样本数据，在表中m＝　3　，n＝　2　；
成绩、人数、班级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
甲班 1 3 3 2 1
乙班 2 1 m 2 n
（3）分析数据：
班级 平均数 中位数 众数
甲班 72 x 75
乙班 72 70 y
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如右表所示，在表中x＝　75　，y＝　70　；
②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有 　20　人．
【分析】（2）由收集的数据即可得；
（3）①根据众数和中位数的定义求解可得；
②用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得；
解：（2）由收集的数据得知m＝3、n＝2，
故答案为：3、2；
（3）①甲班成绩为：50、60、65、65、75、75、75、80、85、90，
∴甲班成绩的中位数x＝＝75，
乙班成绩70分出现次数最多，所以的众数y＝70，
故答案为：75、70；
②估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有50×＝20人；
故答案为：20．
19．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．
【分析】设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，在Rt△OBC中，利用勾股定理得：（x﹣1）2+22＝x2，解方程即可．
解：设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，BC＝2米，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，
∴（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝，
∴OA＝（米），OC＝x﹣1＝（米），
答：荷叶的高度为米，水面的深度为米．
20．已知函数y1＝﹣x+2和y2＝2x﹣1．
（1）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（2）根据图象，写出它们的交点坐标；
（3）根据图象，试说明当x取什么值时，y1＞y2？
【分析】（1）分别令x＝0求出y的值，令y＝0求出x的值，再分别描出此两点，画出函数图象即可；
（2）由两函数图象的交点可直接写出交点坐标；
（3）根据y1在y2的上方时x的取值范围即可解答．
解：（1）如图所示：
（2）由（1）中两函数图象可知，其交点坐标为（1，1）；
（3）由（1）中两函数图象可知，当x＜1时，y1＞y2．
21．如图，平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）分别作∠ABC和∠BCD的平分线，交AD于E、F．
（2）线段AF与DE相等吗？请证明．
【分析】由平行四边形ABCD的对边平行且相等、平行线的性质、角平分线的定义推知∠ABE＝∠AEB，则AE＝AB，∠DCF＝∠DFC，则DF＝DC，故AF＝DE．
解：AF与DE相等．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC．
∵AD∥BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB．
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴DF＝DC，
∴AF＝DE．
22．如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF∥AB，DF∥BE．
（1）求证：DF与AE互相平分．
（2）当四边形ADEF是矩形，若∠C＝90°，AC＝8，BC＝4时，求CE的长．
【分析】（1）通过证明四边形ADEF是平行四边形，可得DF与AE互相平分；
（2）由矩形的性质可得DE⊥AD，由线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，在Rt△BEC中，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接DE，AF，
∵EF∥AB，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DF与AE互相平分；
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴DE⊥AD，
又∵AD＝BD，
∴AE＝BE，
∵BE2＝EC2+BC2，
∴（8﹣CE）2＝EC2+16，
∴EC＝3．
23．2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表：
A（吨） B（吨） 合计（吨）
C a b 240
D c x 260
总计（吨） 200 300 500
（1）a＝　x﹣60　，b＝　300﹣x　，c＝　260﹣x　（用含x的代数式表示）；
（2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．
【分析】（1）根据“从D市运往B市的救灾物资为x吨，A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨，C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨”即可算出a、b、c；
（2）根据“从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元”即可得w与x的函数关系式；
（3）根据“D市到B市运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元”得到w、m、x之间的关系式，利用一次函数的性质分类讨论即可确定m的取值范围．
解：（1）∵D市运往B市x吨，
∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260﹣x）＝（x﹣60）吨，
故答案为：x﹣60，300﹣x，260﹣x；
（2）由题意得：
w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，
∵x＞0，x﹣60＞0，300﹣x＞0，260﹣x＞0，
∴60≤x≤260，
∴w与x之间的函数关系式为w＝10x+10200，自变量x的取值范围为60≤x≤260；
（3）由题意可得，
w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，
当10﹣m＞0时，即0＜m＜10，
x＝60时，w最小，此时w＝（10﹣m）×60+10200≥10320，
解得0＜m≤8，
当10﹣m＜0时，即m＞10，
x＝260时，w取得最小值，此时w＝（10﹣m）×260+10200≥10320，
解得m≤，
∵＜10，
∴m＞10不符合题意，
∴m的取值范围是0＜m≤8．
24．（1）尝试探究：
如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F．
①求证：△CDE≌△CBF；
②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长．
【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，再证明∠DCE＝∠BCF即可解决问题．
（2）证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题．
（3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM＝FM，CE＝CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，理由勾股定理构建方程即可解决问题．
解：（1）如图1中，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠DCB＝∠ECF＝90°
∴∠DCE＝∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（ASA）．
（2）结论：PE＝PF．
理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF，
∴CE＝CF，
∵PC＝PC，∠PCE＝∠PCF，
∴△PCE≌△PCF（SAS），
∴PE＝PF．
（3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，∠EDH＝45°，
∵EH⊥AD，
∴∠DEH＝∠A＝90°，
∴EH∥AF，DE＝EH＝2，
∵△CDE≌△CBF，
∴DE＝BF＝2，
∴EH＝BF，
∵∠EHM＝∠MBF，∠EMH＝∠FMB，
∴△EMH≌△FMB（AAS），
∵EM＝FM，
∵CE＝CF，
∴PC垂直平分线段EF，
∴PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，
在Rt△APE中，则有（x+2）2＝42+（6﹣x）2，
∴x＝3，
∴PB＝3．
25．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°，且OA＝AB，OB＝6，OC＝5．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t＝4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m＝3.5时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）作AD垂直x轴，构造直角三角形，求点A横纵坐标．
（2）作CE垂直x轴，当t＝4，先求出C点坐标，将m分成PQ，PR进行求解．
（3）首先分段讨论，借助三角形相似，求得m关于t的关系式，再将m＝3.5代入求解．
解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，
，
∵OB＝6，点B在x轴的正半轴上，
∴B点（6，0），
∵∠OAB＝90°，且OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴DO＝DA＝DB＝3，
∴A点坐标（3，3），
（2）作CE⊥x轴于E，作AD⊥x轴于D，如图，
，
∵当t＝4时，直线经过点C，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5．OE＝4，
∴CE＝＝3，
当0＜t＜3时，P点在线段OD（不含端点）上运动，OP＝t，
在Rt△OPQ中，∠POQ＝45°，
∴PQ＝QP＝t，
在Rt△OCE中，tan∠COE＝＝，
在Rt△OPQ中，tan∠COE＝＝，OP＝t，
∴PR＝t，
∴当0＜t＜3时，m＝t+＝，
（3）①当0＜t＜3时，m＝t+＝，
②当3≤t≤4时，作CE⊥x轴于E，作AD⊥x轴于D，如图，
，
在Rt△BPQ中，∠PBQ＝45°，PB＝6﹣t，
∴PQ＝6﹣t，
∵PR＝t，
∴m＝6﹣t+t＝6﹣，
③当4＜t＜6时，作CE⊥x轴于E，作AD⊥x轴于D，如图，
，
在Rt△BCE中，tan∠CBE＝＝，
在Rt△BPR中，tan∠CBE＝＝，BP＝6﹣t，
∴PR＝，
∴m＝6﹣t+＝，
当m＝3.5时，
代入①得，＝3.5，解得t＝2，满足0＜t＜3，P点（2，0），
代入②得，6﹣＝3.5，解得t＝10，不满足3≤t≤4，舍去，
代入③得，＝3.5，解得t＝4.6，满足4＜t＜6，P点（4.6，0）．