广东省佛山市三水区2012届高三5月考前金题巧练理科数学（2）

2012考前金题巧练（2）
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1．已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上．
（Ⅰ）求证：平面；　
（Ⅱ）若点D恰为BC中点，且，求的大小；
（III）若，且当时，求二面角的大小．
2．如图4，已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知
（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值;
（III）求三棱锥的体积.
3．在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形。
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；
（III）设为侧棱上一点，;
试确定的值，使得二面角为为.
4．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，
,是线段的中点．
（Ⅰ）求证//平面；（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）试在线段上确定一点，使得与所成的角是60．
5．在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
6. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，
使平面；
（Ⅲ）若平面，平面平面， 求二面角的大小．
7.已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．
8．如图所示，已知四棱锥的底面是边长
为的正方形，在底面上的射影落在正方形内，
且到的距离分别为和
（Ⅰ）求证：是定值；
（Ⅱ）已知是的中点，且，问在棱上是否
存在一点，使异面直线与所成的角为？若存
在，请给出证明，并求出的长；若不存在，请说明理由.
9. 如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
10．如图，在三棱锥中，为的中点，平面⊥平面， ,.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）若动点M在底面三角形ABC上，二面角的余弦值为，求BM的最小值.
2012考前金题巧练（2）参答
1．解：（I）∵B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴
又∵，，∴AC⊥平面
（II）
∴四边形为菱形， 又∵D为BC的中点，∴为侧棱和底面所成的角，
∴∴，即侧棱与底面所成角．
（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a,0,0），B(0,a,0)，，平面ABC的法向量，设平面ABC1的法向量为，由，即， ，∴二面角的大小为
2．解：依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，
空间向量法 如图建立空间直角坐标系，因为＝4，
则
（Ⅰ），
，∴，∴
， ∴，∴，∵ 平面 ∴ ⊥平面
（Ⅱ） 平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为
， 即
令x＝2，则
∴
∴二面角B1—AE—F的余弦值为
（III）因为，∴， ∴
∵，
∴
3．解：（Ⅰ）取的中点，连结，因为为中点，所以，且。在梯形中，，所以四边形为平行四边形，所以平面，平面，所以平面
（Ⅱ）平面平面，，所以平面，所以
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，
，又由平面，
可得，又，所以平面
（III）平面的法向量为，，，设平面的法向量为，，，由得
4解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．
设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴, 又点A、M的坐标分别是,（
∴ =（∴且NE与AM不共线，∴NE∥AM．又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF．
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF．
∴为平面DAF的法向量．
∵=（·=0，
∴=（·=0得
，，∴NE为平面BDF的法向量．
∴cos<=∴AB与NE的夹角是60 ．即所求二面角A—DF—B的大小是60 ．
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（，0，0）
又∵PF和BC所成的角是60 ．∴
解得或（舍去），即点P是AC的中点．
5．（Ⅰ）证明：因为 ，所以 . 因为 平面平面，平面平面， 平面，所以 平面.
（Ⅱ）解：取的中点，连接，因为，所以 .
因为 平面平面，平面平面，平面，
所以 平面. 如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直
线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由
直角梯形中可得，，
.所以 ，.设平面的法向量.因为 所以 即令，则.所以 . 取平面的一个法向量n.所以 .所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.
（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时. 理由如下：
取的中点，连接，，.则 ∥，.
因为 ，所以 .因为 ∥，所以 四边形是平行四边形.所以 ∥.因为 ，所以 平面∥平面. 因为 平面，所以 ∥平面.
6. 证明：（Ⅰ）连接 。因为四边形为菱形，，
所以△为正三角形．又为中点，所以．
因为,为的中点，所以．
又，所以平面．
（Ⅱ）当时，∥平面．下面证明：
连接交于，连接． 因为∥， 所以． 因为∥平面，平面，平面平面，所以∥.所以．所以，即． 因为，所以．所以， 所以∥.又平面，平面，所以∥平面．
（Ⅲ）因为， 又平面平面，交线为，
所以平面． 以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．由===2，则有，，．设平面的法向量为=，由，且，，可得令得．
所以=为的一个法向量，取平面的法向量=，
则， 故二面角的大小为60
7. （Ⅰ）证明：根据题意，在中，，，所以，所以.因为是正方形的对角线，所以．因为，所以.
（Ⅱ）解：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，则有，，，．设，则，．又设面的法向量为，
则即 所以，令，则．
所以．因为平面的一个法向量为，
且二面角的大小为，所以，得．
因为，所以．解得．所以．设平面的法向量为，因为，则，即令，则．
所以．设二面角的平面角为，所以．所以．
所以二面角的正切值为．
8．解：（Ⅰ）证明：在内，作交于，连接，平面，平面，， ，，为定值。
（Ⅱ）解：以O为坐标原点，以OS所在直线为轴，以过O且平行于的直线为轴，以过点O且平行于的直线为轴，建立如图所示直角坐标系，于是
设点，则存在使，
即，得，即令，得
由，知点在棱上，且，
9.解：（Ⅰ） 因 ， 满足：, ,
如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系， 则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c) (由图知a>0,b>0,c>0)得，平面BCD的法向量可取,
，所以平面ABD的一个法向量为 则锐二面角的余弦值
从而有,
所以平面
（Ⅱ）由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，
设异面直线与所成角为,则
（Ⅲ）由可知满足，
是平面ACD的一个法向量,
记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d
则 所以d
10．解：（Ⅰ）因为为的中点, AB=BC，所以,∵平面⊥平面，平面平面,∴平面PAC，∴；
（Ⅱ）以为坐标原点,分别为轴
建立如图所示空间直角坐标系，因为AB=BC=PA=,所以OB=OC=OP=1，从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
∴
设平面PBC的法向量，由，得方程组，取，
∴∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为；
（III）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为∵又因为，∴ 取，
∴=
∴，∴ 或 （舍去）
∴B点到AM的最小值为垂直距离．
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
y
x
z