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第3章
不等式
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据不等式的性质判断．
【详解】
，即
故选：B．
2．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】
由题意得：不等式的解为或，
根据充分、必要条件的定义可得“或”是“”必要不充分条件.
故选：B
3．已知正实数a，b满足a+4b-ab=0，则a+b的最小值为（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求得最值.
【详解】
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故选：C.
4．已知不等式的解集为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由判别式小于0得出的取值范围
【详解】
由解得
故选：B
5．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（
）
A．10
B．12
C．16
D．9
【答案】D
【分析】
利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.
【详解】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（
）
A．大于
B．小于
C．大于等于
D．小于等于
【答案】A
【分析】
设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
7．已知且，若对任意的均有，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分析可知，不可能同时为负，至少有一个为正，然后分①，，②，，③，讨论得答案．
【详解】
，
，
若使对任意的均有，则，
，不可能同时为负，至少有一个为正，
①若，，显然成立；
②若，，则，此时要使在，上恒成立，则必有，则，矛盾；
③若，，则，此时要使在，上恒成立，则必有，则，符合题意；
综上，．
故选：．
8．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
使不等式有解，只需满足大于的最小值即可，将条件转化，乘以1，即，利用基本不等式求得最小值，从而解出m的范围.
【详解】
由知，
，
当且仅当时，等号成立，
则使不等式有解，只需满足即可，
解得
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】
举反例可判断选项A、C不正确，由不等式的性质可判断选项B、D正确，即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：举反例：，，，满足，但，
故选项A
不正确；
对于选项B：因为，则，所以
，故选项B正确；
对于选项C：因为，，，满足，但，故选项C不正确；
对于选项D：因为，所以，因为，所以，故选项D正确，
故选：BD.
10．已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则a+b的值可以是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】BC
【分析】
利用基本不等式构造关于的一元二次不等式，即可求解.
【详解】
解：（当且仅当时，取等号），
即，解得：，又a+b=2时，ab=0，不合题意，
故选：BC
11．若不等式的解集是的子集，则实数的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
分与两种情况讨论，结合已知条件得出关于的不等式（组），求出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】
当时，不等式即为，解得，不合乎题意；
当时，由于不等式的解集是的子集，
则，解方程，即，解得，.
由题意可得，解得.
因此，AD选项合乎题意，BC选项不合乎题意.
故选：AD.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于以下三点：
（1）要对实数分与两种情况讨论；
（2）根据不等式的解集为的子集推出；
（3）方程有根，且根均为集合的元素.
12．记，已知，则（
）
A．的最大值为18
B．的最大值为12
C．的最小值为
D．的最小值为8
【答案】ACD
【分析】
根据已知条件：结合基本不等式有，应用换元思想可求的最大值，进而由知的最值情况；又，即得可求其最小值，而可确定最小值，进而判断各项的正误.
【详解】
由题意，，当且仅当时等号成立，令，则，解得，即有，故A正确；而，故B错误；
由知：当且仅当时等号成立，故C正确；
，所以当时，其有最小值为8，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：由已知参数的等量关系，利用基本不等式、一元二次不等式、的性质，结合换元法及等量代换的应用，求代数式的最值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.
【答案】1，1（答案不唯一）
【分析】
若是假命题，可推出，故只需列举出满足条件的两个正整数即可．
【详解】
若是假命题，则，
又，，都是正数，，
，，
故当时，是假命题，
故答案为：1，1（答案不唯一）．
14．若不等式的解集是∪，则不等的解集是_____
【答案】[-2，3]
【分析】
根据函数与方程的思想可知，和是方程的两个实数根，再根据根与系数的关系即可求出，从而解出不等式．
【详解】
因为不等式的解集是∪，所以和是方程的两个实数根，由，解得：a=-12，c=2，
故不等式cx2-2x+a≤0，即2x2-2x-12≤0，即x2-x-6≤0，解得-2≤x≤3，
所以所求不等式的解集是[-2，3]．
故答案为：[-2，3]．
15．设，，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】
由已知条件可得利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，，所以，
因为，
所以
，
当且仅当即或时等号成立，最小值为.
故答案为：
16．已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
首先求出命题为真时的的范围，然后根据必要不充分条件确定参数的范围．
【详解】
命题：，
命题，，
当时，，当时，，
命题是命题的必要不充分条件，即，但不能推出，
不合题意，时，，解得，
故答案为：．
【点睛】
思路点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，解题时首先求出命题为真时变量的范围，然后根据必要不充分条件的定义得出参数的关系．也可根据充分必要条件与集合包含之间的关系求解．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）实数满足，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）直接利用不等式的性质即可求得，的取值范围；
（2）设，求解，的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得的取值范围．
【详解】
（1）由，，
两式相加得，，则，
由，
得，
又，
两式相加得，，即；
（2）设，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
则．
18．（12分）已知关于的方程有两个不等的实根，．
（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数的取值范围；
（2），，求参数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）令，等价于；
（2）由即可求出.
【详解】
令，
（1）两根一个根大于1，一个根小于1，等价于，
则，解得；
（2）若，，
则，即，即，解得.
19．（12分）已知正数、满足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）9；（2）16．
【分析】
（1）由题意，根据即可求出最值；
（2）因为且、为正数，可得，，则，再用基本不等式即可求出答案．
【详解】
解：（1）因为，所以，
又因为、是正数，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为；
（2）因为且、为正数，
所以，，所以，，
则，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为．
20．（12分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【分析】
（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
21．（12分）已知关于的不等式的解集是或
（1）求不等式的解集；
（2）已知，实数满足，若是的必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）依题意且与为方程的两根，即可得到的关系，则原不等式等价于，即，根据，即可得解；
（2）首先求出命题，由是的必要条件，即时，恒成立，参变分离，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）因为关于的不等式的解集是或，
所以且与为方程的两根，所以，所以
所以，等价于，即，因为，所以原不等式的解集为
（2）由（1）知，，即，解得，即，记；
因为是的必要条件，即时，恒成立，所以在恒成立，因为在上单调递增，所以，所以；
22．（12分）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”．
（1）对于，试求的“下位序对”；
（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系.
【答案】（1）（2）
【分析】
(1)
根据新定义，代入计算判断即可；
(2）根据新定义得到ad
<
bc，再利用不等式的性质，即可判断.
【详解】
（1），
的“下位序对”是.
（2）是的“下位序对”,
,
均为正数,
,即，
，
同理可得，
综上所述，
【点睛】
关键点点睛：对于本题关键理解，如果，那么称是的“下位序对”这一新定义，理解此定义后，利用不等式性质求解即可.
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第3章
不等式
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知正实数a，b满足a+4b-ab=0，则a+b的最小值为（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
4．已知不等式的解集为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（
）
A．10
B．12
C．16
D．9
6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（
）
A．大于
B．小于
C．大于等于
D．小于等于
7．已知且，若对任意的均有，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则a+b的值可以是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
11．若不等式的解集是的子集，则实数的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
12．记，已知，则（
）
A．的最大值为18
B．的最大值为12
C．的最小值为
D．的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.
14．若不等式的解集是∪，则不等的解集是_____
15．设，，，则的最小值为______．
16．已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）实数满足，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
18．（12分）已知关于的方程有两个不等的实根，．
（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数的取值范围；
（2），，求参数的取值范围．
19．（12分）已知正数、满足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
20．（12分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
21．（12分）已知关于的不等式的解集是或
（1）求不等式的解集；
（2）已知，实数满足，若是的必要条件，求的取值范围．
22．（12分）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”．
（1）对于，试求的“下位序对”；
（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系.
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