吉林省长春市九台区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

长春市九台区2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试题
第Ⅰ卷（共 60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的.
1．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（ ）
A．29 B．29.5 C．30 D．36
3．已知为两条不同直线，为两个不同的平面，给出以下四个命题：
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：
977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，
431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.
由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.75 D．0.8
5．已知是边长为2的等边三角形，为的中点，且，则（　　）
A． B．1 C． D．3
6．已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
7．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知菱形，，将△沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则C=（ ）
A．30° B．22.5° C．15° D．45°
10．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）
A． B．
C． D．
11.任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（ ）
（1） （2）当，时，
（3）当，时，
（4）当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
A．1 B．2 C．3 D．4
12.在四面体中， ，二面角 的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________．
14.如图，三棱锥中， ，点分别是中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．
15.在对某工厂甲乙两车间某零件尺寸的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，
如果不知道样本数据，只知道抽取了甲车间10个零件，其尺寸的平均数和方差分别为
12和4.5，抽取了乙车间30个零件，其平均数和方差分别为16和3.5，则该工厂这种零
件的方差估计值为________.（精确到0.1）
16.已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在四边形内（包括边界）运动，则下列说法中正确的是___________．
①若是线段的中点，则平面平面
②若在线段上，则与所成角的取值范围为
③若平面，则点的轨迹的长度为
④若平面，则线段长度的最小值为
三、解答题：本题共6小题,共50分.
17.（本小题满分6分）
如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、．并测量得到以下数据，，，，，米，米．求、两点的距离．
18.（本小题满分8分）
某市为了了解人们对传染病知识的了解程度，对不同年龄的人举办了一次“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.
（1）求x；
（2）估计抽取的x人的年龄的第80百分位数；
（3）采用样本量比例分配的分层随机抽样从第四?五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第五组的概率.
19.（本小题满分8分）
已知向量.
若，求 的值；
若，且，求角.
20.（本小题满分8分）
进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会?经济?生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
21.（本小题满分10分）
如图，且，，且，且CD=2FG，，．
若为的中点，为的中点，求证:；
（2）若点在线段DG上，且直线与平面所成的角为60°，求线段的长．
22.附加题（本小题满分10分）
如图，在梯形中，，，，现将沿翻折成直二面角.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
长春市九台区2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试题答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A B D D C A C A B A
二．填空题
13. 14. 15. 6.8 16.①②③④
三．解答题
17.（满分6分）
由题意可知，在中，，
由正弦定理得，所以米，
在中，米，
在中，由余弦定理得
，
所以，米.
（满分8分）
（1）由频率分布直方图可知，第一组的概率为
所以，解得.
（2）设第80百分位数为，则，
解得，故第80百分位数的估计值为为.
（3）由频率分布直方图可知第四?五组的抽取比例为，抽取6人，
则第四组抽取人，记
第五组抽取人，记，
随机抽取两人，,
，共种，
至少1人来自第五组，
共种，所以至少1人来自第五组的概率为.
（满分8分）
（1）因为，所以，所以，即，因为，所以.
（2），得，即，
即，整理得，
又因为，所以，所以或，即或.
20.（本小题满分8分）
解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.由题意可得即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
21（满分8分）
（1）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．
设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则 即
不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．
又=（1，，1），可得，
因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．
（2）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），
可得．
易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，
故，
由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．
所以线段的长为．
22.（满分10分）
（Ⅰ）取的中点，连结.
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∴，∴，即.
又平面平面，且两平面的交线为，
∴平面，又平面，
∴.
（Ⅱ）取的中点，连结，则.
∴，且，
∴，，两两互相垂直.
以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，∴，.
由异面直线与所成角的余弦值为，
得，解得.
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
又，，由，得，
取，得，，故，
，
∴平面与平面夹角的余弦值为