北师大版九年级数学上册TPS教学设计训练参考

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授课主题
第01讲-----锐角三角函数与解三角形
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式；掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算；能根据题目已知条件，进行解三角形；能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在
中，（1）
＝
（2）
＝
（3）
＝
2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)（2）sinA、
cosA、tanA是一个比值（数值）（3）sinA、
cosA
、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
（二）特殊角的三角函数值
度
数sinαcosαtanα
30°
45°160°（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在∠A+∠B=90°时
2、同角关系sin2A+cos2A=1.
（四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan
α如图所示，
，即坡度是坡角的正切值．（3）方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．（五）解三角形1、定义锐角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（　　）A．
B．2
C．
D．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（　　）A．
B．
C．
D．例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）A．
B．
C．
D．考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（　　）A．30°
B．60°
C．90°
D．120°例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．例3、
考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　）A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米
D．AB=米例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（　　）A．500sinα
B．
C．500cosα
D．考点四：解三角形例1、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（　　）A．2
B．3
C．3
D．2例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC=　
　．例3、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）A．
B．
C．
D．2、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）A．2
B．
C．
D．3、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（　　）A．b=a?sinB
B．a=b?cosB
C．a=b?tanB
D．b=a?tanB4、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（　　）A．0＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°5、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（　　）A．30°
B．60°
C．90°
D．120°6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为　
　米．7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于
．8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°?tan45°．9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长．课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（　　）A．
B．
C．
D．2、已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（　　）A．
B．
C．
D．3、在△ABC中，，则△ABC为（　　）A．直角三角形
B．等边三角形C．含60°的任意三角形
D．是顶角为钝角的等腰三角形4、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（　　）A．tanB
B．sinB
C．cosB
D．sinB或cosB5、如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　
　．6、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为　
7、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为　
米8、计算：6tan260°﹣cos30°?tan30°﹣2sin45°+cos60°．9、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，BC=10，试求CD的长．1、如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　）A．
B．
C．
D．2、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）A．
B．
C．
D．3、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（　　）A．
B．
C．
D．4、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（　　）A．4米
B．6米
C．12米
D．24米5、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）A．（6+）米
B．12米
C．（4﹣2）米
D．10米6、如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=AC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、正弦，余弦，正切的概念2、特殊角的三角函数值
3、斜坡的坡度
4、解三角形
1、sinA、
cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关
2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。本节课我学到我需要努力的地方是
授课主题
第02讲-----三角函数的应用
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
在实际问题中熟练建立解三角形模型；利用三角函数计算模型中的相关长度；在常见问题中，能熟练做出辅助线构建模型。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理二、知识概念1、相关概念仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tan
α如图所示，，即坡度是坡角的正切值．方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．2、利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤：①弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；②将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；③寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．考点一：解决坡度、坡角实际问题例1、河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（　　）
A．12米
B．4米
C．5米
D．6米例2、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　）
A．5米
B．6米
C．8米
D．（3+）米考点二：方位角问题例1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）A．40海里
B．40海里
C．80海里
D．40海里例2、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（　　）
A．20海里
B．40海里
C．20海里
D．40海里考点三：测量高度例1、如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）A．160m
B．120m
C．300m
D．160m例2、如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号式）考点四：测量距离和宽度例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（　　）A．3000m
B．3000（）m
C．3000（）m
D．1500m例2、如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为（　　）
A．200tan20°米
B．米
C．200sin20°米
D．200cos20°米2、如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽CD=10m，则下底AB的长为（　　）A．55m
B．60m
C．65m
D．70m3、如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（　　）A．8（）m
B．8（）m
C．16（）m
D．16（）m4、如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（　　）A．（﹣1）小时
B．（+1）小时
C．2小时
D．小时
5、如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（　　）
A．cm2
B．cm2
C．cm
2
D．cm26、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）A．200米
B．200米
C．220米
D．100（）米7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？8、如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．课后反击1、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（　　）A．6tan18°cm
B．cm
C．6sin18°cm
D．6cos18°cm2、济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　）A．47m
B．51m
C．53m
D．54m3、如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（　　）A．CD=b
sin33°+a
B．CD=b
cos33°+aC．CD=b
tan33°+a
D．CD=4、如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（　　）
A．22.48
B．41.68
C．43.16
D．55.635、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（　　）
A．4km
B．（2+）km
C．2km
D．（4﹣）km6、课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进27米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．7、如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为（即tan∠PCD=）．（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　）A．50
B．51
C．50+1
D．1012、小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（　　）A．600﹣250米
B．600﹣250米
C．350+350米
D．500米3、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（　　）
A．
B．
C．
D．4、如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
理解坡度的概念，利用坡度解决实际问题熟练掌握相关方位角、观察角的概念，准确构造直角三角形利用三角函数、解三角形知识解决测高、距离和宽度等实际问题1、将实际问题中，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；2、寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解是解决问题的关键．本节课我学到我需要努力的地方是
授课主题
第03讲---二次函数
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握二次函数的定义；掌握二次函数的一般式；能掌握二次函数的简单应用。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架二、知识概念1、二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．注意：（1）二次项系数a≠0；y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式；（2）ax2＋bx＋c必须是整式；（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；（4）自变量x的取值范围是全体实数．
考点一：二次函数的定义例1、下列函数：y=x（8﹣x），y=1﹣x2，y=，y=x2﹣，其中以x为自变量的二次函数有（　　）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个例2、已知二次函数y=1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（　　）A．a=1，b=﹣3，c=5
B．a=1，b=3，c=5
C．a=5，b=3，c=1
D．a=5，b=﹣3，c=1例3、若y=（m+2）是二次函数，则m的值是（　　）A．±2
B．2
C．﹣2
D．不能确定考点二：二次函数数值的相关计算例1、若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（　　）A．1
B．﹣1
C．±1
D．例2、已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）=0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（　　）A．13或3
B．7或3
C．3
D．13或7或3考点三：二次函数的简单应用例1、下列函数关系中，是二次函数的是（　　）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系例2、某软件商品销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，试写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y（元）与x（元）的函数关系式为　
　．例3、如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=15cm，下底BC=40cm，垂直于底的腰CD=30cm，现要截成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD边上，求矩形MPCN的面积S关于MN的长x的函数关系式．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列函数中，属于二次函数的是（　　）A．y=2x+1
B．y=（x﹣1）2﹣x2
C．y=2x2﹣7
D．2、对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c
B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c
D．以上说法都不对3、若y=2是二次函数，则m等于（　　）A．﹣2
B．2
C．±2
D．不能确定4、对于二次函数y=x2+3x﹣2，当x=﹣1时，y的值为　
　．5、某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度χ（m）之间满足二次函数y=χ2（χ＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车的速度为　
　．6、一个二次函数y=（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？7、已知函数y=（m+3）．（1）当m为何值时，它是正比例函数？（2）当m为何值时，它是反比例函数？（3）当m为何值时，它是二次函数？8、某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？课后反击1、下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　）A．y=3x﹣1
B．y=ax2+bx+c
C．y=2t2+1
D．y=x2+2、下列函数中①y=3x+1；②y=4x2﹣3x；③y=+x2；④y=5﹣2x2，是二次函数的有（　　）A．②
B．②③④
C．②③
D．②④3、是二次函数，则m的值为（　　）A．0，﹣2
B．0，2
C．0
D．﹣24、已知二次函数y=x2+3x﹣5，当x=2时，y的值为（
）A．1
B．+1
C．5
D．65、已知函数y=（m2+m）．（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值．6、根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
1、某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　
　．2、如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为　
　．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数的定义二次函数的简单应用
二次函数的解析式中，注意a≠0
本节课我学到了我需要努力的地方是
授课主题
第04讲---二次函数的图像及性质
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握二次函数表达式系数与的图像的关系；能熟练画出二次函数图像；掌握二次函数的图像的性质；利用二次函数图像及性质解决相关问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识框架二、知识概念1、二次函数基本形式：的图像与性质：
注：a
的绝对值越大，开口就越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0
2、二次函数+c的图像与性质
注：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3、二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4、二次函数图象的平移规律方法一：⑴
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
总结：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减”．5、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．6、二次函数图象的画法五点绘图法：一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.7、二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．8、二次函数的图象与各项系数之间的关系
（1）
二次项系数
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．（2）一次项系数总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
（3）
常数项
⑴
当时，抛物线与轴的交点在x轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵
当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶
当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
考点一：
二次函数的图像与性质例1、下列关于抛物线y=x2和y=
-
x2的异同点说法错误的是（
）A．抛物线y=x2和y=
-
x2有共同的顶点和对称轴
B．抛物线y=x2和y=
-
x2关于x轴对称C．抛物线y=x2和y=
-
x2的开口方向相反D．点A（-3，9）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=
-
x2上例2、点（x1，y1），（x2，y2）都在二次函数y=
-
x2的图像上，如果
x1
＜
x2
＜0，那么y1与y2的大小关系是（
）
A．y1
＜
y2
＜0
B．y2
＜
y1
＜0
C．y1＞
y2
＞0
D．y2＞
y1
＞0例3、已知二次函数y
=
mxm+1，它的图像是开口
（填“向上”或“向下”）
的抛物线，当x
时，y的值随x的值增大而增大，此时图像有最
点，对应的y有最
值
（填数字）。
考点二：二次函数+c的图像与性质例1、在右图中画出函数y=-
x2
和
y=-
x2+1的图像，并根据图像回答下列问题：（1）抛物线y=-
x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-
x2（2）函数y=-
x2+1，当x当x
时，y的值随x的值增大而减小；当x
时，函数有最大值，最大值是
；其图像与y轴的交点坐标是
，与x轴的交点坐标是
（3）试说出抛物线y
=
x2
–
3的开口方向、对称轴和顶点坐标。例2、函数y=﹣x2+1的图象大致为（　　）A．
B．
C．
D．考点三：二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质例1、抛物线y＝－3x2＋x－4化为y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝______________，开口向
，对称轴是__________顶点坐标是_________当ｘ＝______时，ｙ有最______值，为_______，当x__________时，ｙ随ｘ增大而增大，当x__________时，ｙ随ｘ增大而减小，抛物线与ｙ轴交点坐标为__________例2、在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）A．
B．
C．
D．考点四：二次函数的图像及性质例1、如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法错误的是（　　）A．abc＞0
B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．a﹣b+c＞0
D．当y＞0时，x＜﹣2或x＞4例2、点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）A．y3＞y2＞y1
B．y3＞y1=y2
C．y1＞y2＞y3
D．y1=y2＞y3考点五：图像的平移例1、若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）A．y=（x﹣2）2+3
B．y=（x﹣2）2+5
C．y=x2﹣1
D．y=x2+4例2、在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（　　）A．y=﹣（x﹣）2﹣
B．y=﹣（x+）2﹣
C．y=﹣（x﹣）2﹣
D．y=﹣（x+）2+
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知二次函数、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（
）A．
B．
C．
D．2、抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数有（　　）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个3、将y=x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（　　）A．y=x2+2
B．y=x2﹣2
C．y=（x+2）2
D．y=（x﹣2）24、如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）A．
B．
C．
D．5、已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）A．1或﹣6
B．﹣1或6
C．1或﹣4
D．1或46、函数y=2x2+4x﹣5中，当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是（　　）A．﹣3≤y≤1
B．﹣7≤y≤1
C．﹣7≤y≤11
D．﹣7≤y＜117、如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？8、已知抛物线
y=x2﹣2x﹣3（1）此抛物线的顶点坐标是　
　，与x轴的交点坐标是　
　，　
　，与y轴交点坐标是　
　，对称轴是　
　（2）在平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣3的图象；（3）结合图象，当x取何值时，y随x的增大而减小．9、如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标课后反击1、如图图形中，阴影部分面积相等的是（　　）A．甲
乙
B．甲
丙
C．乙
丙
D．丙
丁2、在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　）A．y=﹣x2﹣x﹣
B．y=﹣x2+x﹣
C．y=﹣x2+x﹣
D．y=﹣x2﹣x﹣3、已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大4、函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是（　　）A．
B．
C．
D．5、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）A．1
B．2
C．3
D．46、已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．7、设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=﹣c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，求n．
1、已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（
）A．
B．
C．
D．2、对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（
）A．与x轴有两个交点
B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）
D．顶点坐标是（1，﹣2）3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（
）A．y1＜y2
B．y1=y2
C．y1＞y2
D．不能确定4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（　
　）A．1
B．2
C．3
D．45、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）A．y=（x+1）2﹣13
B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13
D．y=（x+1）2﹣3
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、二次函数的图像与性质2、二次函数+c的图像与性质3、二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质4、二次函数的图像及性质
明确图像与各个系数的关系，熟练画出对应二次函数的图像并掌握函数性质，是学好本节内容的关键。
本节课我学到了我需要努力的地方是
授课主题
第05讲-----二次函数的表达式
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
熟练掌握二次函数三种表达式的使用条件；熟练使用待定系数法求解二次函数的解析式；综合运用二次函数的相关知识解决与表达式相关的问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理知识概念（一）二次函数解析式的表示方法1、一般式：（，，为常数，）；2、顶点式：（，，为常数，）；3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.（二）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．考点一：一般式例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（　　）A．y=x2﹣x﹣2
B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2C．y=﹣x2+x+2
D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2例2、如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．考点二：顶点式例1、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（　　）x…﹣1012…y…﹣12…A．y=x
B．y=﹣
C．y=（x﹣1）2+2
D．y=﹣（x﹣1）2+2例2、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）A．y=﹣3（x﹣1）2+3
B．y=3（x﹣1）2+3
C．y=﹣3（x+1）2+3
D．y=3（x+1）2+3例3、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（　　）A．0
5
B．0
1
C．﹣4
5
D．﹣4
1考点三：交点式（两根式）例1、如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（　　）A．y=（x﹣2）2+4
B．y=（x﹣2）2+3
C．y=（x﹣2）2+2
D．y=（x﹣2）2+1例2、图象经过P（3，4）且与x轴两个交点的横坐标为1和﹣2，求这个二次函数的解析式．考点四：待定系数法例1、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC
（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（　　）A．y=1+x2
B．y=（2x+1）2
C．y=（x﹣1）2
D．y=2x22、一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（　　）A．y=﹣2（x﹣1）2+3
B．y=﹣2（x+1）2+3
C．y=﹣（2x+1）2+3
D．y=﹣（2x﹣1）2+33、二次函数y=x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（　　）A．y=（x﹣3）2﹣4
B．y=（x+3）2﹣4
C．y=（x﹣3）2+5
D．y=（x﹣3）2+144、二次函数图象如图所示，则其解析式是（　　）A．y=﹣x2+2x+4
B．y=x2+2x+4
C．y=﹣x2﹣2x+4
D．y=﹣x2+2x+35、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）A．y=x2﹣x﹣2
B．y=x2﹣x+2
C．y=x2+x﹣2
D．y=x2+x+26、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=﹣x+m与x轴交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；
（3）求△MCB的面积．课后反击1、已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（　　）A．﹣1
B．0
C．1
D．22、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式（　　）A．y=﹣2x2+8x+3
B．y=﹣2x?2﹣8x+3
C．y=﹣2x2+8x﹣5
D．y=﹣2x?2﹣8x+23、把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（　　）A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+3
D．y=（x﹣2）2﹣34、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（　　）A．0，5
B．﹣4，1
C．﹣4，5
D．﹣4，﹣15、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）A．y=﹣3（x﹣1）2+3
B．y=3（x﹣1）2+3
C．y=﹣3（x+1）2+3
D．y=3（x+1）2+36、若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（　　）A．y=﹣x2+2x+4
B．y=﹣ax2﹣2ax﹣3（a＞0）C．y=﹣2x2﹣4x﹣5
D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）7、已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），（1）求二次函数和一次函数解析式．
（2）求△OAB的面积．8、已知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，2）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数y=﹣x2+bx+c的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，y1）在图象G上，且y1≥0，求m的取值范围．1、二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　）A．y=（x﹣1）2+2
B．y=（x﹣1）2+3
C．y=（x﹣2）2+2
D．y=（x﹣2）2+42、已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（
）A．
B．
C．
D．3、若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（　　）x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2y﹣27﹣13﹣3353A．5
B．﹣3
C．﹣13
D．﹣274、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　）A．y=x2﹣2x+3
B．y=x2﹣2x﹣3
C．y=x2+2x﹣3
D．y=x2+2x+35、如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立，求点P的坐标．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数表达式的三种形式：一般式、顶点式、交点式；待定系数法1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
授课主题
第06讲-----二次函数的应用
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握二次函数最值的计算；掌握几何图形面积的最值计算；熟练运用二次函数解决最大利润问题；理解二次函数与一元二次方程。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。（2）当自变量X的取值范围遇到限制时，则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中，再根据二次函数的增减性计算出函数的最大值、最小值。2、用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决．一般方法步骤：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．3、二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．（2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．（3）当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：根据实际问题求二次函数表达式例1、为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　）A．y=（x+3）2
B．y=（x﹣3）2
C．y=﹣（x+3）2
D．y=﹣（x﹣3）2例2、某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）A．y=﹣x2+10x+1200（0＜x＜60）
B．y=﹣x2﹣10x+1250（0＜x＜60）C．y=﹣x2+10x+1250（0＜x＜60）
D．y=﹣x2+10x+1250（x≤60）考点二：最值计算问题例1、已知二次函数y=x2﹣6x+8．（1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）当0≤x≤4时，y的最小值是　
　，最大值是　
；（3）当y＜0时，写出x的取值范围．考点三：
几何图形面积的最值问题例1、某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．例2、如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．考点四：求最大利润问题例1、某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：x（元）180260280300y（间）100605040（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出）例2、草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．考点五：二次函数与一元二次方程例1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（　　）A．x＜a
B．x＞b
C．a＜x＜b
D．x＜a或x＞b例2、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（　　）A．0＜k＜4
B．﹣3＜k＜1
k＜﹣3或k＞1
D．k＜4
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列图形中，阴影部分面积为1的是（　　）A．
B．
C．
D．2、已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（　　）A．2013
B．2015
C．2014
D．20103、二次函数y=mx2+x﹣2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（　　）A．0个
B．1个
C．2个
D．1个或2个4、若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（　　）A．当m=0时，x1=2，x2=3
B．m＞﹣C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D．二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）5、如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）A．2m
B．3m
C．4m
D．5m6、如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数y=x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn=（　　）A．
B．
C．
D．7、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？8、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？课后反击1、如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积（　　）A．π
B．π
C．π
D．条件不足，无法求2、如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（　　）A．
B．
C．
D．3、若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）A．0
B．1或9
C．﹣1或﹣9
D．0或﹣1或﹣94、如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=﹣x2图象上，点B0、B1、B2、B3、…、Bn在y轴上（点B0与坐标原点O重合），若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形，则A2011B2010的长为（　　）A．2010
B．2011
C．
D．5、为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）6、某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？1、如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；
②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；
④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（　　）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个2、儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x（x＞0）．（1）求M型服装的进价；（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．3、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数最值的计算几何类二次函数最值的计算应用二次函数解决最大利润问题根据实际问题，建立二次函数模型，准确列出函数表达式，并计算出对应的最值是解决本节问题的关键。
授课主题
第07讲-----圆与圆的对称性
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
从不同角度深刻理解圆的定义；理解并识记与圆相关的概念；掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件；掌握圆的两种对称性；理解圆的对称性，并掌握圆心角、弧、弦之间关系的定理及推论。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理知识概念圆的定义描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作⊙Ｏ，读作“圆O”。集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。与圆有关的概念圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径；圆弧、优弧、劣弧；圆心角、弦、弦心距、弓形、弓形高；同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状、大小均相等的弧）点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d
1、点在圆内
d
＜
r；
2、点在圆上
d
=
r；
3、点在圆外
d
＞
r
圆的对称性
1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（五）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．考点一：
圆的定义例1、在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（　　）A．直线
B．正方形
C．圆
D．菱形例2、某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（　　）A．W1＜W2
B．W1＞W2
C．W1=W2
D．无法确定考点二：
与圆有关的概念例1、下列说法正确的是（　　）A．长度相等的两条弧是等弧
B．优弧一定大于劣弧C．不同的圆中不可能有相等的弦
D．直径是弦且同一个圆中最长的弦例2、下列说法正确的是（　　）A．半圆是弧，弧也是半圆
B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径C．弦是直径
D．直径是同一圆中最长的弦例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为（　　）A．28°
B．34°
C．56°
D．62°考点三：
点与圆的位置关系例1、⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），P的坐标为（4，2），则P与⊙O的位置关系（　　）A．点P在⊙O内
B．点P的⊙O上C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或⊙O外例2、如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？考点四：
圆的对称性例1、下列结论错误的是（　　）A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形C．半圆不是弧
D．同圆中，等弧所对的圆心角相等例2、将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（　　）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴C．圆的直径相互平分
D．垂直弦的直径平分弦所对的弧考点五：圆心角、弧、弦之间的关系已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠C=40°，求∠E及∠AOC的度数．例2、已知：如图，在⊙O中，弦AB∥CD．求证：弧AC与弧BD是等弧．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）A．点A在圆外
B．点A在圆上
C．点A在圆内
D．不能确定2、在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）A．E、F、G
B．F、G、H
C．G、H、E
D．H、E、F3、下列命题，其中正确的有（　　）（1）长度相等的两条弧是等弧
（2）面积相等的两个圆是等圆（3）劣弧比优弧短
（4）菱形的四个顶点在同一个圆上．A．1个
B．2个
C．3个
D．4个4、下列语句中正确的是（　　）A．一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧是等弧
D．经过圆心的每条直线都是圆的对称轴5、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（　　）A．12秒
B．16秒
C．20秒
D．24秒6、已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7、如图，在⊙O中，=，OD=AO，OE=OB，求证：CD=CE．课后反击1、下列说法中，正确的是（　　）A．过圆心的线段是直径
B．小于半圆的弧是优弧C．弦是直径
D．半圆是弧2、下列说法①直径是弦
②半圆是弧
③弦是直径
④弧是半圆，其中正确的有（　　）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个3、如图，⊙O中点A、O、D以及点E、D、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（　　）A．2
B．3
C．4
D．54、一个圆的最长弦长为20cm，则此圆的直径为（　　）A．10cm
B．20cm
C．40cm
D．无法确定5、如图所示，MN为⊙0的弦，∠M=40°，∠MON则等于（　　）A．40°
B．60°
C．100°
D．120°6、如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（　　）A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定7、如图，A、B、C、D四点在同一个圆上．下列判断正确的是（　　）A．∠C+∠D=180°
B．当E为圆心时，∠C=∠D=90°C．若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心
D．∠COD=2∠CAD8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与⊙O的位置关系（　　）A．点B在⊙O外
B．点B在⊙O上C．点B在⊙O内
D．与点O在边AC上的位置有关9、如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是(　　)．A．2
B．2
C．
D．310、如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB=CD．求证：AC=BD．11、如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．1、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．2、如图2，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（
）A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝3、下列命题是真命题的个数有（
）①垂直于半径的直线是圆的切线；
②平分弦的直径垂直于弦；③若是方程x－ay＝3的一个解，则a＝－1；
④若反比例函数的图像上有两点（，y1），（1，y2），则y1A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4、如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120?，弦AB=cm，则OA=
cm
S(Summary-Embedded)——归纳总结
圆的定义与圆有关的概念圆的对称性点与圆的位置关系圆心角、弧、弦之间的关系理解圆的对称性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本节问题的关键。本节课我学到我需要努力的地方是
授课主题
第08讲-----垂径定理
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
深刻理解垂径定理及其推论的内容；熟练掌握垂径定理及其推论的应用条件与结论；应用垂径定理解决实际问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理
二、知识概念
垂径定理1、内
容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆
定
理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧3、推
论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧?
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
　　
（1）平分弦所对的弧?
　　
（2）平分弦
(不是直径)
　　
（3）垂直于弦?
　　
（4）经过圆心考点一：
垂径定理及其推论例1、下列说法不正确的是（　　）A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（　　）A．
B．π
C．2π
D．4π例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）A．（0，0）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，0）
D．（﹣1，﹣1）例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（　　）A．6
B．9﹣
C．
D．25﹣3例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（　　）个．A．1
B．2
C．3
D．0考点二：
应用垂径定理解决实际问题例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？例2、用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列说法中，不成立的是（　　）A．弦的垂直平分线必过圆心
B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧D．垂直于弦的直径平分这条弦2、⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（　　）A．5
B．7
C．9
D．113、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（　　）A．2
B．2
C．4
D．4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（　　）A．10
B．13
C．16
D．195、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，则△ACB的面积为（　　）A．3
B．5
C．6
D．86、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？课后反击1、下列说法正确的是（　　）A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦C．直径是同一个圆中最长的弦
D．过三点能确定一个圆2、下列说法正确的是（　　）A．平分弦的直径垂直于弦B．把（a﹣2）根号外的因式移到根号内后，其结果是﹣C．相等的圆心角所对的弧相等D．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（　　）A．5
B．8
C．2
D．44、如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（　　）A．7cm
B．6cm
C．5cm
D．4cm5、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列结论中不一定正确的是（　　）A．∠ACB=90°
B．DE=CE
C．OE=BE
D．∠ACE=∠ABC6、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（　　）A．4
B．6
C．2
D．37、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414）8、赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）．1、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（　　）A．3
B．2.5
C．4
D．3.52、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（　　）A．2
B．3
C．4
D．53、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）A．cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm4、如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（　　）A．2
B．
C．
D．5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）A．OE=BE
B．=C．△BOC是等边三角形
D．四边形ODBC是菱形6、如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
垂径定理及其逆定理内容及应用条件；应用垂径定理解决实际问题。
熟练掌握垂径定理、逆定理及其推论的内容及应用条件，多加练习，注意总结，熟悉常作的辅助线，是解决本节问题的关键。本节课我学到我需要努力的地方是
授课主题
第09讲-----
圆周角和圆心角的关系
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
明确圆周角定义，掌握圆周角定理及4个相关推论的内容；通过练习总结解题经验，掌握两周常用辅助线的应用条件；理解确定圆条件的意义，并能用相关定理解释；掌握三角形外接圆圆心的确定及不同三角形中外接圆圆心的位置。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理二、知识概念（一）圆周角的定义与圆周角定理1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（二）常用解题思路在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构造同弧所对的圆周角和圆心角，这两种基本技能技巧一定要掌握．
注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．（三）圆内接四边形1、圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．（四）确定圆的条件1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
（五）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
注意：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个而一个圆的内接三角形却有无数个．考点一：
圆周角的定义与圆周角定理请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．例2、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）A．25°
B．30°
C．40°
D．50°例3、如图将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，∠APB的度数（　　）A．45°
B．30°
C．75°
D．60°例4、如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°或150°
考点二：
圆周角定理的推论例1、如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定例2、如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．考点三：
圆内接四边形如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（　　）A．128°
B．100°
C．64°
D．32°例2、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（　　）A．88°
B．92°
C．106°
D．136°考点四：确定圆的条件、三角形的外接圆与外心
例1、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　）A．（6，8）
B．（4，5）
C．（4，）
D．（4，）例3、如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（　　）A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（　　）A．22°
B．26°
C．32°
D．68°
第1题
第2题2、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（　　）A．80°
B．100°
C．110°
D．130°3、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（　　）A．20°
B．30°
C．40°
D．70°4、点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（　　）A．40°
B．100°
C．40°或140°
D．40°或100°5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）A．45°
B．50°
C．60°
D．75°6、下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有（　　）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个7、如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．课后反击1、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（　　）A．50°
B．80°
C．100°
D．130°2、如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（　　）A．△ABC的三边高线的交点P处
B．△ABC的三角平分线的交点P处C．△ABC的三边中线的交点P处
D．△ABC的三边中垂线的交点P处3、下列命题正确的个数有（　　）①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个
B．2个
C．3个
D．4个4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（　　）A．80°
B．100°
C．60°
D．40°5、如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（　　）A．
B．
C．
D．6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．7、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E．（1）求证：∠ABC=∠ADB；（2）若AE=2，ED=4，求AB的长．8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．1、如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）A．25°
B．50°
C．60°
D．30°2、如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　　）A．55°
B．60°
C．65°
D．70°3、如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（
）
A．50°
B．20°
C．60°
D．70°4、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（
）A．6
B．5
C．3
D．35、如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG?CE．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
圆周角的定义、圆周角定理及其推论内容及常作辅助线圆的内接四边形的对角互补确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆圆的外接圆与外心锐角、直角、钝角三角形的外心，外心的确定
本节性质定理内容较多，但整体难度不大，也是中考的重点内容。在做练习前应先熟练理解并记忆，以提高解题速度。另外通过不断练习，注意总结出常作辅助线的应用背景。本节课我学到
我需要努力的地方是
授课主题
第10讲-----直线和圆的位置关系
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
结合图形理解直线与圆的位置关系，并掌握条件；熟练掌握切线的性质与判定定理；掌握三角形内切圆尺规作图的方法与内心性质。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理二、知识概念（一）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（二）直线与圆的位置关系判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交?d＜r
②直线l和⊙O相切?d=r
③直线l和⊙O相离?d＞r．（三）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
1、注意：切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；②
直线过切点；③
直线与圆的切线垂直．2、切线性质的运用（常作辅助线）
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．（四）切线的判定定理1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路）
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；④当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．（五）补充内容：弦切角定理（该部分选讲，证明过程略）1、弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．2、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
　
如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC（∠PCA为弦切角）．
（六）三角形的内切圆与内心
1、内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．3、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．考点一：
直线与圆的位置关系判定例1、已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（　　）A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定例2、如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（　　）A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切例3、如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是（　　）A．﹣1≤x≤1
B．﹣
C．
D．0考点二：
切线的性质例1、如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（　　）A．20°
B．25°
C．40°
D．50°例2、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（　　）A．
B．
C．
D．例3、在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（1）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（2）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．考点三：切线的判定定理
例1、下列直线是圆的切线的是（　　）A．与圆有公共点的直线
B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线
D．到圆心的距离小于半径的直线例2、如图，在△ABC中，∠BAC=28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE∥CB，连接BD，若添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则下列四个条件中不符合的是（　　）A．DE⊥AB
B．∠EDB=28°
C．∠ADE=∠ABD
D．OB=BC例3、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．考点四：三角形的内切圆与内心例1、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（　　）A．3步
B．5步
C．6步
D．8步例2、如图，点O是△ABC的内心，∠A=62°，则∠BOC=（　　）A．59°
B．31°
C．124°
D．121°例3、如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，且OA=OB，边AC所在直线解析式为y=x﹣，若△ABC的内心在y轴上，则tan∠ACB的值为（　　）A．
B．
C．
D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　）A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定2、如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（　　）A．﹣1≤x≤1
B．﹣≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞3、如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（　　）A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能4、如图，线段AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E=50°，则∠CDB等于（　　）A．20°
B．25°
C．30°
D．40°5、如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（　　）A．4
B．2
C．8
D．46、如图，已知一次函数y=﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（　　）A．2
B．
C．
D．7、边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（　　）cm．A．
B．2
C．3
D．68、如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若，AB=6，求sin∠ABD的值．课后反击1、在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（　　）A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三者都有可能2、如图两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为1，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）A．8≤AB≤10
B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5
D．4＜AB≤53、如图，已知AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，点D是⊙O上一点，连接CD，AD．则∠D等于（　　）A．76°
B．38°
C．30°
D．26°4、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（　　）A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.65、如图，已知点A在圆G上，弦BC过点G，GA⊥LK，下列结论错误的是（　　）A．在点A与圆G相切的圆有两个
B．2∠BCA=∠BGAC．∠CAB=90°
D．LK是圆G的切线6、如图点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC=（　　）A．65°
B．50°
C．80°
D．100°7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB
于点E，交BC于点F，EB为⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BC=2，cos∠ABC=时，求⊙O的半径．1、已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断2、若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（　　）A．
B．2﹣2
C．2﹣
D．﹣23、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）A．3
B．2
C．1
D．04、如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC=，求DC的长．5、如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
通过判断圆心到直线的距离与半径的大小，确定直线与圆的位置关系切线的三条性质及切线的判定定理解决与切线相关的问题时常作的辅助线与解题思路三角形内切圆的性质与内心本节内容较多，重点掌握切线的性质与判定定理，并能熟练进行证明或求解，这部分是中考必考点之一。另外，对教案“知识概念”中标出的解题辅助线与解题思路应深刻理解并多加以应用。本节课我学到我需要努力的地方是
授课主题
第11讲-----切线长定理与圆的相关计算
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
理解切线长定理，并能熟练应用；运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理二、知识概念（一）切线长定理1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
3、注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
4、切线长定理包含着一些隐含结论
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
（二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系
??
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接