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22.3
实际问题与二次函数
教学设计
课题
22.3
实际问题与二次函数
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.利用二次函数解决实际生活中的面积问题、利润问题、拱桥问题.
重点
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
难点
掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.二次函数的顶点式及性质?y=a(x-h)2+k
(a≠0)性质：(1)a>0，开口向上，a<0，开口向下；(2)对称轴：直线x=h；(3)顶点坐标（h，k）；(4)增减性：a>0，对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
a<0，对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.2.二次函数的一般式及性质?y＝ax2＋bx＋c(a≠0)性质：(1)a>0，开口向上，a<0，开口向下；(2)对称轴：直线x=；(3)顶点坐标；(4)增减性：a>0，对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
a<0，对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.
学生回忆、思考并回答问题
回顾前面所学知识，为下面内容的学习奠定基础.
讲授新课
环节一：问题导入问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单位：s）之间的关系式是
h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？如图所示：
在顶点处，小球最高，即
t取顶点横坐标时，函数有最大值，此时小球达到最大高度，即顶点的纵坐标.因此，当
时，
h有最大值所以，小球运动3s时，小球最高，最大高度是45m.还有其他方法吗？∵h=30t-5t
2=-5(t
2-6t)=-5(t
-3)2+45，∴当t=3时，h最大=45.所以小球运动时间为3
s时，小球最高，最大高度为45
m.一般地，当a>0(a<0)时，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点是最低（高）点，也就是说当
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c有最小（大）值
.环节二：合作探究探究1
用总长为
60
m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而变化.当
l
是多少米时，场地的面积
S
最大？分析
先写出
S
关于
l
的函数解析式，再求出使
S
最大
的l
值.解：
矩形场地周长为
60
m
，一边长为
l
m，所以另一边长为，场地的面积
S
=l(30-l)即
S=-l2+30l
(0时，S有最大值.小结：二次函数解决几何面积最值问题的步骤：1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值;3.检查当函数值取最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内或是否具有实际意义.
探究2
某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件，市场调查反映：每涨价
1
元，每星期少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
20
件，已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？分析
调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先分析涨价的情况.利润=（售价-进价）×销售量解：设每件涨价
x
元，则每星期售出商品的利润
y
随之变化.
当涨价
x
元时，售价变为(60+x)元，每星期少10x卖件，实际卖出(300-10x)件，因此，所得利润为y=(60+x-40)(300-10x)=
-10x2+100x+6000自变量的取值范围是多少？自变量x要满足以下条件：解得0≤x≤30∵a=-10<0，开口向下∴当
时，y最大.所以，涨价5元时，即定价60+5=65元时，利润最大，最大利润为
6250
元.如何求降价时的利润呢？解：设每件降价
x
元，则售价变为(60-x)元，每星期多卖20x件，实际卖出(300+20x)件，因此，所得利润为y=(60-x-40)(300+20x)=
-20x2+100x+6000，其中0≤x≤20.∵a=-20<0，开口向下∴当时，y最大.所以，降价2.5元时，即定价60-2.5=57.5元时，利润最大，最大利润为
6125
元.∵6250>6125∴定价
65
元时，利润最大.小结：二次函数解决销售利润最值问题的步骤：1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；2.结合实际意义，确定自变量的取值范围.；3.在自变量的取值范围内确定最大利润.可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.探究3
图中是抛物线形拱桥，当水面在
l
时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.
怎样建立平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式更简单？建立如下四种不同的直角坐标系通过以上四种不同建系方法的对比，发现这样建系更简单：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax?.由抛物线经过点A（2，-2），可得
这条抛物线的解析式为.当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3，代入上面的解析式可得：此时，水面宽度为m，水面宽度增加
()
m.小结：二次函数解决拱桥问题的步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；(3)
恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式;
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.环节三：课堂练习1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为4,4时，这个直角三角形的面积最大，最大值是8.2.飞机着陆后滑行的距离
y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是
y=60t-1.5t2.在飞机着陆滑行中，最后
4
s滑行的距离是24m.3.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
25
m）的空地上修建一个矩形绿化带
ABCD，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为
40
m
的栅栏围住
（如下图）．设绿化带的
BC
边长为
x
m，绿化带的面积为
y
m
2．（1）求
y
与
x
之间的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围；（2）当
x
为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？解：（1）设绿化带的
BC
边长为
x
m，则
AB
边长为
m.
∵
∴0x=20
时，绿化带的面积最大.变式
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
25
m）的空地上修建一个矩形绿化带
ABCD，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为
60
m
的栅栏围住
（如下图）．设绿化带的
BC
边长为
x
m，绿化带的面积为
y
m
2．（1）求
y
与
x
之间的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围；（2）当
x
为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？解：（1）设绿化带的
BC
边长为
x
m，则
AB
边长为
m.
∵
∴0x=30的左侧，又因为开口向下，所以y随x的增大而增大，当
x=20
时，绿化带的面积最大.实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.4.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件.
若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800
=-10(x-8)2+1440
(0＜x＜20).当x=8时，y取最大值1440.即当每件降价8元时，每天的盈利最多.5.如图,在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB，水管的顶端安有一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1
m处达到最高点C，高度为3
m，水柱落地点D离池中心A处3
m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，当选取点A为坐标原点时，抛物线的表达式为(0≤x≤3)，水管AB的长为
自主探究，合作交流，同构具体问题理解二次函数图象与一元二次方程的联系.借助典型例题,展示利用二次函数图象求一元二次方程近似值的步骤，并进行总结.学生练习，师生互评订正.
利用图象求出方程的根，体会知识间的联系，形成知识网络.培养学生利用函数图象求方程实数根的步骤.学以致用，让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.3
实际问题与二次函数面积问题
利润问题
拱桥问题
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
-2=a×(-2)?
D
C
B
A
25
m
D
C
B
A
25
m
y
x
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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人教版
九年级上册
22.3
实际问题与二次函数
新知导入
学习目标：
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.利用二次函数解决实际生活中的面积问题、利润问题、拱桥问题.
新知导入
1.二次函数的顶点式及性质?
y=a(x-h)2+k
(a≠0)
性质：(1)a>0，开口向上，a<0，开口向下；(2)对称轴：直线x=h；(3)顶点坐标（h，k）；(4)增减性：a>0，对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
a<0，对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.
新知导入
2.二次函数的一般式及性质?
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
性质：(1)a>0，开口向上，a<0，开口向下；(2)对称轴：直线x=
；(3)顶点坐标
；(4)增减性：a>0，对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
a<0，对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.
问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单位：s）之间的关系式是
h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
如何解决问题呢？
借助函数图象
新知讲解
如图所示：
在顶点处，小球最高，即
t取顶点横坐标时，函数有最大值，此时小球达到最大高度，即顶点的纵坐标.
新知讲解
因此，当
时，
h有最大值
所以，小球运动3s时，小球最高，最大高度是45m.
还有其他方法吗？
新知讲解
∴当t=3时，h最大=45.
所以小球运动时间为3
s时，小球最高，最大高度为45
m.
∵h=30t-5t
2=-5(t
2-6t)=-5(t
-3)2+45，
新知讲解
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点是最低（高）点，也就是说当
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c有最小（大）值
.
新知讲解
探究1
用总长为
60
m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而变化.当
l
是多少米时，场地的面积
S
最大？
分析
先写出
S
关于
l
的函数解析式，再求出使
S
最大
的l
值.
合作探究
解：
矩形场地周长为
60
m
，一边长为
l
m，所以另一边长为
m，
场地的面积
S
=l(30-l)
即
S=-l2+30l
(0因此，当
时，
S有最大值.
合作探究
小结：二次函数解决几何面积最值问题的步骤：
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值;
3.检查当函数值取最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内或是否具有实际意义.
合作探究
探究2
某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件，市场调查反映：每涨价
1
元，每星期少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
20
件，已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？
分析
调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先分析涨价的情况.
合作探究
解：设每件涨价
x
元，则每星期售出商品的利润
y
随之变化.
当涨价
x
元时，售价变为
元，每星期少卖
件，实际卖出
件，因此，所得利润为y=(60+x-40)(300-10x)=
-10x2+100x+6000
利润公式？
利润=（售价-进价）×销售量
10x
(300-10x)
(60+x)
自变量的取值范围是多少？
合作探究
自变量x要满足以下条件：
解得
0≤x≤30
根据实际意义得涨价本身要≥0
销售量要≥0
合作探究
∵a=-10<0，开口向下
∴当
时，y最大.
所以，涨价5元时，即定价60+5=65元时，利润最大，最大利润为
6250
元.
如何求降价时的利润呢？
合作探究
解：设每件降价
x
元，则售价变为(60-x)元，每星期多卖20x件，实际卖出(300+20x)件，因此，所得利润为y=(60-x-40)(300+20x)=
-20x2+100x+6000，其中0≤x≤20.
∵a=-20<0，开口向下
∴当
时，y最大.
所以，降价2.5元时，即定价60-2.5=57.5元时，利润最大，最大利润为
6125
元.
合作探究
∵6250>6125
∴定价
65
元时，利润最大.
合作探究
小结：二次函数解决销售利润最值问题的步骤：
1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；
2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；
3.在自变量的取值范围内确定最大利润.
可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
合作探究
合作探究
探究3
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加了多少？
合作探究
我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.
怎样建立平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式更简单？
建立如下四种不同的直角坐标系
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
合作探究
谁最合适呢？
建立如下四种不同的直角坐标系
y
y
合作探究
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
谁最合适呢？
合作探究
x
y
O
通过以上四种不同建系方法的对比，发现这样建系更简单：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)
合作探究
解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax?.
由抛物线经过点A（2，-2），可得
-2=a×(-2)?
这条抛物线的解析式为y=
x?.
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3，代入上面的解析式可得：
合作探究
此时，水面宽度为
m，水面宽度增加
(
)
m.
合作探究
小结：二次函数解决拱桥问题的步骤：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；
(3)
恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式;
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.
课堂练习
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为
时，这个直角三角形的面积最大，最大值是
.
2.
飞机着陆后滑行的距离
y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是
y=60t-1.5t2.在飞机着陆滑行中，最后
4
s滑行的距离是
m.
24
4，4
8
课堂练习
3.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
25
m）的空地上修建一个矩形绿化带
ABCD，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为
40
m
的栅栏围住
（如下图）．设绿化带的
BC
边长为
x
m，绿化带的面积为
y
m
2．
D
C
B
A
25
m
课堂练习
（1）求
y
与
x
之间的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围；
（2）当
x
为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25
m
课堂练习
解：（1）设绿化带的
BC
边长为
x
m，则
AB
边长为
m.
∵
∴0课堂练习
（2）y=
所以，当
x=20
时，绿化带的面积最大.
课堂练习
变式
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
25
m）的空地上修建一个矩形绿化带
ABCD，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为
60
m
的栅栏围住
（如下图）．设绿化带的
BC
边长为
x
m，绿化带的面积为
y
m
2．
D
C
B
A
25
m
课堂练习
（1）求
y
与
x
之间的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围；
（2）当
x
为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25
m
课堂练习
解：（1）设绿化带的
BC
边长为
x
m，则
AB
边长为
m.
∵
∴0课堂练习
（2）y=
因为0x=30的左侧，又因为开口向下，所以y随x的增大而增大，当
x=25
时，绿化带的面积最大.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.
4.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件.
若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
课堂练习
课堂练习
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，
由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800
=-10(x-8)2+1440
(0＜x＜20).
当x=8时，y取最大值1440.
即当每件降价8元时，每天的盈利最多.
课堂练习
5.如图,在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB，水管的顶端安有一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1
m处达到最高点C，高度为3
m，水柱落地点D离池中心A处3
m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，当选取点A为坐标原点时，抛物线的表达式为
(0≤x≤3)，
水管AB的长为
m.
x
y
课堂总结
板书设计
22.3
实际问题与二次函数
面积问题
利润问题
拱桥问题
练习
作业布置
1.必做题：教材P51
第
2、8题
2.选做题：教材P57
第
7
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
