广东省佛山市三水区2012届高三5月考前金题巧练理科数学（4）

2012考前金题巧练（4）
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1.知函数的图像与函数的图象相切，记
（Ⅰ）求实数b的值及函数F（x）的极值；
（Ⅱ）若关于x的方程F（x）= k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.
2.已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．
3.已知函数 ，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点（3,）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当函数在上有唯一的零点时，求实数的取值范围．
4.设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c； （Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
5.设函数。
（Ⅰ） 如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（Ⅱ） 若时，恒成立，求的取值范围。
6.函数， 其中， 将的最小值记为．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）讨论在区间[-1，1]内的单调性；
（Ⅲ） 若当时，恒成立，其中为正数，求的取值范围．
7.已知为实数,函数.
（Ⅰ）若函数的图象上有与轴平行的切线,求的取值范围；
（Ⅱ）若,对任意,不等式恒成立，求的最小值.
8.对于函数
（Ⅰ）若函数在处的切线方程为,求的值；
（Ⅱ）设是函数的两个极值点,且,证明：
.
9.已知函数
（Ⅰ）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，求证：．
10.已知函数有三个极值点。证明：；
\
11.已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．
2012考前金题巧练（4）参答
1．解：（Ⅰ）依题意，令，得
列表如下：
－1
+ 0 － 0 +
增 极大值 减 极小值0 增
从上表可知处取得极小值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数作函数的图象，当 的图象与函数的图象有三个交点时，关于x的方程
2．解：（Ⅰ）因为，所以．
当时，，函数没有单调递增区间；当时，令，得Ⅱ．故的单调递增区间为；当时，令，得．
故的单调递增区间为．综上所述，当时，函数没有单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和．
所以函数在处取得极小值，函数在处取得极大值．由于对任意，函数在上都有三个零点，
所以即解得．因为对任意，恒成立，所以．所以实数的取值范围是．
3.解：（Ⅰ）当时， ，∴， ∵ 曲线在点处的切线的斜率
∴所求的切线方程为，即
（Ⅱ）当时，函数
∵，令得
，当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增
∴函数在上有最小值，，又
∴当时，函数在上的最大值和最小值分别为.
（Ⅲ） ∵∴
①当时，，解得，这时，函数在上有唯一的零点，故为所求；
②当时，即，这时，又函数在上有唯一的零点，∴，
③当时，即，这时又函数在上有唯一的零点，
∴综上得当函数在上有唯一的零点时， 或或.
4．解：（Ⅰ）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得 因此故，，
（Ⅱ）
因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线， 所以 即解得
所以的取值范围为
5．解：（Ⅰ） 设切线斜率为，则 当时，取最小值-4，
又， 所以，所求切线方程为，即
（Ⅱ） 由，解得：或。
函数在和上是增函数，在上是减函数。
所以 或 或 解得
6.解： (1) ，
当时， 达到其最小值，即；
（Ⅱ）因为，
列表如下：
由此可见，在区间和单调递增，在区间单调递减；
（Ⅲ） ，所以；
既恒成立，所以 ，综合可得k的范围为。
7．解：（Ⅰ）∵∴.
由题意知有实数解. ∴△
∴,即或. 故.
（Ⅱ）∵ ∴ 即.
,令得.
当时,
∴.
故时, ,以,即的
最值为.
8.解：（Ⅰ）由切点为，，有 解得
（Ⅱ）由题，、是方程的两个根，可得两根一正一负，不妨设
设
；
当时，. 所以当时，，即.
9.解：（Ⅰ） ，令即
的增区间为在区间上是增函数，
；
，，
在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，
故对任意，有
10．证明:因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根.设则
当时， 在上为增函数；当时， 在上为减函数；当时， 在上为增函数，
所以在时取极大值,在时取极小值。当或时,最多只有两个不同实根。有三个不同实根, 所以且，
即,且，解得且故.
11.解：（Ⅰ）当时，，得．
因为，
所以当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
（Ⅱ）由，得，
因为对于任意都有成立，
所以问题转化为，对于任意都有．因为，其图象开口向下，对称轴为．
①当时，即时，在上单调递减，
所以，由，得，此时．
②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，由，得，此时．
综上①②可得，实数的取值范围为．
（Ⅲ）设点是函数图象上的切点，
则过点的切线的斜率为，所以过点的切线方程为．因为点在切线上，
所以，
即．若过点可作函数图象的三条不同切线，
则方程有三个不同的实数解．令，则函数与轴有三个不同的交点．令，解得或．因为，，所以必须，即．所以实数的取值范围为．