1.1-1.2 一元二次方程及求解同步训练题（含解析）

初中数学苏科版九年级上册1.1-1.2一元二次方程及求解 同步练习
一、单选题
1.用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（?? ）
A.?（x﹣2）2＝5?????????????????B.?（x﹣2） 2＝3?????????????????C.?（x+2） 2＝5?????????????????D.?（x+2） 2＝3
2.将关于 x 的一元二次方程 x2﹣px+q=0 变形为 x2=px?q ，就可以将 x2 表示为关于 x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 x3=x?x2=x(px﹣q)= …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： x2?x?1=0 ，且 x>0 ，则 x3+1 的值为（??? ）
A.?1+5????????????????????????????????B.?1?5????????????????????????????????C.?3﹣5????????????????????????????????D.?3+5
3.在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（?? ）
A.?y＝﹣x??????????????????????????????B.?y＝x+2??????????????????????????????C.?y =2x??????????????????????????????D.?y＝x2﹣2x
4.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是( ???)
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?1
5.一元二次方程 4x2?4x?3=0 配方后可化为（????? ）
A.?(x+12)2=1????????????????????B.?(x?12)2=1????????????????????C.?(x+12)2=34????????????????????D.?(x?12)2=34
6.一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　）
A.?x＝2??????????????????????????B.?x1＝0，x2＝2??????????????????????????C.?x1＝2，x2＝1??????????????????????????D.?x＝﹣1
7.已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（? ）
A.?无实数根????????????????????????????????????????????????????????????B.?有两个相等或不相等的实数根
C.?有两个不相等的实数根???????????????????????????????????????D.?有两个相等的实数根
8.已知 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2?2x?m2=0 的两根，下列结论中不一定正确的是（?? ）
A.?x1+x2>0????????????????????????B.?x1?x2<0????????????????????????C.?x1≠x2????????????????????????D.?方程必有一正根
9.关于x的方程 x2﹣2x+a=0 （a为常数）无实数根，则点 (a,a+1) 在（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
10.若关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1 ， x2 ， 则k的最大整数值为（　　）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?0?????????????????????????????????????????D.?不存在
二、填空题
11.关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m ?32= 0有实数根，则实数m的取值范围是________．
12.如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是________．
13.已知 x=1 是方程 x2+bx?2=0 的一个根，则方程的另一个根是________．
14.若一元二次方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c=________
15.已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是________．
16.一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是________．
三、计算题
17.解方程： 12 x2﹣x﹣1＝0．
四、解答题
18.小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
五、综合题
19.已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 m 的值，并求此时方程的根．
20.关于x的一元二次方程 x2?mx+2m?4=0 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
21.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 i2=?1 ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 a+bi （ a ， b 为实数）， a 叫做这个复数的实部， b 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 x2=?1 ，解得： x1=i ， x2=?i ．同样我们也可以化简 ?4=4×(?1)=22×i2=2i ．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空： i3= ________， i4= ________， i2+i3+i4+???+i2021= ________．
（2）已知 (a+i)(b+i)=1?3i ，写出一个以 a ， b 的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程： x2?4x+8=0 ．
22.对于实数 m 、 n ，定义一种运算： m△n=mn+n ．
（1）求 ?2△32 的值：
（2）如果关于 x 的方程 x△(a△x)=?14 有两个相等的实数根，求实数 a 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：移项得
x2+4x＝-1
配方得：
x2+4x+4＝-1+4
∴ （x+2） 2＝3
故答案为：D.
2.【答案】 D
解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ 1±52 ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x?x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ x3+1=2x+2=2?5+12+2=5+3 ，
故答案为：D．
3.【答案】 B
解：因为“好点”为横、纵坐标相等的点，所以令下列各项中y=x
A.x=-x，可得x=0，存在“好点”（0,0）；
B.x=x+2，方程无解，不存在“好点”；
C.x=2x ， 解得x=±2 ， 存在“好点”2，2和?2，?2；
D.x=x?-2x，解得x=0或3，存在“好点”（0,0）和（3，3）。
故答案为：B
4.【答案】 C
解：∵ 关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
∴△=22?4k?1×?2≥0k?1≠0 ，
解得k≥12且k≠1，
故答案为：C.
5.【答案】 B
解：∵ 4x2?4x?3=0 ，
∴ 4x2?4x=3 ，
则 x2?x=34 ，
∴ x2?x+14=34+14 ，即 (x?12)2=1 ，
故答案为：B．
6.【答案】 C
解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C ．
7.【答案】 C
解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，
∴0＜k＜1，
则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），
＝1+4k2+4k ，
＝（2k+1）2 ，
因为0＜k＜1，
所以（2k+1）2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C ．
8.【答案】 B
解：∵ x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2?2x?m2=0 的两根，
∴ x1+x2=2>0 ， x1?x2=?m2≤0 ， Δ=(?2)2?4×1×(?m2)=4+4m2>0 ，
∴ x1≠x2 ，方程必有一正根，
故答案为：B.
9.【答案】 A
解：∵a＝1，b＝?2，c＝a ，
∴△＝b2?4ac＝（?2）2?4×1×a＝4?4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a ， a＋1）在第一象限，
故答案为：A．
10.【答案】 C
解：关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1 ， x2 ，
∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤ 23 ，
所以k的最大整数值为0．
故答案为：C ．
二、填空题
11.【答案】 m ≤72
解：
一元二次方程2x2﹣4x+m??32=?0有实数根?，
则△=?42?4×2×m?32≥0
解得m≤72
12.【答案】 k≤ 94 且k≠0
解：关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1=0有两个实数根，
∵ a=k ， b=?3 ， c=1 ，
∴ △=b2?4ac=(?3)2?4×k×1≥0 且 k≠0 ，
解得 k≤94 且 k≠0 ．
故答案为： k≤94 且 k≠0 ．
13.【答案】 x= ?2
解：设方程 x2+bx?2=0 的另一个根为x ，
∵ x=1 是方程 x2+bx?2=0 的一个根，
∴根据根与系数关系定理，得 1?x=ca=?2 ，
∴x=?2 ，
故答案为：x= ?2 .
14.【答案】 9
解：∵一元二次方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=0
∴36-4c=0
解之：c=9.
故答案为：9.
15.【答案】 12
解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a+4＝2（a2+3a）+4＝2×4+4＝12．
故答案为：12．
16.【答案】 4
解：将x＝2代入x2﹣c＝0，
∴4﹣c＝0，
∴c＝4，
故答案为：4；
三、计算题
17.【答案】 解：∵ 12 x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x＝1± 3 ；
四、解答题
18.【答案】 解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.?
五、综合题
19.【答案】 （1）解：由题意， Δ=b2?4ac>0 ，
即 (2m+1)2?4m2>0 ．
解得， m>?14
（2）解：∵ x=?2m?1±4m+12 ，
由题意， Δ=4m+1 是平方数，
设 m=2 ，
原方程为 x2+5x+4=0 ，
(x+1)(x+4)=0 ，
x+4=0 或 x+1=0 ，
解得， x1=?4 ， x2=?1 ．
∴当 m=2 时，方程的两个整数根为 x1=?4 ， x2=?1
20.【答案】 （1）证明： ∵a=1,b=?m,c=2m?4 ，
∴△=b2?4ac=(?m)2?4(2m?4)
=m2?8m+16
=(m?4)2
∵无论m取何值时， (m?4)2≥0 ，
∴此方程总有两个实数根
（2）解： ∵△=(m?4)2≥0 ，
∴x=?b±△2a=m±(m?4)2 ．
∴x1=m?2,x2=2 ．
∵此方程有一个根小于1，且 x2=2≥1 ．
∴m?2<1 ．
∴m<3
21.【答案】 （1）-i；1；0
（2）解：∵ (a+i)(b+i)=1?3i ，
∴ ab+ai+bi+i2=1?3i ， ab?1+(a+b)i=1?3i ，
∴ ab?1=1 ， ab=2 ， a+b=?3 ，
∴以 a ， b 的值为解的一元二次方程可以为： x2+3x+2=0 ．
（3）解： x2?4x+8=0 ，
x2?4x+4=?4 ，
(x?2)2=4i2 ，
x?2=±2i ，
∴ x1=2+2i ， x2=2?2i ．
【解析】【解答】（1） i3=i2?i=?i ，
i4=(i2)2=(?1)2=1 ，
∵ i2+i3+i4+i5=?1?i+1+i=0 ，
∴ i6+i7+i8+i9=i4(i2+i3+i4+i5)=1×(i2+i3+i4+i5)=1×0=0 ，
同理： i10+i11+i12+i13=0 ，
每四个为一组，和为0，
共有 (2021?1)÷4=505 组，
∴ i2+i3+i4+i5+...+i2021=0 ，
22.【答案】 （1）解： ?2△32=?2△42
=?2×42+42
=?82+42
=?42
（2）解： x△(a△x)=?14 ，
x△(ax+x)=?14
x(ax+x)+(ax+x)=?14
(a+1)x2+(a+1)x+14=0
整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0．
∵关于x的方程 x△(a△x)=?14 有两个相等的实数根，
∴ {a+1≠0△=16(a+1)2?16(a+1)=0 ，
∴a＝0．