西藏自治区拉萨市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

拉萨市高一年级（2023届）第二学期期末考试
数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。把答案填涂在答题卡上。
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是( )。
A．若，，且，，则
B．若，，且，则
C．若且，则
D．若，，且，，则
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．设向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
9．执行如图的程序框图，若输入的，，则输出的为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为( )
A． B． C． D．
11．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为( )
A． B． C． D．
12．若函数的部分图象如图所示，则图象的一条对称轴是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为 。
14．已知，为单位向量，且，若，则，　 　．
15．若，≥恒成立，则的取值范围为　　 ．
16．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列函数的结论：
①一条对称轴方程为；
②点时对称中心；
③在区间上为单调增函数；
④函数在区间上的最小值为．
其中所有正确的结论为　 　（写出正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（10分）已知，求值：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间．
19．（12分）已知向量．
（1）求向量，的夹角；
（2）求的值．
20．（12分）已知向量，，其中，且．
（1）求和的值；
（2）若，且，求角．
21．（12分）如图所示，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点。
求证：(1)平面；
(2)平面平面。
22．（12分）如图，矩形中，，。、分别在线段和上，，将矩形沿折起。记折起后的矩形为，且平面平面。
(1)求证：平面；
(2)若，求证：；
(3)求四面体体积的最大值。
数学答案
一、选择题
1-5 CDACC 6-10 BBCCB 11-12 AB
二、填空题
13. 14. 15. ， 16. ②③④
三、解答题
17. 【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
；
（2）
．
18. 【答案】（1）；（2），，.
【解析】（1）因为函数，故函数的最小正周期为．
（2）对于函数，
令，，
解得，，可得函数的增区间为，，．
19. 【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）向量．
；
（向量夹角）；
（2）．
20. 【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，且，
，即．
代入，得，
，
，则．
则，
；
（2），，．
又，．
．
，．
21. 【解析】
证明：(1)如图所示，取的中点，连接、， 1分
∵为的中点，∴且， 2分
又∵平面，平面，，
∴，且， 3分
∴，∴四边形为平行四边形，则， 4分
又平面，平面，∴平面； 5分
(2)∵为等边三角形，为的中点，∴， 6分
∵平面，，∴， 7分
又，∴平面， 9分
又，∴平面， 10分
又∵平面，∴平面平面。 12分
22.
【解析】(1)证明：∵四边形，都是矩形，
∴，，∴四边形是平行四边形， 2分
∴，∵平面，∴平面； 4分
(2)证明：连接，设，∵平面平面，且，
∴平面，∴，
又，∴四边形为正方形，∴， 6分
∴平面，又平面，∴， 8分
(3)解：设，则，其中，由(1)得平面，
∴四面体的体积为：
， 10分
当时，四面体的体积最大，其最大值为。 12分