中小学教育资源及组卷应用平台
22.2二次函数与一元二次方程
教学设计
课题
22.2二次函数与一元二次方程
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.通过观察二次函数图象与
x
轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.4.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点
观察二次函数图象与
x
轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况.
难点
理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.一元二次方程的根的判别式?△=b2-4ac△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根△=b2-4ac<0，方程无实数根y=x2-4x，当y=7时，二次函数y=x2-4x与x轴的交点是(0,0)(4,0)
学生回忆、思考并回答问题.
回顾前面所学知识，为下面内容的学习奠定基础.
讲授新课
环节一：推导公式问题
如图，以
40
m/s
的速度将小球沿与地面成
30°
角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度
h(单位：m)与飞行时间
t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
(1)
小球的飞行高度能否达到
15
m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20
m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5
m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？分析
由于小球的飞行高度
h(单位：m)与飞行时间
t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程.
如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：(1)解方程
15=20t-5t2
t2-4t+3=0
t1=1，t2=3.当球飞行1
s和3
s时，它的飞行高度为15
m.结合图形，说一说为什么在两个时间下球的高度为
15
m？纵坐标为15的点有两个，分别对应两个点的横坐标.(2)解方程：
20=20t-5t2
t2-4t+4=0
t1=t2=2.当球飞行2
s时，它的高度为20
m.结合图形，说一说为什么只在一个时间小球的高度为20
m？图象中只有一个最高点，对应地自变量只有一个值.(3)解方程：
20.5=20t-5t2
t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4
×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5
m.(4)小球飞出时和落地时的高度都为0
m.解方程
0=20t-5t2
t2-4t=0
t1=0，t2=4.当小球飞行0
s和4
s时，它的高度为0
m.这表明小球从飞出到到落地要用4
s，即0
s时小球从地面飞出，4
s时小球落回地面.从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．例如，已知二次函数
y=-x2＋4x
的值为
3，求自变量
x
的值，可以看作是解一元二次方程
-x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．反过来，解方程
x2－4x+3=0
又可以看作已知二次函数
y
=
x2－4x+3
的值为0，求自变量
x
的值．思考
下列二次函数的图象与
x
轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当
x
取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1)
y=x2-x+1；
(2)
y=x2-6x+9；
(3)
y=x2+x-2.图象如图所示：可以看出：（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值为0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.（2）抛物线y
=
x2－6x＋9与x轴有一个公共点，它们的横坐标是3.
当x=3时，函数值为0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根是3.（3）抛物线y
=
x2－x＋1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与
x
轴的位置关系（即与
x
轴交点个数及交点坐标）.小结：利用二次函数的图象求一元二次方程根的解题步骤：1.画：在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；2.找：在图象中找出抛物线与
x
轴的公共点（交点）的个数及坐标；3.定：根据公共点（交点）的横坐标确定对应一元二次方程的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2-4ac有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0没有交点
没有实数根
b2-4ac<0环节二：典例解析例1
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).分析
1.画出图象，利用函数图象与方程的关系进行分析；2.结果保留小数点后一位即精确到0.1.解：画出y=x2-2x-2的图象它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈
-0.7，x2≈2.7.你还有其他方法吗？我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）.因为抛物线是一条连续的曲线，所以在2例如，取2、3的平均数2.5，用计算器算出对应地函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.
取2.5、3的平均数2.75，用计算器算出对应地函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.重复上述步骤，得出：在这个根在2.625、2.75之间，要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值不小于0.1，由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.用同样的方法估计方程的另外一个根的近似值.这种求根的近似值的方法也适合用于更高次的一元方程.
环节三：课堂练习已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=6,x2=8一元二次方程
3x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=，那么二次函数
y=
3x2+x－10与x轴的交点坐标是(-2,0)，(,0).3.
如果关于x的一元二次方程
x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=1
，此时抛物线
y=x2－2x+m与x轴有1个交点.4.
已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是(
B
)A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=35.若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个公共点，则a的取值范围是
(
D
)A.a＞0
B.a＞C.a＞
D.a＜且a≠06.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；(2)
x取什么值时，函数值大于0；(3)
x取什么值时，函数值小于0.解：图象如图所示.(1)
方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.(2)
x>3或x<-1时，函数值大于0.(3)
-1自主探究，合作交流，同构具体问题理解二次函数图象与一元二次方程的联系.借助典型例题,展示利用二次函数图象求一元二次方程近似值的步骤，并进行总结.学生练习，师生互评订正.
利用图象求出方程的根，体会知识间的联系，形成知识网络.培养学生利用函数图象求方程实数根的步骤.学以致用，让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.2
二次函数与一元二次方程图象与x轴交点个数与根的判别式的关系
例1
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
O
h
t
15
O
h
t
y
x
1
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2－x＋1
y
=
x2＋x－2
o
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共35张PPT)
人教版
九年级上册
22.2
二次函数与一元二次方程
新知导入
学习目标：
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.通过观察二次函数图象与
x
轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.
4.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
新知导入
1.一元二次方程的根的判别式?
2.
y=x2-4x，当y=7时，x是
.
二次函数y=x2-4x与x轴的交点是
.
△=b2-4ac
△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根
△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根
△=b2-4ac<0，方程无实数根
(0,0)
(4,0)
问题
如图，以
40
m/s
的速度将小球沿与地面成
30°
角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度
h(单位：m)与飞行时间
t(单位：s)之间具有函数关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
新知导入
(1)
小球的飞行高度能否达到
15
m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20
m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5
m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
新知导入
分析
由于小球的飞行高度
h(单位：m)与飞行时间
t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程.
如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
新知导入
O
h
t
15
1
3
当小球飞行1
s和3
s时，它的飞行高度为15
m.
解：解方程
15=20t-5t2
t2-4t+3=0
t1=1，t2=3.
结合图形，说一说为什么在两个时间小球的高度为
15
m？
(1)
小球的飞行高度能否达到
15
m？如果能，需要多少飞行时间？
新知导入
(2)小球的飞行高度能否达到20
m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
解方程：
20=20t-5t2
t2-4t+4=0
t1=t2=2.
当小球飞行2
s时，它的高度为20
m.
结合图形，说一说为什么只在一个时间小球的高度为20
m？
新知导入
(3)球的飞行高度能否达到20.5
m？为什么？
O
h
t
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2
t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.
即球的飞行高度达不到20.5
m.
新知导入
结合图形，说明原因？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
解方程
0=20t-5t2
t2-4t=0
t1=0，t2=4.
当小球飞行0
s和4
s时，它的高度为0
m.这表明小球从飞出到
到落地要用4
s，即0
s时小球从地面飞出，4
s时小球落回地面.
新知导入
小球飞出时和落地时的高度都为0
m.
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．
例如，已知二次函数
y=-x2＋4x
的值为
3，求自变量
x
的值，可以看作是解一元二次方程
-x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．
反过来，解方程
x2－4x+3=0
又可以看作已知二次函数
y
=
x2－4x+3
的值为0，求自变量
x
的值．
新知导入
思考
下列二次函数的图象与
x
轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当
x
取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1)
y=x2+x-2；
(2)
y=x2-6x+9；
(3)
y=x2-x+1.
新知讲解
y
x
1
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2－x＋1
y
=
x2＋x－2
o
图象如图所示：
新知讲解
可以看出：
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值为0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.
y
x
1
y
=
x2＋x－2
o
-2
新知讲解
（2）抛物线y
=
x2－6x＋9与x轴有一个公共点，它们的横坐标是3.
当x=3时，函数值为0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根是3.
y
x
1
y
=
x2－6x＋9
o
新知讲解
y
x
1
y
=
x2－x＋1
o
（3）抛物线y
=
x2－x＋1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
新知讲解
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与
x
轴的位置关系（即与
x
轴交点个数及交点坐标）.
新知讲解
小结：
利用二次函数的图象求一元二次方程根的解题步骤：
1.画：在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.找：在图象中找出抛物线与
x
轴的公共点（交点）的个数及坐标；
3.定：根据公共点（交点）的横坐标确定对应一元二次方程的根.
新知讲解
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2-4ac
新知讲解
例1
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
分析
1.画出图象，利用函数图象与方程的关系进行分析；
2.结果保留小数点后一位即精确到0.1.
合作探究
解：画出y=x2-2x-2的图象
y
=
x2－2x－2
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈
-0.7，x2≈2.7.
你还有其他方法吗？
合作探究
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）.因为抛物线是一条连续的曲线，所以在2合作探究
我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.
例如，取2、3的平均数2.5，用计算器算出对应地函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.
取2.5、3的平均数2.75，用计算器算出对应地函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.
合作探究
重复上述步骤，得出：在这个根在2.625、2.75之间，要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值不小于0.1，由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.
用同样的方法估计方程的另外一个根的近似值.
这种求根的近似值的方法也适合用于更高次的一元方程.
合作探究
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是
.
x1=6，x2=8
课堂练习
3.
如果关于x的一元二次方程
x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线
y=x2－2x+m与x轴有
个交点.
2.一元二次方程
3x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=
，那么二次函数
y=
3x2+x－10与x轴的交点坐标是
.
课堂练习
(-2,0)，(
,0)
1
1
4.
已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是(
)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
B
课堂练习
5.若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个公共点，则a的取值范围是
(
)
A.a＞0
B.a＞
C.a＞
D.a＜
且a≠0
D
课堂练习
6.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；
(2)
x取什么值时，函数值大于0；
(3)
x取什么值时，函数值小于0.
解：图象如图所示.
(1)
方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.
(2)
x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3)
-1课堂练习
小结：从图象上观察，函数值大于0，是指x轴上方的图象；函数值小于0，是指x轴下方的图象.
课堂练习
课堂总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac
>
0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
板书设计
22.2
二次函数与一元二次方程
图象与x轴交点个数与根的判别式的关系
例1
练习
作业布置
1.必做题：教材P47
第
1、5题
2.选做题：教材P47
第
6
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
