广东省佛山市三水区2012届高三5月考前金题巧练理科数学（7）

2012考前金题巧练（7）
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已知椭圆的一个顶点为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值．
2.已知的顶点A、B在椭圆（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及的面积；（Ⅱ）当，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.
3.已知椭圆的中心在原点，左焦点为，离心率为．设直线与椭圆有且只有一个公共点，记点在第一象限时直线与轴、轴的交点分别为，且向量 ,求：(Ⅰ)椭圆的方程；（Ⅱ）的最小值及此时直线的方程.
4.已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.
5.已知椭圆:的右焦点为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（Ⅱ）设过点的直线
交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
6.已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
8.已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得 若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
.
9.已知椭圆的右焦点为
，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭
圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂
心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
10.已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
2012考前金题巧练（7）参答
1.解：（Ⅰ）设，依题意得 ，
解得. 所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）①当
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由已知得
代入椭圆方程，整理得
于是 故
当且仅当时等号成立，此时
③当 综上：，
面积取最大值
2.解：（Ⅰ）因为且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为
由得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。
又的距离。
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为
由 因为A，B两点在椭圆上，所以即设A，B两点坐标分别为，则
且
又的距离， 即
边最长。（显然）,所以，AB所在直线的方程为
3.解：(Ⅰ)由题意可知，，所以，于是，由于焦点在轴上，故C椭圆的方程为
（Ⅱ）设直线的方程为：，
消去得： 直线与曲线有且只有一个公共点，
即① ∵,② 将①式代入②得： 当且仅当时，等号成立，故，此时直线方程为：.
4.解：（Ⅰ）因为，所以，.设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得， 所以椭圆方程为.
（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设的方程为， 由消去整理，得，由题意知，解得. 设，，则， ①， .… ②.因为与的面积相等，
所以，所以. ③ 由①③消去得. ④ 将代入②得. ⑤
将④代入⑤，整理化简得，解得，经检验成立. 所以直线的方程为.
5.解：（Ⅰ）由题意可知：，，所以. 所以 .
所以 椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.
（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，.
由可得：.，，.所以 的面积
.
因为的面积为， 所以.令，则.
解得（舍），.所以.
所以直线的方程为或.
6. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 因为椭圆的离心率为，
所以，.故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）当轴时，显然.当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由消去整理得 .设，线段的中点为，则 .所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 当时，；当时，.
所以，或. 综上，的取值范围是.
7.解：（Ⅰ）由已知可得 ， 所求椭圆方程为．
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．设，，由 得 ,则．由已知，所以，即．所以，整理得 ．故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）．若直线的斜率不存在，设方程为，设，，由已知，得．此时方程为，显然过点（）．综上，直线过定点（）．
8.解: （Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为. 因为，所以，. 设椭圆方程为, 由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以,解得. 所以椭圆方程为.
（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设直线的方程为， 由消去，整理得.由题意知，解得.设，，则，. 又直线与椭圆相切，由解得，所以. 则. 所以. 又
所以，
解得.经检验成立. 所以直线的方程为.
9.解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，
故椭圆方程为．
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，
设，因为，，故．于是设直线的方程为，由得．由，得， 且,．由题意应有，又，故，得．即．
整理得．解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．当时，所求直线存在，且直线的方程为．
10.解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.
由题意可知：，.所以.所以，椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由 解得：或即（不妨设点在轴上方）.则直线的斜率，直线的斜率.因为 ，所以 .所以 .
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.
由消去得：.
因为 点在椭圆的内部，显然. 因为 ，，，
所以 .
所以 .所以 为直角三角形. 假设存在直线使得为等腰三角形，则.取的中点，连接，则.
记点为.另一方面，点的横坐标，
所以 点的纵坐标.
所以 .
所以 与不垂直，矛盾.所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.