2020-2021学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．数轴上任意一点所表示的数一定是（　　）
A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数
2．下列说法错误的是（　　）
A．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
3．下列说法不正确的是（　　）
A．9的平方根是±3 B．0的平方根是0
C．＝±15 D．﹣8的立方根是﹣2
4．在平面直角坐标系xOy中，点A与点B（2，3）关于x轴对称，那么点A的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
5．下列条件不能确定两个三角形全等的是（　　）
A．三条边对应相等
B．两条边及其中一边所对的角对应相等
C．两边及其夹角对应相等
D．两个角及其中一角所对的边对应相等
6．如图，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE和BD，AC与BD相交于点F，AE与DC相交于点G，下列说法不一定正确的是（　　）
A．BD＝AE B．AF＝FD C．EG＝FD D．FC＝GC
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．计算：20＝　 　．
8．比较大小：3　 　5．
9．点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为1，那么A、B两点间的距离为 　 　．
10．利用计算器计算：﹣＝　 　（保留两位有效数字）．
11．计算：＝　 　．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，n）在第四象限，点B（m，1）在第二象限，那么点C（m，n）在第 　 　象限．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3）向左移动3个单位后得到点B，那么点B的坐标是 　 　．
14．已知等腰三角形的两边长分别为1和2，那么这个三角形的周长为 　 　．
15．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　 　．
16．如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP＝30°，那么∠EFP的度数为 　 　．
17．如图，已知∠B＝∠C，从下列条件中选择一个，则可以证明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么这个条件可以是 　 　（写出所有符合条件的序号）．
18．点A位于点B的北偏东方向15°，若将点B以点A为旋转中心旋转90°落在点C处，则点A在点C的 　 　方向．
三、解答题（本大题共8题，满分64分）
19．计算：（）÷．
20．计算：（+2）2﹣（﹣2）2．
21．计算：．
22．已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．
23．如图，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（ 　 　），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（ 　 　）．
所以AB∥CD（ 　 　）．
24．如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
25．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
26．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（0，3），点C（3，0）．
（1）△ABC的面积为 　 　；
（2）已知点D（1，﹣2），E（﹣2，﹣3），那么四边形ACDE的面积为 　 　．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
△ABC 6 11
四边形ACDE 8 11
五边形ABCDE 20 8
根据上述的例子，猜测皮克公式为S＝　 　（用m，n表示），试计算图②中六边形FGHIJK的面积为 　 　（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）试说明点D为BC的中点；
（2）如果∠BAC＝60°，将线段AD绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结CE、AE，试说明CE∥AB；
（3）如果∠BAC的度数为n，将线段AD绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段FC，FC∥AB，求直线DF与直线BC的夹角的度数（用含n的代数式表示）．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．数轴上任意一点所表示的数一定是（　　）
A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数
解：∵实数与数轴上的点是一一对应的，
∴数轴上任意一点所表示的数一定是实数．
故选：D．
2．下列说法错误的是（　　）
A．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
解：C项中应只有平行直线被第三条直线所载，同位角才相等，A、B、D项正确．
故选：C．
3．下列说法不正确的是（　　）
A．9的平方根是±3 B．0的平方根是0
C．＝±15 D．﹣8的立方根是﹣2
解：A、9的平方根是±3，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、＝15，即225的算术平方根是15，原说法错误，故此选项符合题意；
D、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．在平面直角坐标系xOy中，点A与点B（2，3）关于x轴对称，那么点A的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
解：∵点A与点B（2，3）关于x轴对称，
∴点A的坐标为（2，﹣3）．
故选：D．
5．下列条件不能确定两个三角形全等的是（　　）
A．三条边对应相等
B．两条边及其中一边所对的角对应相等
C．两边及其夹角对应相等
D．两个角及其中一角所对的边对应相等
解：A、根据“全等三角形的判定定理SSS”可以证得三条边对应相等的两个三角形全等．故本选项不符合题意；
B、根据SSA不可以证得两个三角形全等．故本选项符合题意；
C、根据“全等三角形的判定定理SAS”可以证得两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．故本选项不符合题意；
D、根据“全等三角形的判定定理AAS”可以证得两个角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等．故本选项不符合题意；
故选：B．
6．如图，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE和BD，AC与BD相交于点F，AE与DC相交于点G，下列说法不一定正确的是（　　）
A．BD＝AE B．AF＝FD C．EG＝FD D．FC＝GC
解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE，故选项A不合题意，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，
在△BCF和△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CF＝GC，故选项D不合题意；
在△CEG和△CDF中，
，
∴△CEG≌△CDF（SAS），
∴EG＝FD，故选项C不合题意，
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．计算：20＝　1　．
解：∵2≠0，
∴20＝1．
故答案为：1．
8．比较大小：3　＜　5．
解：∵（3）2＝45，（5）2＝75，
∴3＜5．
故填空答案：＜．
9．点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为1，那么A、B两点间的距离为 　﹣1　．
解：如图，
∵A表示的数为，点B表示的数为1，
∴OA＝，OB＝1．
∴AB＝OA﹣OB＝．
故答案为：．
10．利用计算器计算：﹣＝　0.56　（保留两位有效数字）．
解：＝2，≈1.442，
原式＝2﹣1.442＝0.558≈0.56，
故答案为0.56．
11．计算：＝　10　．
解：＝＝＝10．
故答案为：10．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，n）在第四象限，点B（m，1）在第二象限，那么点C（m，n）在第 　三　象限．
解：∵点A（2，n）在第四象限，
∴n＜0；
∵点B（m，1）在第二象限，
∴m＜0，
∴点C（m，n）在第三象限．
故答案为：三．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3）向左移动3个单位后得到点B，那么点B的坐标是 　（1，3）　．
解：将点A（4，3）向左平移3个单位得到点B（4﹣3，3）
即（1，3），
故答案为：（1，3）．
14．已知等腰三角形的两边长分别为1和2，那么这个三角形的周长为 　5　．
解：∵1+1＝2，
∴腰的长不能为1，只能为2，
∴等腰三角形的周长＝2×2+1＝5，
故答案为：5．
15．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　等边三角形　．
解：（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC．
又∵AB＝AC，
AB＝AC＝BC．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
（法二）在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
16．如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP＝30°，那么∠EFP的度数为 　30°　．
解：∵EP⊥EF，
∴∠FEP＝90°．
∴∠FEB＝∠FEP+∠BEP＝120°．
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°．
又∵PF平分∠EFD，
∴∠EFP＝．
故答案为：30°．
17．如图，已知∠B＝∠C，从下列条件中选择一个，则可以证明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么这个条件可以是 　①或②或③　（写出所有符合条件的序号）．
解：选择①和②可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），选择③可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴BE＝CD，
∴△OEB≌△ODC（AAS）
选择④没有已知的边，不能得到△OEB≌△ODC，
故答案为：①或②或③．
18．点A位于点B的北偏东方向15°，若将点B以点A为旋转中心旋转90°落在点C处，则点A在点C的 　北偏西75或南偏东75°　方向．
解：①若将点B以点A为旋转中心顺时针旋转90°落在点C处，则点A在点C的南偏东90°﹣15°＝75°方向上，
②若将点B以点A为旋转中心逆时针旋转90°落在点C处，则点A在点C的北偏西90°﹣15°＝75°方向上，
综上所述，点A在点C的北偏西75或南偏东75°方向，
故答案为：北偏西75或南偏东75°．
三、解答题（本大题共8题，满分64分）
19．计算：（）÷．
解：原式＝（2+）÷
＝÷
＝．
20．计算：（+2）2﹣（﹣2）2．
解：原式＝3+4+4﹣（3+4﹣4）
＝7+4﹣7+4
＝8．
21．计算：．
解：原式＝﹣2+2++2
＝2+2．
22．已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．
解：∵等腰△ABC中AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠C＝2∠A，
设∠A＝x°，
则∠B＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180，
解得：x＝36，
∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．
23．如图，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（ 　邻补角的意义　），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（ 　等量代换　）．
所以AB∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　）．
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（邻补角的意义），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（等量代换）．
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的意义；等量代换，同位角相等，两直线平行．
24．如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF．
25．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
26．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（0，3），点C（3，0）．
（1）△ABC的面积为 　10.5　；
（2）已知点D（1，﹣2），E（﹣2，﹣3），那么四边形ACDE的面积为 　12.5　．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
△ABC 6 11
四边形ACDE 8 11
五边形ABCDE 20 8
根据上述的例子，猜测皮克公式为S＝　m+﹣1　（用m，n表示），试计算图②中六边形FGHIJK的面积为 　30　（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
解：（1）根据题意可知：
△ABC的底7，高为3，
所以△ABC的面积为：0.5×7×3＝10.5．
故答案为：10.5；
（2）四边形ABCD的面积为：0.5×2×3+3×2+0.5×3×1+0.5×2×2＝3+6+1.5+2＝12.5．
故答案为：12.5；
（3）根据题意可知：皮克公式为S＝m+﹣1，六边形FGHIJK的形内格点数m＝27，边界格点数n＝8，
所以六边形FGHIJK的面积为27+4﹣1＝30．
故答案为：m+﹣1，30．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）试说明点D为BC的中点；
（2）如果∠BAC＝60°，将线段AD绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结CE、AE，试说明CE∥AB；
（3）如果∠BAC的度数为n，将线段AD绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段FC，FC∥AB，求直线DF与直线BC的夹角的度数（用含n的代数式表示）．
解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D为BC的中点；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝30°，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠DAE﹣∠CAD＝30°，
即∠CAE＝30°，
∴∠CAD＝∠CAE，
在△ACD与△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴∠ACD＝∠ACE，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD+∠ACE＝120°，
即∠DCE＝120°，
∴∠B+∠DCE＝180°，
∴CE∥AB；
（3）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝n，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣n，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC，
当∠BAC的度数为n，n有三种可能情况：n＜90°，n＞90°，n＝90°，
（Ⅰ）当n＜90°时，延长AB、FD交于点G，
∵FC∥AB，
∴∠CBG＝∠BCF，∠ABC+∠BCF＝180°，
∴∠BCF＝90°+n，
∴∠CBG＝90°+n，
在△BDG与△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴DG＝DF，∠G＝∠F，
∵AD＝DF，
∴DG＝AD，
∴∠BAD＝∠G，
∴∠G＝n，
∵∠BAC＝∠G+∠BDG，
∴∠BDG＝90°﹣n﹣n，
∴∠BDG＝90°﹣n，
∵∠CDF＝∠BDG，
∴∠CDF＝90°﹣n，
∴直线DF与直线BC的夹角的度数是90°﹣n；
（Ⅱ）当n＞90°时，
延长FD交AB于点G，
∵FC∥AB，
∴∠CBG＝∠BCF，
在△BDG与△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴DG＝DF，∠B＝∠DCF，
∵AD＝DF，
∴DG＝AD，
∴∠DAG＝∠AGD，
∴∠AGD＝n，
∵∠AGD＝∠B+∠BDG，
∴∠BDG＝n﹣90°+n，
∴∠BDG＝n﹣90°，
∵∠CDF＝∠BDG，
∴∠CDF＝90°﹣n，
∴直线DF与直线BC的夹角的度数是n﹣90°；
（Ⅲ）当n＝90°时，
∵n＝90°，
∴∠ACD＝45°，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AD＝DF，
∴CD＝DF，
∴点C与点F重合，
∴∠CDF＝0°，
∴不符合题意，舍去，
∴直线DF与直线BC的夹角的度数是90°﹣n或n﹣90°．