广东省佛山市三水区2012届高三5月考前金题巧练理科数学（3）

2012考前金题巧练（3）
祝你成功
1.设.
(Ⅰ)若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
2.设.
(Ⅰ)如果在处取得最小值，求的解析式；
（Ⅱ）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和
的值．(注：区间的长度为）
3.已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若,求的取值范围。
4.已知函数，是的一个零点，又 在处有极值，在区间和上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．
(Ⅰ)求的取值范围；
（Ⅱ）当时，求使成立的实数的取值范围．
5.已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．
6.已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）是否存在，使得对任意的，都有，若存在，求 的范围；若不存在，请说明理由．
7.已知函数．
（Ⅰ） 若，求函数极值；
（Ⅱ）设F(x)=，若函数F(x)在[0，1]上单调递增，求的取值范围．
8.已知函数，，
（Ⅰ）求在x=1处的切线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求当在x=1处的切线的斜率最小时，的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否总存在实数m，使得对任意的，总存在，
使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
9.设定义在R的函数，R. 当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称.
（I）求函数的表达式；
（II）判断函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间上，并说明理由；
（III）设，（），求证：.
10.设是函数的两个极值点.
（I）若,求函数的解析式;
（II）若,求的最大值.
2012考前金题巧练（3）参答
1.解: (Ⅰ)在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.
（Ⅱ）令，得两根，，.
所以在，上单调递减，在上单调递增
当时，有，所以在上的最大值为
又，即
所以在上的最小值为，得，，
从而在上的最大值为.
2.解: (Ⅰ)已知，
又在处取极值，
则，又在处取最小值-5.
则，
（Ⅱ）要使单调递减，则
又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：
b-a为区间长度。又
又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合
3.解: (Ⅰ) ，，又
曲线的切线方程是：，在上式中令，得
所以曲线
（Ⅱ）由得，（i）当时，没有极小值；
(ii)当或时，由得
故。由题设知，当时，不等式无解；
当时，解不等式得
综合(i)(ii)得的取值范围是。
4.解: (Ⅰ)因为，所以.
又在处有极值，所以即所以 令 所以或,又因为在区间上是单调且单调性相反
所以所以
（Ⅱ）因为，且是的一个零点，
所以，所以，从而.
所以，令，所以或.
列表如下：
0 2
+ — 0 — + 0 + —
0
所以当时，若，则
当时，若，则从而 或即或所以存在实数，满足题目要求
5.解:（Ⅰ）当时，，．，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（Ⅱ）．
令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：
(1) 若,则．
当变化时，的变化情况如下表：
增 极大值 减
所以在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，等价于
　　即解得，又因为，所以．
(2) 若，则．
当变化时，的变化情况如下表：
增 极大值 减 极小值 增
所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到．
因此在区间上，恒成立，等价于　　　即
解得或，又因为，所以．
综合(1),(2), 的取值范围为.
6.解: (Ⅰ)因为，所以
可知，都有，有．
的单调递增区间为和．
（Ⅱ）当时，且，
当时，都有．
此时，在上单调递减 ．又在上单调递减．．由已知
解得又．．综上所述，存在使对任意，都有成立．
7.解:（Ⅰ）解：当时，
解得：或．∵当时，；
当时，；
当时，.∴的极小值为．
（Ⅱ）解法一：
，
即在上恒成立，即
(Ⅰ)当对称轴时，
只要，即，（Ⅱ）当对称轴或时，
只要
即得或.综上所述，或.
解法二：
，
由已知得：在上恒成立，当时，即时，符合题意；当时，即时，只须或，
∴或，∴；……………………10分
当时，即时，只须或，
∴或，∴．综上所述，或．
8.解: (Ⅰ),
所以在x=1处的切线斜率的取值范围为
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，则
（Ⅲ），则有
x -1 2
+ 0 - 0 +
-20 增 减 增 4
所以当时，，假设对任意的都存在使得成立，设的最大值为T，最小值为t，则
又，所以当时，且，所以．
9.解:（I）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，
∴ 函数的图象关于点对称，即为奇函数.
∴.
由题意可得，解得. ∴.
（II）存在满足题意的两点. 由（I）得.
假设存在两切点，，且.
则.
∵，∴或，
即或.
从而可求得两点的坐标分别为或.
（III）∵当时，，∴ 在上递减.
由已知得，∴，即.
又时，；时，，
∴在上递增，在上递减.
∵，∴.
∵，且，
. ∴.
10.解:（I）, 是函数的两个极值点,,解得.
（II） 是函数的两个极值点,, 是方程的两根.,., ,由,得,,,,令,则,当时,在上是增函数; 当时, 在上是减函数.当时, 有极大值为96,在上的最大值是96, 的最大值是