1.1 菱形的性质与判定（含解析）-2021年北师大版九年级数学上册培优训练

1.1 菱形的性质与判定-2021年北师大版九年级数学上册培优训练
一、选择题
1.折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（?? ）
A.?535???????????????????????????????B.?2 5????????????????????????C.?735?????????????????????????D.?4 5
2.将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（?? ）
A.?等腰三角形????????????????????B.?直角三角形???????????????C.?矩形??????????????????D.?菱形
3.如图，已知点P是菱形 ABCD 的对角线 AC 延长线上一点，过点P分别作 AD 、 DC 延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若 ∠ABC=120° ， AB=2 ，则 PE-PF 的值为（?? ）
A.?32???????????????????????????????B.?3???????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????D.?52
4.如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E ． 若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2 ， 则PE＋PF的值是（??? ）
A.?1.5??????????????????????????????????????B.?1?????????????????????C.?2????????????????????????????????D.?4
5.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AC=63 ， BD=6 ，点 P 是 AC 上一动点，点 E 是 AB 的中点，则 PD+PE 的最小值为（??? ）
A.?33??????????????????????????????B.?63???????????????????????????C.?3???????????????????????????D.?62
6.如图，在 △ABC 中， AB=AC ， △DBC 和 △ABC 关于直线BC对称，连接AD ， 与BC相交于点O ， 过点C作 CE⊥CD ，垂足为C ， 与AD相交于点E ． 若 AD=8 ， BC=6 ，则 2OE+AEBD 的值为（?? ）
A.?43????????????????????????????B.?34???????????????C.?53?????????????????????????????D.?54
7.如图，在菱形 ABCD 中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 12CD 长为半径作弧，两弧交于点 M、N ；②作直线 MN ，且 MN 恰好经过点A，与 CD 交于点E，连接 BE ，若 AD=6 ，则 BE 的长为（??? ）
A.?37??????????????????????B.?33????????????????????????C.?4??????????????????????D.?25
8.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为(?? )
A.?54°???????????????????B.?64°???????????????????????????C.?74°????????????????????????D.?26°
9.如图，在菱形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 上一点， Q 是 BC 中点，若菱形周长是16， ∠A=120° ，则 PC+PQ 的最小值为（??? ）
A.?2 3?????????????????????????B.?2??????????????????????????C.?3????????????????????????D.?33
10.如图1，点F从边长为5的菱形ABCD的顶点A出发，沿折线A-D-B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积 y(cm2) 与时间 x(s) 之间的函数关系如图2所示，则 a 的值为（?? ）
A.?8?????????????????????????B.?9?????????????????????????????C.?5+10?????????????????D.?5+23
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中，E，F分别在BC，DC上，BE=DF，AE=AB，若∠EAF=30°，则∠D的度数是________。
12.如图，在平行四边形ABCD中， AE平分∠BAD交BC于点E ， 过点E作AE的垂线交CD于点F ， 若CF=1，AD=5，则AB=________．
13.如图，四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC=70° ，延长 BC 到 E ，在 ∠DCE 内作射线 CM ，使得 ∠ECM=15° ，过点 D 作 DF⊥CM ，垂足为 F ，若 DF=5 ，则对角线 BD 的长为________.（结果保留根号）
14.如图，在菱形 ABCD 中， ∠BAD=60° ，点E在边 BC 上，将 △ABE 沿直线 AE 翻折180°，得到 △AB'E ，点B的对应点是点 B' 若 AB'⊥BD ， BE=2 ，则 BB' 的长是________．
15.已知菱形 ABCD 的面积为 23 ﹐点E是一边 BC 上的中点，点P是对角线 BD 上的动点．连接 AE ，若AE平分 ∠BAC ，则线段 PE 与 PC 的和的最小值为________，最大值为________．
16.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是________.
17.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上.连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE＝GF；③DK＝HK；④当点F与点C重合时 EF=10 .其中正确的结论是________（填写序号）.
18.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为________.
三、解答题
19.如图， D 、 E 、 F 分别是 △ABC 各边的中点，连接 DE 、 EF 、 AE .
（1）求证：四边形 ADEF 为平行四边形；
（2）加上条件? ▲ ?后，能使得四边形 ADEF 为菱形，请从① ∠BAC=90° ；② AE 平分 ∠BAC ；③ AB=AC ，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明.
20.在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连结AE。
（1）①依题意补全图1；
②写出线段EF、CF、AE之间得等量关系，并说明理由；
（2）在图1中，将△DEF绕点D逆时针旋转，当F、E、C在一条直线上，如图2所示，请判断EF、CE、AE之间的等量关系，写出判断思路（可以不写出证明过程）．
21.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O，已知 OA=OC ， OB=OD ，过点O作 EF⊥BD ，分别交 AB 、 DC 于点E，F，连接 DE ， BF .
（1）求证：四边形 DEBF 是菱形：
（2）设 AD//EF ， AD+AB=12 ， BD=43 ，求 AF 的长.
22.如图，四边形 PNQM 为菱形，延长 MP 使得 PB=MP ，延长 NQ 使得 QD=NQ ，延长 BN 使得 NC=BN ，延长 DM 使得 DM=MA ，连接 AB ， CD .
（1）求证：四边形 BNDM 是平行四边形.
（2）猜想：四边形 ABCD 是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想.
23.四边形 ABCD 为菱形， BD 为对角线，在对角线 BD 上任取一点 E ，连接 CE ，把线段 CE 绕点 C 顺时针旋转得到线段 CF ，使得 ∠ECF=∠BCD ，点 E 的对应点为点 F ，连接 DF ．
?
（1）如图1，求证： BE=DF ；
（2）如图2，若 ∠DFC=2∠DBC ，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于 BD （ BE 和 DE 除外）．
24.已知：平行四边形 ABCD ，对角线 AC ， BD 相交于点 O ． E 是 AD 的中点，连接 OE 并延长至 F 使得 OE=EF ，连接 FD ， FC ， FC 交 BD 于点 G ．
求证：
（1）△FGD≌△CGO ．
（2）当 AB 与 AC 有怎样的数量关系时，四边形 FOCD 是菱形，并说明理由．
25.在Rt△ABC中，∠B=90°，AC =20，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒(t>0),过点D作DF⊥BC于点F ， 连接DE、EF ．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案
一、选择题
1.解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
∴OD=OB, ?
又AB∥CD，
∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO, ?
∴ △ BON≌ △ DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
∴DN=BN=BM=DM, ?
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在Rt △ ABD中，由勾股定理得：BD＝ AD2+AB2 ＝ 45 ，
在Rt △ ADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2 ，
即42+（8﹣x）2＝x2 ，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝ 12 ×MN×BD，
即5×4＝ 12 ×MN× 45 ，
解得MN＝ 25 .
故答案为：B.
2.如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，

由折叠的性质可知CA = AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴AB=BD=AC=CD，
∴四边形BACD是菱形，
故答案为：D.
3.解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30?，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC= 222-12=23 ，
∴AP= 23 +PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP= 23 +PC，
∴PE= 12 AP= 3 + 12 PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF= 12 PC，
∴ PE-PF = 3 + 12 PC- 12 PC= 3 ，
故答案为：B.
4.如图，连接PB
∵四边形ABCD是菱形，其周长为12cm
∴AB=BC=3cm， S△ABC=12S菱形=3 cm2
∵ S△PAB+S△PBC=S△ABC ，PF⊥AB ， PE⊥BC
∴ 12AB·PF+12BC·PE=3
即PE+PF=2cm
故答案为：C．
5.解：如图，连接 DE ，
由两点之间线段最短得：当点 D,P,E 共线时， PD+PE 取最小值，最小值为 DE ，
∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC=63 ， BD=6 ，
∴AB=AD,OB=12BD=3,OA=12AC=33,AC⊥BD ，
∴AB=OA2+OB2=6 ，
∴AB=AD=BD=6 ，
∴△ABD 是等边三角形，
∵ 点 E 是 AB 的中点，
∴AE=12AB=3,DE⊥AB ，
∴DE=AD2-AE2=62-32=33 ，
即 PD+PE 的最小值为 33 ，
故答案为：A．
6.解：∵ AB=AC ， △DBC 和 △ABC 关于直线BC对称，
∴AB=AC=CD=BD ，
∴四边形ABDC是菱形，
∴BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，
∵ AD=8 ， BC=6 ，
∴OC=OB=3，OA=OD=4，
在Rt△COD中，OC=3，OD=4，
∴DC= 32+42=5 ，
∴AB=AC=CD=BD =5，
∵ CE⊥CD ，
∴ CE2+CD2=DE2 ， CE2=OE2+CO2 ，
∴ OE2+32+52=(OE+4)2 ，
∴ OE=94 ，
∴ 2OE+AEBD=OE+AE+OEBD=4+945=54 ，
故答案为：D ．
7.解：根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE= 12 AD，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，
在直角三角形ADE中，根据勾股定理，得AE= 62-32 = 33 ，
在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得BE= 62+(33)2 = 37 ．
故答案为：A．
8.∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
{∠MAO=∠NCOAM=CN∠AMO=∠CNO ，
∴△AMO≌△CNO(ASA)，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝26°，
∴∠BCA＝∠DAC＝26°，
∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°.
故答案为：B.
9.解：如图，由菱形的对称轴可知，点 A 和点 C 关于 BD 对称，连接 AQ ， AQ 即为所求 PC+PQ 的最小值．
连接 AC ，
∵∠BAD=120° ，四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABC=60° ， AB=BC ，
∴△ABC 是等边三角形，
∵ 点 Q 为 BC 的中点，
∴AQ⊥BC ，
∵ 菱形 ABCD 的周长为16，
∴AB=BC=4 ，
在 Rt△ABQ 中， ∠ABC=60° ，
∴∠BAQ=30° ，
∴BQ=12AB=12×4=2 ，
∴AQ=AB2-BQ2=42-22=23 ．
故答案为：A．
10.解：过点D作DH⊥BC，如图：
∵菱形的边长为5，
∴ BC=5
当x=5时，y=7.5， y=12BC·DH
∴DH=3，
∴ CH=52-32=4 ，
∴ BH=5-4=1
Rt△BDH中，可得 BD=12+32=10 ，
∴AD+DB= 5+10
故答案为：C.
二、填空题
11.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=FD，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
设∠B=x，∠BAE=y，
∵∠BAE+∠B+∠AEB=2x+y=180°，∠BAD+∠B=2y+x+30°=180°，
∴4x+2y-2y-x-30°=180°，
整理得3x=210°，
∴x=70°，
故答案为：70°.
12.过点E作EG//AB交AD于G，易得四边形ABCG是平行四边形，

又 AE平分∠BAD ，可得∠BAE=∠GAE=∠AEB，
∴AB=AE，四边形ABCG是菱形。
∴∠GBE=12∠ABE，AE⊥BG，
又AE⊥EF，故BG//EF。
∴∠GBE=∠FEC，
∵EG//AB，
∴∠BAE=∠GEC。
∴∠FEC=12∠GEC
故易得∠FEC=EFC。
∴EC=EF=1。
易得四边形ECDG是平行四边形。
可设AB=AG=x,
故GD=5-x，又EC=GD。
∴5-x=1，得x=4?
∴AB=4
13.解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD， ∠DOC=90° ，BD=2DO
∴ ∠DCE=∠ABC=70°
∵ ∠ECM=15°
∴ ∠DCM=55°
∵ DF⊥CM
∴ ∠CDF=35°
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ∠CDB=12∠ADC=12∠ABC=35°
∴ ∠CDF=∠CDO
在 ΔCDO 和 ΔCDF 中，
{∠CDO=∠CDF∠COD=∠CFD=90°CD=CD ?
∴ ΔCDO ≌ ΔCDF
∴ DO=DF=5
∴ BD=2DO=25
故答案为： 25 .
14.解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD,AD//BC ，
∵ ∠BAD=60° ，
∴ ∠ABE=120° ， △ABD 是等边三角形，即 ∠ABD=60° ，
∵ AB'⊥BD ，
∴ ∠BAB'=30° ，
由折叠的性质可得 ∠BAE=∠EAB'=15° ， BE=B'E=2 ， ∠BEA=∠B'EA ，
在 △BEA 中，由三角形内角和可得 ∠BEA=45° ，
∴ ∠BEA=∠B'EA=45° ，即 ∠BEB'=90° ，
∴ △BEB' 是等腰直角三角形，
∴ BB'=2BE=22 ；
故答案为 22 ．
15.解：如图，连接 PC ，
∵ ? E 是 BC 的中点，AE平分 ∠BAC ，
∴AB=AC ，
∴ △ABC 是等腰三角形，
又 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，则 AB=BC ，
∴ ? △ABC 是等边三角形，
∵ ?已知菱形 ABCD 的面积为 23 ，
设菱形的边长为 a (a>0)
则 AE=a2-(a2)2=32a ，
∵ ? S=BC×AE ?，
∴ ? 23=a×32a ，
解得： a=2 ，
∴AE=3 ?，
∵A、C 关于 BD 对称，
PE + PC =PE+PA ≥ AE =3 ，
则 PE + PC 最小值为： 3 ；
当点P与点D重合时 PE + PC 最大，
过E作 EH⊥BD 垂足为H，
∵ ?四边形 ABCD 是菱形，
∴EH//OC ，
∵ E 是 BC 的中点,
∴EH=12OC=14AC=12 ?，
OH=12OB=32 ?，
∴DH=DO+OH=323 ?，
在 Rt△DHE 中，DE=DH2+HE2
(323)2+(12)2=7 ，
则 DE+DC=2+7 ，
∴ PE + PC 最大为： 2+7 ．
16.如图，作DE⊥AB于E点，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形，
∴∠MAE=30°，
∴AM=2ME，
∵MD=MB，
∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形的边长为6，
∴AB=6，AE=3，
∴ DE=AD2-AE2=33 ，
∴ 2DE=63 ，
∴MA+MB+MD最小值为 63 ，
故答案为： 63 .
17.解：连接BE，由折叠可知BO=GO，
∵EG//BF，
∴∠EGO=∠FBO，
在△EOG和△FOB中，
{∠EGO=∠FBO∠EOG=∠FOBBO=GO ，
∴△EOG≌△FOB(AAS) ，
∴EG=BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
由折叠可知BE=EG，
则四边形EBFG为菱形，
故EF⊥BG，GE=GF，
∴①②正确；
∵四边形EBFG为菱形，
过K作kM⊥FG于M，???????????????????????
∴KG平分∠DGH，KD⊥EG，
∴KD=KM，
在Rt△KMH中，KH为斜边，
∴KH > KM=KD，
∴③错误；
当点F与点C重合时，BE=BF=BC=5，AB=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理AE= BE2-AB2=52-32=4 ，
∴ED=AD-AE=5-4=1，
在Rt△EDC中，由勾股定理EF= CD2+ED2=32+12=10 ，
∴④正确.
综合，正确的为①②④.
故答案为：①②④.
18.解：如图，作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，
则P′Q即为PK+QK的最小值，
作AE⊥CD交CD于E，易得AE=P′Q，
在菱形ABCD中，∵AB=4，∠A=120°，
所以AD=4，∠D=60°，
∴ AE=4×32=23
∴PK+QK的最小值为 23 .
三、解答题
19.（1）证明：已知 D 、 E 是 AB 、 BC 中点
∴ DE//AC
又∵ E 、 F 是 BC 、 AC 的中点
∴ EF//AB
∵ DE//AF
∴ EF//AD
∴四边形 ADEF 为平行四边形
（2）解：②或③；证明：选② AE 平分 ∠BAC
∵ AE 平分 ∠BAC
∴ ∠DAE=∠FAE
又∵平行四边形 ADEF
∴ EF//DA
∴ ∠FAE=∠AEF
∴ AF=EF
∴平行四边形 ADEF 是菱形
选③ AB=AC
∵ EF//AB 且 EF=12AB
DE//AC 且 DE=12AC
又∵ AB=AC
∴ EF=DE
∴平行四边形 ADEF 为菱形
故答案为：②或③
20. （1）解：①依题意补全图形如图所示：
②连接CE，
∵EF⊥CD
∴∠EFC=90°
∴CE=EF2+CF2
又∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC，BD平分AC
∴AE=CE
∴AE2=EF2+CF2
（2）EFCE、AE之间的等量关系是：AE-CE+2EF
判断：如图
延长EF至G，使EF=FG，连接DG
∴EG=2EF
∵DF⊥CF
∴DE=DG，∠EDG=2∠EDF
又∵四边形ABCD为菱形
∴AD=CD，∠ADC=2∠ODC=60°
又由旋转得∠ODC=∠EDF
∴∠ADC=∠EDG
∴∠ADE=2∠CDG
在△ADE和△CDG中 {AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG
∴△ADE≌△CDG
∴AE=CG=CE+EG=CE+2EF
∴AE=CE+2EF
21. （1）证明：∵ OA=OC ， OB=OD ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴ ∠FDO=∠EBO ，
∵ ∠FOD=∠EOB ，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴ OF=OE ，
∴四边形 DEBF 是平行四边形，
∵ EF⊥BD ，
∴四边形 DEBF 是菱形；
（2）解：由（1）可得四边形 DEBF 是菱形，
∴ BE=BF ，
∵ AD//EF ， EF⊥BD ，
∴ ∠ADB=90° ，
设 AD=x ，则 AB=12-x ，
∵ BD=43 ，
∴ AD2+BD2=AB2 ，即 x2+48=(12-x)2 ，
解得： x=4 ，
∴ AD=4,AB=8 ，
∴∠ABD=30°，∠DAB=60°，
∴ ∠FEB=∠DAB=60° ，
∴ △BEF 是等边三角形，
∴ ∠FBA=60° ，
∵ DE//BF ，
∴ ∠DEA=∠FBA=60° ，
∴ △BEF 是等边三角形，
∴ DE=AE=BF=BE ，
∴ ∠FAB=30° ，
∴ ∠AFB=90° ，
∴ AF=AB?cos∠FAB=43 .
22. （1）证明：∵四边形 PNQM 为菱形，
∴PM=NQ，BM // ND，
∵ PB=MP ， QD=NQ ，
∴BM=ND，
∴四边形 BNDM 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 BNDM 是平行四边形，
∴BM // ND，BM=ND，AD // BC，
∴∠NBM=∠CND，
∵ NC=BN ，
∴△BNM≌△NCD（SAS），
∴ ∠MNB=∠C ，
∵ DM=MA ，DM=BN，
∴ AD=BC ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ PM=BP=PN ，
∴ ∠PBN=∠PNB,∠PMN=∠PNM ，
∴由三角形内角和可得 ∠PNB+∠PNM=90° ，即 ∠MNB=90° ，
∴ ∠MNB=∠C=90° ，
∴四边形 ABCD 是矩形.
23.（1）解：证明： ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴BC=CD ，
∵ 把线段 CE 绕点 C 顺时针旋转得到线段 CF ，
∴CE=CF ，
∵∠ECF=∠BCD ，
∴∠BCE=∠DCF ，
在 ΔBCE 与 ΔDCF 中，
{BC=CD∠BCE=∠DCFCE=CF ，
∴ΔBCE?ΔDCF(SAS) ，
∴BE=DF ．
（2）∵ΔBCE?ΔDCF ，
∴BE=DF ， ∠BEC=∠DFC ，
∵CB=CD ，
∴∠CBD=∠CDE ，
∵∠DFC=2∠CBD ，
∴∠BEC=2∠CDE ，
∵∠CEB=∠CDE+∠ECD ，
∴∠EDC=∠ECD ，
∴ED=EC=CF ，
∴BD=BE+EC=BE+CF=DF+DE=DF+CE=DF+CF ．
24. （1）在 △ACD 中，点 O ， E 分别为边 AC ， AD 中点，
∴ OE 为 △ACD 的中位线
∴ OE//CD ， OE=12CD
又∵ OE=12OF
∴ OF//CD ， OF=CD
∴四边形 OCDF 为平行四边形
∴ FD//OC ，
{∠GFD=∠GCOFD=OC∠GDF=∠GOC ?
∴ △FGD≌△CGO （ASA）
（2）当 AB=12AC 时，四边形 FOCD 是菱形，
∵ AB=12AC
∵四边形 OCDF 为平行四边形，
∴ AB=CD ，
∴ CD=OC ，
∴四边形 FOCD 是菱形．
25. （1）证明：在△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，
∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°
∵DC=2t，∴DF=t．
又∵AE=t，∴AE=DF；
∵∠B=∠DFC=90°，∴ AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形
（2）解：能；
理由如下：
由（1）知，四边形AEFD为平行四边形．且∠C=30°
又∵AC=20，∴AD=AC-DC=20-2t，
若AE=AD，则平行四边形AEFD为菱形，
∴t=20-2t， ∴ t=203
（3）解：当t=5或8时，△DEF为直角三角形；
理由如下：
①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．即20-2t=2t，
∴t=5；
②∠DEF=90°时，∵四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠AED=30°，
∴AD= 12 AE，即20-2t= 12 t，∴t=8；
③∠EFD=90°时，此种情况不存在；
综上所述，当t=5或8时，△DEF为直角三角形