1.3 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题（含解析）

初中数学苏科版九年级上册1.3根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1.已知Rt △ABC 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 x2?12x+32=0 的两个实数根，那么 △ABC 的面积为（? ）
A.?16??????????????????????????????????????B.?32??????????????????????????????????????C.?85??????????????????????????????????????D.?165
2.下列一元二次方程中，两个根分别是-2和3的是(??? )
A.?x2+x-6=0????????????????????????B.?x2-x-6=0????????????????????????C.?x2-5x+6=0????????????????????????D.?x2+5x+6=0
3.若m，n为方程 x2?3x?1=0 的两根，则多项式 m2+3n 的值为（?? ）
A.?-8??????????????????????????????????????????B.?-9??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?10
4.如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（?? ）
A.?7??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?﹣2??????????????????????????????????????????D.?0
5.方程 x2?3x+1=0 的两个根为x1 ， x2 ， 则 x1?x2 等于（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?-3
6.方程 x2?5x?6=0 的两根之和为（??? ）
A.?-6??????????????????????????????????????????B.?5??????????????????????????????????????????C.?-5??????????????????????????????????????????D.?1
7.已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1 ， x2 ， 则 1x1+1x2 的值为（? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?－1 ??C.?－ 12???????????????????????????????????????D.?－2
8.已知 x1 ， x2 是方程2 x2 +2x-3=0的两个根，则 2x12?1?1x12+x2+1 的值为（　　）
A.?13??????????????????????????????????????????B.?23??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?43
9.设关于x的方程 x2?(a+b)x+ab?1=0 的两个实数根为 x1 、 x2 ，现给出三个结论：① x2≠x2 ；② x1x2A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????D.?无法确定
10.关于x的方程 (x?3)(x?2)=p2 （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（?? ）
A.?两个正根???????????????B.?两个负根???????????????C.?一个正根，一个负根???????????????D.?根的符号与p的值有关
二、填空题
11.设 x1 ， x2 是关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两个根，且 x1+x2?x1x2=2 ，则 m= ________.
12.方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1 ， x2满足x12+x22＝4，则k的值为________．
13.a、b是一元二次方程 x2?x?3=0 的两根，则 a2?2a?b 值为________.
14.已知关于x的方程x2+x+n＝0有两个实数根3，m，则m＝________.
15.若x1 ， x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值＝________.
16.若m ， n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是________．
17.若 x1 ， x2 是方程 x2?4x?2021=0 的两个实数根，则代数式 x12?2x1+2x2 的值等于________.
18.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则 βα+αβ 的值是________.
19.设 x1 ， x2 是方程 x2+3x?3=0 的两个实数根，则 x2x1+x1x2 的值为________.
三、解答题
20.已知 x1 、 x2 是关于 x 的一元二次方程 x2?2(k+1)x+k2+2=0 的两实根，且 (x1+1)·(x2+1)=8 ，求 k 的值．
21.已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
解：设一元二次方程 x2?12x+32=0 的两个实数根分别是： x1，x2 ，
∴ x1x2=32 ，
∵Rt △ABC 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 x2?12x+32=0 的两个实数根，
∴ △ABC 的面积=32÷2=16．
故答案为：A．
2.【答案】 B
解：设方程的两个根为x1 ， x2，
∵两个根分别是-2和3，
∴x1+x2=1，x1·x2=-6；
A、x1+x2=-1，x1·x2=-6，故A不符合题意；
B、x1+x2=1，x1·x2=-6，故B符合题意；
C、x1+x2=5，x1·x2=6，故C不符合题意；
D、x1+x2=-5，x1·x2=6，故D不符合题意；
故答案为：B.
3.【答案】 D
解：由韦达定理可知： m+n=3 ，则 m=3?n ，
又m为方程 x2?3x?1=0 的根，
则 m2?3m?1=0 ，
将 m=3?n 代入得： m2?3(3?n)?1=0 ，
整理得： m2+3n=10 ，
故答案为：D.
4.【答案】 A
解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故答案为：A.
5.【答案】 A
解：∵ x2?3x+1=0 的两个根为x1 ， x2 ，
∴ x1?x2 = 11=1 .
故答案为：A
6.【答案】 B
解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ??51=5 ，
故答案为：B．
7.【答案】 D
【解析】【解答】由题意得，
x1+x2=??21=2 ， x1?x2=?11=?1 ，
∴ 1x1+1x2 = x1+x2x1?x2=2?1=?2 .
故答案为：D.
8.【答案】 B
解：∵ x1 ， x2 是方程2 x2 +2x-3=0的两个根，
∴ x1 ＋ x2 = -1
∴ x2 = - x1 -1，
且2 x12 +2 x1 -3=0，
∴ x1 ( x1 +1)= 32 ，
代入要求的式子中,得:
2x12?1 - 1x12+x2+1
= 2x12?1 - 1x12?x1
= 2(x1+1)(x1?1) - 1x1(x1?1)
= 1x1(x1+1)
= 23 .
故答案为：B.
9.【答案】 B
解：①∵方程 x2?(a+b)x+ab?1=0 中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2；故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确；
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2；
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2 ，
即x12+x22＞a2+b2；故③错误；
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故答案为：B.
10.【答案】 D
解：∵关于x的方程（x-3）（x-2）=p2（p为常数），
∴x2-5x+6-p2=0，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6-p2 ，
∴根的符号与p的值有关，
故答案为：D.
二、填空题
11.【答案】 -6
解：根据题意得：
a=1,b=4,c=m
∴x1+x2=?4,x1?x2=m
∵x1+x2?x1x2=2
∴?4?m=2
∴m=?6 ，
故答案为： ?6
12.【答案】 1
解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ 12 ．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1?x2+x22﹣2x1?x2＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1?x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0,
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
13.【答案】 2
解： ∵a ， b 是一元二次方程 x2?x?3=0 的两根，
∴a+b=1 ，a2-a-3=0，
∴a2=a+3 ，
∴a2?2a?b=a+3?2a?b=3?(a+b)=3?1=2 ，
故答案为：2.
14.【答案】 -4
解：∵关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根 3,m ，
∴ 3+m=?1 ，
解得 m=?4 ，
故答案为：-4.
15.【答案】 -3
解：根据题意得x1x2＝ ca=?31 =﹣3.
故答案为﹣3.
16.【答案】 31
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n=5，mn=-2,
∴原式=m2+n2+2mn-2mn﹣mm=（m+n）2-3mn=25-3×（-2） =25+6=31.
故答案为：31.
17.【答案】 2029
解：∵x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029.
故答案为：2029.
18.【答案】 ?5827
解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴α+β=?23，α·β=?93=?3
∴βα+αβ=α2+β2αβ=α+β2?2αβαβ=49?2×?3?3=?5827.
故答案为：?5827.
19.【答案】 -5
【解析】【解答】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
∴ x2x1+x1x2 = x22+x12x1x2=(x1+x2)2?2x1x2x1x2=32?2×(?3)?3 =-5，
故答案为-5.
三、解答题
20.【答案】 解：由已知定理得： x1+x2=2(k+1) ， x1x2=k2+2 ，
∴ (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=2(k+1)+k2+2+1=8 ，
即 k2+2k?3=0 ，解得： k1=?3，k2=1 ，
当 k1=?3 时，△= 4(k+1)2?4(k2+2)=42?4×11<0 ，
∴ k1=?3 舍去；
当 k2=1 时， △= 4(k+1)2?4(k2+2)=(?4)2?4×3>0 ，
∴ k 的值为1．
21.【答案】 解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8.