第二章：一元二次方程的解法 复习讲义 2021--2022学年北师大版九年级数学上册（word版无答案）

教学内容 一元二次方程
教学目标 掌握一元二次方程的解法
教学重点 一元二次方程的解法
教学难点 灵活应用解法及根的判别式
一元二次方程的解法 知识点回顾：
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
解方程的常用方法
方法一、直接开平方法
一般地,对于形如x2=d(d≥0)的方程，根据平方根的定义,可解得 这种方法叫做开平方法。
例1：用开平方法解方程 9x2=4
例2：用开平方法解方程 3x2=-4
练习1、(1)x2=0.25； (2)2x2=18；　 (3)(x+1)2=1
练习2、用开平方法解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(x＋1)2=4
(3)(2x－3)2=7
方法二、配方法
例1：(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2
(2)x2－3x＋ =(x－ )2
(3)x2－12x＋ =(x－ )2
例2. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0
例3. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0
总结：配一次项系数一半的平方，右边为一个非负常数
五步法：
1、化1：二次项系数化为1
2、移项:把常数项移到方程的右边;
3、配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
4、开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
5、求解:解一元一次方程。
练习1：用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3) －x2＋4x－3=0
2.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
（A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14
（C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对
3.用配方法解下列方程，配方有错的是（ ）
（A）x2-2x-99=0 化为?(x-1)2=100
（B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16
（C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25
（D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/9
4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
5、解下列方程:
(1)、x2 +12x+25=0 (2)、x2 +4x=10 (3)、3x2 -6x=11 (4)、-3x2+22x-24=0
方法三：公式法
例1：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
例2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
例2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例3、解方程：x2-5x+12=0
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根；
练习1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ; 4). 4x2+4x+10 =1-8x ；
5). x2－6x＋1＝0 ； 6). 2x2－x＝6 ； 7). 4x2- 3x - 1=x - 2；
8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1); 9). 9x2+6x+1 =0 ； 10). 16x2+8x=3 ；
方法四：十字相乘法
例1：解下列一元二次方程：（x－5) (3x－2)=10
例2:解下列方程 x2-3x-10=0
例3、用十字相乘法解方程2 x2+13x -7= 0
练习1、解答题(用因式分解法解下列方程)
11．3x(x－2)=2(x－2)． 12．
13．x2－3x－28=0． 14．x2－bx－2b2=0．
15．(2x－1)2－2(2x－1)=3． 16．2x2－x－15=0．
课堂学习
一、填空题(写出下列一元二次方程的根)
1．3(x－1)2－1=0．__________________ 2．(2x＋1)2－2(2x＋1)=3．__________________
3．3x2－5x＋2=0．__________________ 4．x2－4x－6=0．__________________
二、选择题
5．方程x2－4x＋4=0的根是( )．
A．x=2 B．x1=x2=2 C．x=4 D．x1=x2=4
6．的根是( )．
A．x=3 B．x=±3 C．x=±9 D．
7．的根是( )．
A． B． C．x1=0， D．
8．(x－1)2=x－1的根是( )．
A．x=2 B．x=0或x=1 C．x=1 D．x=1或x=2
三、用适当方法解下列方程
9．6x2－x－2=0． 10．(x＋3)(x－3)=3．
11．x2－2mx＋m2－n2=0． 12．2a2x2－5ax＋2=0．(a≠0)
四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中)
13．5x2=x．(最佳方法：______ ) 14．x2－2x=224．(最佳方法：______ )
15．6x2－2x－3=0．(最佳方法：______) 16．6－2x2=0．(最佳方法：______)
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______) 18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用
一、填空题
20．若分式的值是0，则x=______．
21．关于x的方程x2＋2ax＋a2－b2=0的根是____________．
二、选择题
22．方程3x2=0和方程5x2=6x的根( )．
A．都是x=0 B．有一个相同，x=0 C．都不相同 D．以上都不正确
23．关于x的方程abx2－(a2＋b2)x＋ab=0(ab≠0)的根是( )．
A． B．
C． D．以上都不正确
三、解下列方程
24．(x＋1)2＋(x＋2)2=(x＋3)2． 25．(y－5)(y＋3)＋(y－2)(y＋4)=26．
26． 27．kx2－(k＋1)x＋1=0．
四、解答题
28．已知：x2＋3xy－4y2=0(y≠0)，求的值．
29（尖子班做）．已知：关于x的方程2x2＋2(a－c)x＋(a－b)2＋(b－c)2=0有两相等实数根．
求证：a＋c=2b．(a，b，c是实数)
根的判别式练习
一、填空题
1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式为=b2－4ac，
(1)当b2－4ac______0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当b2－4ac______0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当b2－4ac______0时，方程没有实数根．
2．若关于x的方程x2－2x－m=0有两个相等的实数根，则m=______．
3．若关于x的方程x2－2x－k＋1=0有两个实数根，则k______．
4．若方程(x－m)2=m＋m2的根的判别式的值为0，则m=______．
二、选择题
5．方程x2－3x=4根的判别式的值是( )．
A．－7 B．25 C．±5 D．5
6．一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )．
A．正数 B．负数 C．非负数 D．零
7．下列方程中有两个相等实数根的是( )．
A．7x2－x－1=0 B．9x2=4(3x－1) C．x2＋7x＋15=0 D．
8．方程有( )．
A．有两个不等实根 B．有两个相等的有理根
C．无实根 D．有两个相等的无理根
三、解答题
9．k为何值时，方程kx2－6x＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．
10．若方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，求正整数a的值．
11．求证：不论m取任何实数，方程都有两个不相等的实根．
综合运用
一、选择题
12．方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式是( )．
A． B． C．b2－4ac D．abc
13．若关于x的方程(x＋1)2=1－k没有实根，则k的取值范围是( )．
A．k＜1 B．k＜－1 C．k≥1 D．k＞1
14．若关于x的方程3kx2＋12x＋k＋1=0有两个相等的实根，则k的值为( )．
A．－4 B．3 C．－4或3 D．或
15．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3=0有两个不等的实根，则m的取值范围是( )．
A． B．且m≠1 C．且m≠1 D．
16．如果关于x的二次方程a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数a，b，c 为边长的三角形是( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程mx2＋mx＋5=m有相等的两实根，求方程的解．
18．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根．
19．如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值．
20．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m一定有两个不相等的实根．
拓广探究
21．若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋d=0中至少有一个方程有实数根．
22．已知关于x的一元二次方程mx2－(m2＋2)x＋2m=0．
(1)求证：当m取非零实数时，此方程有两个实数根；
(2)若此方程有两个整数根，求m的值．
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