长春市九台区2020-2021学年高二下学期期末考试
数学文科试题
第Ⅰ卷(共 60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位,复数z满足,则z为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中,已知,则的公差( )
A. B.3 C.2 D.1
3.设是第三象限角,为其终边上的一点,且,则( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中,公比,且,则等于( )
A.16 B.32 C.-16 D.-32
5.已知,且,则( )
A. B. C. D.
6.观察下列各式,,,,,,…,则( )
A.47 B.76 C.121 D.123
7.等差数列前项和为,若,则的值为( )
A.2 B.2020 C.2021 D.2022
8.已知某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x万元 4 2 3 5
销售额y万元 49 26 38 55
根据上表可得线性回归方程中的为9.8,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元 B.65.5万元 C.64.5万元 D.66.5万元
9.若函数在上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数.给出下列结论:
①的最小正周期为;
②是的最大值;
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
11.已知等差数列中,,公差大于0,且是与的等比中项,设,则数列的前2020项和为( )
A. B. C. D.
12.若,不等式恒成立,则的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共 90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.化简求值:_______.
14.在等比数列中,,,则数列的前4项和______.
15.函数的极小值是____________.
16.在中,若,且,则的形状为___________.
三、解答题:共70分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分
17.(12分)
已知函数.
(1)求函数的值域;
(2)求函数单调递增区间.
18.(12分)
如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,,,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求四棱锥的体积.
(12分)
某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了50名市民,得到数据如下表:
喜欢 不喜欢 合计
大于40岁 20 5 25
20岁至40岁 10 15 25
合计 30 20 50
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?(保留小数点后3位)
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人作进一步调查,将这3位市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率.
下面的临界值表供参考:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式:,其中)
(12分)
已知椭圆的长轴长为,且经过点.
(1)求C的方程;
(2)过点斜率互为相反数的两条直线,分别交椭圆C于A,B两点(A,B在x轴同一侧).求证:直线过定点,并求定点的坐标.
21.(12分)
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求a的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若曲线都在直线的上方,求正实数a的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22.23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(选修4-4:坐标系与参数方程)(10分)
已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)若点为直线上的动点,点是曲线上的动点,求的最小值.
23.(选修4-5:不等式选讲)(10分)
已知().
(1)若,求不等式的解集;
(2)若对任意,关于的不等式恒成立,求的取值范围.
长春市九台区2020-2021学年高二下学期期末考试
数学文科试题答案
选择题
1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.D 10.A 11.D 12.B
二、填空题
13. 14. 15. 16.等边三角形
三、解答题
17.解:
(1)因为,
所以
所以的值域为;
(2)由,得
,
所以单调递增区间为
18.【详解】(1),为的中点,故,平面平面,
平面平面,故平面.
(2),,故,.
故.
19.解:(1)由已知得 7.879
有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人中“大于40岁”的市民2人设为,,1位“20岁至40岁”的市民设为,抽取2人基本事件共有,,三个,恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民包括基本事件2个,概率.
20.【详解】(1)由题意得,得,所以椭圆方程为:,
将代入椭圆方程得:,解得,
故椭圆C的方程为
(2)证明:由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,
联立,得.
设A,B的坐标分别为,
则,
且,
因为直线,斜率互为相反数,即,
所以,则,
即,
即,
所以,化简得,
所以直线的方程为,
故直线过定点
21.解:(1)函数的定义域是,
故曲线在点处的切线方程是:,即,
又在点处的切线方程为,故;
(2)由于
①若,对于恒成立,即在递增,故函数的递增区间是;
②若,当时,递减,时,递增,故在递减,在递增.
(3)时,直线即,令
,
且,
当时,在递减,
当时,在递增,
故时,取得最小值,
曲线都在直线的上方,
,故,,
故的范围是.
22【详解】(1)由得,,即,
故曲线的普通方程是.
由及公式,得,
故直线的直角坐标方程是;
(2)直线的普通方程为,曲线的参数方程为(为参数),设,
点到直线距离为,(其中),
当时,,
所以.
23.【详解】
(1)时,,
当时,不等式变为,解得,
当时,不等式变为,不等式无解,
当时,不等式变为,解得,
综上得或,
所以原不等式的解集为;
(2)因,当且仅当时等号成立,
于是得,由题意知,
解得或,从而有或.
所以的取值范围为