2021-2022学年华东师大版八年级数学上册《第13章 全等三角形》 单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大版八年级数学上册《第13章 全等三角形》 单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 311.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-31 18:12:56 | ||
图片预览
文档简介
第13章
全等三角形
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm
B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA
D．连接A、B两点
2下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②三角形的一个外角大于任何一个内角；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④若a2＝b2，则a＝b．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝40°，则∠F等于（ ）
A．80°
B．40°
C．120°
D．60°
5下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作，∠DEF即为所求作的角．
A．表示点E
B．表示PQ
C．表示OQ
D．表示射线EF
6，如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD，补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD
B．BC＝BD
C．∠CAB＝∠DAB
D．∠ACB＝∠ADB
7如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCF
B．AE＝7cm
C．EF平分AB
D．AB⊥CF
8.如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a＞0
B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP＝EP
D．的长
9.如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7
B．10
C．15
D．17
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出 的长就等于AB的长．这是因为可根据 方法判定△ABC≌△DEC．
11如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE＝CD，则△
≌△
，理由是
．
12如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝10cm，AB的垂直平分线交BC于G，△AGC的周长为18cm，那么底边AC＝ cm．
13如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离为
cm．
15如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作∠MDN＝60°角，两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
16如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
17如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
三、解答题（本题共计6小题，共计66分，）
18如图，D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．求∠BPD的度数．
19如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．
20如图，已知B，D在线段AC上，且AD＝CB，BF＝DE，∠AED＝∠CFB＝90°．求证：△AED≌△CFB．
21如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形．
22如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．
23如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
第13章
全等三角形
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm
B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA
D．连接A、B两点
【考点】作图—尺规作图的定义．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】D
【分析】利用射线的定义对A、C进行判断；根据两点间的距离的定义和线段的定义对B、D进行判断．
【解答】解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
2下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②三角形的一个外角大于任何一个内角；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④若a2＝b2，则a＝b．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；符号意识．
【答案】A
【分析】直接利用平行线的性质以及对顶角的性质和非负数的性质分别判断即可．
【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题；
②三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角，故原命题是假命题；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题；
④若a2＝b2，则a＝±b，故原命题是假命题．
故选：A．
3.
A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】推理与论证．
【答案】B
【分析】首先利用已知得出A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，进而得出B队只能和C、D、E中的两个队比赛，再利用D队只赛过一场，得出B队必须和C、E各赛1场，即可得出E队赛过2场．
【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，
已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，
又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），
所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场．
故选：B．
4已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝40°，则∠F等于（ ）
A．80°
B．40°
C．120°
D．60°
【考点】全等三角形的性质．
【答案】D
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠D＝∠A，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝80°，
∵∠E＝40°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣80°﹣40°＝60°．
故选：D．
5下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作，∠DEF即为所求作的角．
A．表示点E
B．表示PQ
C．表示OQ
D．表示射线EF
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．
【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
6，如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD，补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD
B．BC＝BD
C．∠CAB＝∠DAB
D．∠ACB＝∠ADB
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AC＝AD，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
B．AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，BC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
C．∠CAB＝∠DAB，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，AB＝AB，符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：A．
,7如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCF
B．AE＝7cm
C．EF平分AB
D．AB⊥CF
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠F＝∠BCF，故A正确；
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△FEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△FEC（HL），
∴AC＝EF＝12cm，
∵CE＝BC＝5cm，
∴AE＝AC﹣CE＝7cm．故B正确；
如果AE＝CE，
∵EF∥BC，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EF平分AB，
而AE与CE不一定相等，
∴不能证明EF平分AB，故C错误；
∵Rt△ABC≌Rt△FEC，
∴∠A＝∠F，
∴∠A+∠ACD＝∠F+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB⊥CF，故D正确．
∴结论不正确的是C．
故选：C．
8.如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a＞0
B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP＝EP
D．的长
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的画法判断即可．
【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于DE，否则没有交点，
故选：D．
9.如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7
B．10
C．15
D．17
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】B
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
【解答】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为17，AB＝7，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．
故选：B．
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出 的长就等于AB的长．这是因为可根据 方法判定△ABC≌△DEC．
【考点】全等三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：量出DE的长就等于AB的长．
这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC．
故答案为：DE，SAS．
11如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE＝CD，则△
≌△
，理由是
．
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件BD⊥AC，CE⊥AB判定△BEC和△CDB中都是直角三角形；然后根据直角三角形全等的判定定理来证明△BEC≌△CDB（HL）．
【解答】证明：在△BEC和△CDB中，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴△BEC和△CDB中都是直角三角形；
BC＝CB（公共边），
BE＝CD（已知），
∴△BEC≌△CDB（HL）．
12如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝10cm，AB的垂直平分线交BC于G，△AGC的周长为18cm，那么底边AC＝ cm．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】8．
【分析】根据垂直平分线的性质得到GA＝GB，然后根据△AGC的周长为18cm得到AC+CB＝18cm，最后根据BC＝10cm求得答案即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于G，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为18cm，
∴AC+CG+GA＝18cm，
即：AC+CB＝18cm，
∵AB＝BC＝10cm，
∴AC＝8cm．
故答案为8．
13如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
14如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离为
cm．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】要求点D到AB的距离，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知，只要求得D到AC的距离即可，而D到AC的距离就是CD的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD是点D到AB的距离，
∵CD＝10﹣6＝4，
∴点D到AB的距离为4．
故答案为：4．
15如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作∠MDN＝60°角，两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠DBC＝30°，
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝60°，
∴∠BDM+∠BDF＝60°，
在△DMN和△DMF中，，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN＝MF，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝1+1＝2；
故答案为：2．
16如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】8．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
17如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，根据平行线的性质可得∠B＝∠E，再添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB＝ED，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB＝ED．
三、解答题（本题共计6小题，共计66分，）
18如图，D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．求∠BPD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】30°．
【分析】连接CD，由三角形ABC为等边三角形得到AB＝BC＝AC，由AD＝BD可得点C，D都在AB的的垂直平分线上，根据等腰三角形三线合一可得∠ACD＝∠BCD＝30°，再由BP＝AB，得到BC＝BP，利用SAS即可得△BDP≌△BDC，由全等三角形对应角相等得到∠BCD＝∠BPD＝30°．
【解答】解：连接CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝BD，
∴点C，D都在AB的的垂直平分线上，
∴∠ACD＝∠BCD＝30°，
∵AB＝BC，BP＝AB，
∴BP＝BC，
在△BDP和△BDC中，
，
∴△BDP≌△BDC（SAS）；
∴∠BPD＝∠BCD＝30°．
19如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）等边三角形．证明见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：△ADE是等边三角形，证明如下：
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
20如图，已知B，D在线段AC上，且AD＝CB，BF＝DE，∠AED＝∠CFB＝90°．求证：△AED≌△CFB．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据全等三角形的判定定理HL推出即可．
【解答】证明：∵∠AED＝∠CFB＝90°，
∴在Rt△AED和Rt△CFB中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）．
21如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，加上∠DAE＝60°，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
22如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．
【解答】证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD＝DE（等边三角形的边相等），
∠ABC＝∠EBD＝60°（等边三角形的角是60°）．
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBD﹣∠EBC
∠ABE＝CBD
（等式的性质），
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝DC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD﹣DE＝AE（线段的和差）
∴AD﹣BD＝DC（等量代换）．
23如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝DE，再根据等边对等角证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC＝OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC＝OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
全等三角形
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm
B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA
D．连接A、B两点
2下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②三角形的一个外角大于任何一个内角；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④若a2＝b2，则a＝b．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝40°，则∠F等于（ ）
A．80°
B．40°
C．120°
D．60°
5下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作，∠DEF即为所求作的角．
A．表示点E
B．表示PQ
C．表示OQ
D．表示射线EF
6，如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD，补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD
B．BC＝BD
C．∠CAB＝∠DAB
D．∠ACB＝∠ADB
7如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCF
B．AE＝7cm
C．EF平分AB
D．AB⊥CF
8.如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a＞0
B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP＝EP
D．的长
9.如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7
B．10
C．15
D．17
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出 的长就等于AB的长．这是因为可根据 方法判定△ABC≌△DEC．
11如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE＝CD，则△
≌△
，理由是
．
12如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝10cm，AB的垂直平分线交BC于G，△AGC的周长为18cm，那么底边AC＝ cm．
13如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离为
cm．
15如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作∠MDN＝60°角，两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
16如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
17如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
三、解答题（本题共计6小题，共计66分，）
18如图，D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．求∠BPD的度数．
19如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．
20如图，已知B，D在线段AC上，且AD＝CB，BF＝DE，∠AED＝∠CFB＝90°．求证：△AED≌△CFB．
21如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形．
22如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．
23如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
第13章
全等三角形
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm
B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA
D．连接A、B两点
【考点】作图—尺规作图的定义．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】D
【分析】利用射线的定义对A、C进行判断；根据两点间的距离的定义和线段的定义对B、D进行判断．
【解答】解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
2下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②三角形的一个外角大于任何一个内角；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；
④若a2＝b2，则a＝b．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；符号意识．
【答案】A
【分析】直接利用平行线的性质以及对顶角的性质和非负数的性质分别判断即可．
【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题；
②三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角，故原命题是假命题；
③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题；
④若a2＝b2，则a＝±b，故原命题是假命题．
故选：A．
3.
A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】推理与论证．
【答案】B
【分析】首先利用已知得出A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，进而得出B队只能和C、D、E中的两个队比赛，再利用D队只赛过一场，得出B队必须和C、E各赛1场，即可得出E队赛过2场．
【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，
已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，
又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），
所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场．
故选：B．
4已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝40°，则∠F等于（ ）
A．80°
B．40°
C．120°
D．60°
【考点】全等三角形的性质．
【答案】D
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠D＝∠A，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝80°，
∵∠E＝40°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣80°﹣40°＝60°．
故选：D．
5下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作，∠DEF即为所求作的角．
A．表示点E
B．表示PQ
C．表示OQ
D．表示射线EF
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．
【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
6，如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD，补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD
B．BC＝BD
C．∠CAB＝∠DAB
D．∠ACB＝∠ADB
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AC＝AD，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
B．AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，BC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
C．∠CAB＝∠DAB，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，AB＝AB，符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：A．
,7如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCF
B．AE＝7cm
C．EF平分AB
D．AB⊥CF
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠F＝∠BCF，故A正确；
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△FEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△FEC（HL），
∴AC＝EF＝12cm，
∵CE＝BC＝5cm，
∴AE＝AC﹣CE＝7cm．故B正确；
如果AE＝CE，
∵EF∥BC，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EF平分AB，
而AE与CE不一定相等，
∴不能证明EF平分AB，故C错误；
∵Rt△ABC≌Rt△FEC，
∴∠A＝∠F，
∴∠A+∠ACD＝∠F+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB⊥CF，故D正确．
∴结论不正确的是C．
故选：C．
8.如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a＞0
B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP＝EP
D．的长
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的画法判断即可．
【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于DE，否则没有交点，
故选：D．
9.如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（ ）
A．7
B．10
C．15
D．17
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】B
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
【解答】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为17，AB＝7，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．
故选：B．
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出 的长就等于AB的长．这是因为可根据 方法判定△ABC≌△DEC．
【考点】全等三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：量出DE的长就等于AB的长．
这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC．
故答案为：DE，SAS．
11如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE＝CD，则△
≌△
，理由是
．
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件BD⊥AC，CE⊥AB判定△BEC和△CDB中都是直角三角形；然后根据直角三角形全等的判定定理来证明△BEC≌△CDB（HL）．
【解答】证明：在△BEC和△CDB中，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴△BEC和△CDB中都是直角三角形；
BC＝CB（公共边），
BE＝CD（已知），
∴△BEC≌△CDB（HL）．
12如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝10cm，AB的垂直平分线交BC于G，△AGC的周长为18cm，那么底边AC＝ cm．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】8．
【分析】根据垂直平分线的性质得到GA＝GB，然后根据△AGC的周长为18cm得到AC+CB＝18cm，最后根据BC＝10cm求得答案即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于G，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为18cm，
∴AC+CG+GA＝18cm，
即：AC+CB＝18cm，
∵AB＝BC＝10cm，
∴AC＝8cm．
故答案为8．
13如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
14如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离为
cm．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】要求点D到AB的距离，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知，只要求得D到AC的距离即可，而D到AC的距离就是CD的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD是点D到AB的距离，
∵CD＝10﹣6＝4，
∴点D到AB的距离为4．
故答案为：4．
15如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作∠MDN＝60°角，两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠DBC＝30°，
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝60°，
∴∠BDM+∠BDF＝60°，
在△DMN和△DMF中，，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN＝MF，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝1+1＝2；
故答案为：2．
16如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】8．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
17如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，根据平行线的性质可得∠B＝∠E，再添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB＝ED，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB＝ED．
三、解答题（本题共计6小题，共计66分，）
18如图，D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．求∠BPD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】30°．
【分析】连接CD，由三角形ABC为等边三角形得到AB＝BC＝AC，由AD＝BD可得点C，D都在AB的的垂直平分线上，根据等腰三角形三线合一可得∠ACD＝∠BCD＝30°，再由BP＝AB，得到BC＝BP，利用SAS即可得△BDP≌△BDC，由全等三角形对应角相等得到∠BCD＝∠BPD＝30°．
【解答】解：连接CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝BD，
∴点C，D都在AB的的垂直平分线上，
∴∠ACD＝∠BCD＝30°，
∵AB＝BC，BP＝AB，
∴BP＝BC，
在△BDP和△BDC中，
，
∴△BDP≌△BDC（SAS）；
∴∠BPD＝∠BCD＝30°．
19如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）等边三角形．证明见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：△ADE是等边三角形，证明如下：
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
20如图，已知B，D在线段AC上，且AD＝CB，BF＝DE，∠AED＝∠CFB＝90°．求证：△AED≌△CFB．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据全等三角形的判定定理HL推出即可．
【解答】证明：∵∠AED＝∠CFB＝90°，
∴在Rt△AED和Rt△CFB中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）．
21如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，加上∠DAE＝60°，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
22如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．
【解答】证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD＝DE（等边三角形的边相等），
∠ABC＝∠EBD＝60°（等边三角形的角是60°）．
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBD﹣∠EBC
∠ABE＝CBD
（等式的性质），
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝DC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD﹣DE＝AE（线段的和差）
∴AD﹣BD＝DC（等量代换）．
23如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝DE，再根据等边对等角证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC＝OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC＝OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．