吉林省长春市九台区2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 吉林省长春市九台区2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 784.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-30 20:08:13 | ||
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文档简介
长春市九台区2020-2021学年高二下学期期末考试
数学文科试题
第Ⅰ卷（共 60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，复数z满足，则z为（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，已知，则的公差（ ）
A． B．3 C．2 D．1
3．设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，公比，且，则等于（ ）
A．16 B．32 C．-16 D．-32
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．观察下列各式，，，，，，…，则（ ）
A．47 B．76 C．121 D．123
7．等差数列前项和为，若，则的值为（ ）
A．2 B．2020 C．2021 D．2022
8．已知某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x万元 4 2 3 5
销售额y万元 49 26 38 55
根据上表可得线性回归方程中的为9.8，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元 B．65.5万元 C．64.5万元 D．66.5万元
9．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
11．已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项，设，则数列的前2020项和为（ ）
A． B． C． D．
12．若，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共 90分）
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．化简求值：_______.
14．在等比数列中，，，则数列的前4项和______．
15．函数的极小值是____________.
16．在中，若，且，则的形状为___________.
三、解答题：共70分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）求函数单调递增区间.
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
（12分）
某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了50名市民，得到数据如下表：
喜欢 不喜欢 合计
大于40岁 20 5 25
20岁至40岁 10 15 25
合计 30 20 50
(1)判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（保留小数点后3位）
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人作进一步调查，将这3位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）
（12分）
已知椭圆的长轴长为，且经过点.
（1）求C的方程；
（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.
21．（12分）
已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若曲线都在直线的上方，求正实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22.23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）
已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点为直线上的动点，点是曲线上的动点，求的最小值．
23．（选修4-5：不等式选讲）（10分）
已知().
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
长春市九台区2020-2021学年高二下学期期末考试
数学文科试题答案
选择题
1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11．D 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．等边三角形
三、解答题
17.解：
（1）因为，
所以
所以的值域为；
（2）由，得
，
所以单调递增区间为
18．【详解】（1），为的中点，故，平面平面，
平面平面，故平面.
（2），，故，.
故.
19．解：（1）由已知得 7.879
有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.
（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人中“大于40岁”的市民2人设为，，1位“20岁至40岁”的市民设为，抽取2人基本事件共有，，三个，恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民包括基本事件2个，概率．
20．【详解】（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，
将代入椭圆方程得：，解得，
故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得.
设A，B的坐标分别为，
则，
且，
因为直线，斜率互为相反数，即，
所以，则，
即，
即，
所以，化简得，
所以直线的方程为，
故直线过定点
21．解：（1）函数的定义域是，
故曲线在点处的切线方程是：，即，
又在点处的切线方程为，故；
（2）由于
①若，对于恒成立，即在递增，故函数的递增区间是；
②若，当时，递减，时，递增，故在递减，在递增.
（3）时，直线即，令
,
且,
当时，在递减，
当时，在递增，
故时，取得最小值，
曲线都在直线的上方，
，故，，
故的范围是.
22【详解】（1）由得，，即，
故曲线的普通方程是．
由及公式，得，
故直线的直角坐标方程是；
（2）直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设，
点到直线距离为，（其中），
当时，，
所以．
23．【详解】
（1）时，，
当时，不等式变为，解得，
当时，不等式变为，不等式无解，
当时，不等式变为，解得，
综上得或，
所以原不等式的解集为；
（2）因，当且仅当时等号成立，
于是得，由题意知，
解得或，从而有或.
所以的取值范围为
数学文科试题
第Ⅰ卷（共 60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，复数z满足，则z为（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，已知，则的公差（ ）
A． B．3 C．2 D．1
3．设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，公比，且，则等于（ ）
A．16 B．32 C．-16 D．-32
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．观察下列各式，，，，，，…，则（ ）
A．47 B．76 C．121 D．123
7．等差数列前项和为，若，则的值为（ ）
A．2 B．2020 C．2021 D．2022
8．已知某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x万元 4 2 3 5
销售额y万元 49 26 38 55
根据上表可得线性回归方程中的为9.8，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元 B．65.5万元 C．64.5万元 D．66.5万元
9．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
11．已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项，设，则数列的前2020项和为（ ）
A． B． C． D．
12．若，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共 90分）
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．化简求值：_______.
14．在等比数列中，，，则数列的前4项和______．
15．函数的极小值是____________.
16．在中，若，且，则的形状为___________.
三、解答题：共70分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）求函数单调递增区间.
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
（12分）
某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了50名市民，得到数据如下表：
喜欢 不喜欢 合计
大于40岁 20 5 25
20岁至40岁 10 15 25
合计 30 20 50
(1)判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（保留小数点后3位）
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人作进一步调查，将这3位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）
（12分）
已知椭圆的长轴长为，且经过点.
（1）求C的方程；
（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.
21．（12分）
已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若曲线都在直线的上方，求正实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22.23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）
已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点为直线上的动点，点是曲线上的动点，求的最小值．
23．（选修4-5：不等式选讲）（10分）
已知().
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
长春市九台区2020-2021学年高二下学期期末考试
数学文科试题答案
选择题
1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11．D 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．等边三角形
三、解答题
17.解：
（1）因为，
所以
所以的值域为；
（2）由，得
，
所以单调递增区间为
18．【详解】（1），为的中点，故，平面平面，
平面平面，故平面.
（2），，故，.
故.
19．解：（1）由已知得 7.879
有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.
（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人中“大于40岁”的市民2人设为，，1位“20岁至40岁”的市民设为，抽取2人基本事件共有，，三个，恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民包括基本事件2个，概率．
20．【详解】（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，
将代入椭圆方程得：，解得，
故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得.
设A，B的坐标分别为，
则，
且，
因为直线，斜率互为相反数，即，
所以，则，
即，
即，
所以，化简得，
所以直线的方程为，
故直线过定点
21．解：（1）函数的定义域是，
故曲线在点处的切线方程是：，即，
又在点处的切线方程为，故；
（2）由于
①若，对于恒成立，即在递增，故函数的递增区间是；
②若，当时，递减，时，递增，故在递减，在递增.
（3）时，直线即，令
,
且,
当时，在递减，
当时，在递增，
故时，取得最小值，
曲线都在直线的上方，
，故，，
故的范围是.
22【详解】（1）由得，，即，
故曲线的普通方程是．
由及公式，得，
故直线的直角坐标方程是；
（2）直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设，
点到直线距离为，（其中），
当时，，
所以．
23．【详解】
（1）时，，
当时，不等式变为，解得，
当时，不等式变为，不等式无解，
当时，不等式变为，解得，
综上得或，
所以原不等式的解集为；
（2）因，当且仅当时等号成立，
于是得，由题意知，
解得或，从而有或.
所以的取值范围为
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