广东省佛山市三水区2012届高三5月考前金题巧练理科数学（1）

2012考前金题巧练（1）
祝你成功
1.如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.
（Ⅰ）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于,并证明你的结论.
2.如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ。（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD ；
（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；
3.如图，棱柱中，都与平面所成的角相等，
∠CAB=90°，AC=AB=A1B=a，D为BC上的点，且A1C//平面ADB1。求：
（Ⅰ）A1C与平面ADB1的距离；（Ⅱ）二面角A1—AB—C的大小；
（Ⅲ）AB1与平面ABC所成的角的大小。
4．在四棱锥中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求证：；
（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
5如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
6.如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起（转动一定角度），得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、，平面⊥平面。
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求证：、、、四点共面；
（Ⅲ）求异面直线与所有的角。
7．在四棱锥中，，∥，⊥底面，，直线与底面成60°角，点分别是、的中点.
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）当的值为多少时，为直角？
8.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，
若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．
9.如图,在梯形中,∥,，,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.
（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）当为何值时,∥平面 证明你的结论；（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值。
10.已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）.
（Ⅰ）当x=2时，求证：BD⊥EG ；
（Ⅱ）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（Ⅲ）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．
2012考前金题巧练（1）参答
1.解：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为平面的一个法向量。设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，
直线AP与平面所成的角的正切值为。
（Ⅱ）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。
2.解：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．平面平面．
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，
则由．得
可取，又，
于是，
，，．又，．
即直线与平面所成角的取值范围为．
3.解：建立如图坐标系，则A（0，0，0）B（a，0，0），C（0，a，0）
连A1B，由条件知，△A1AB和△A1AC均为等边△且边长为a，
∴∠A1AB=∠A1AC=60°，设A（x，y，z），则
由
同理得
（I）A1C//面ADB1，∵A1C//ED，又E为A1B中点，∴D为BC中点，
∴D，设面ADB1的法向量
则取
设A1C面ADB1的距离为d，则
（Ⅱ）平面ABC的一个法向量为，设平面A1AB的法向量为
则，取
设，则
即二面角A1—AB—C的大小为
（Ⅲ）设AB1与平面ABC所成角为θ2，则
，即AB1与平面ABC所成角为
4.（Ⅰ）证明：因为 底面是菱形
所以 . 因为 ，，
所以 平面.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.
因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 因为 平面，
所以 . 因为 底面是菱形，所以 .所以 .
（Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. 假设存在点（异于点）使得∥平面.
在菱形中，∥，因为 平面，平面，所以 ∥平面. 因为 平面，平面，，所以 平面∥平面.而平面与平面相交，矛盾.
5（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为 ， E为BC的中点，所以AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此AE⊥AD.，因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD
（Ⅱ）由（Ⅰ）由知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，联,平面PAD,是直线HE与平面PAD所成的角,不妨设,则,在,
,当最小时,最大,,此时,由,得,,
,,,,
所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，
故为平面AFC的一法向量. , 又=（-），
所以 cos＜m, ＞=
因为,二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为
6．（Ⅰ）证明:由等腰直角三角形有，CDDE，DE∥BC
又，面ACD，平面，平面，
平面平面。
（Ⅱ）由条件有PQ为的中位线，MN为梯形BCDE的中位线PQ∥DE，MN∥DE PQ∥MN M、N、P、Q四点共面．
（Ⅲ） 解：平面平面,交线为DE, ADDE
AD面BCDE AD、DC、DE两两互相垂直
可以以D为原点建立如图空间直角坐标系，
设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，
则C（2，0，0），A（0，0，2），E（0，2，0），
B（2，4，0）
设异面直线BE与MQ所成的角为，∵MQ∥BC,
∴ ，
异面直线BE与MQ所成的角大小为．ACR为正三角形，＝
异面直线BE与QM所成的角大小为
7．解：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD， ∴AB⊥PD，又AB⊥AD， ∴AB⊥面PAD.
又MN是△PAB的中位线， ∴MN∥AB，从而MN⊥面PAD.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∴∠PMD为二面角P—MN—D的平面角,由已知，在Rt△PAD中，易证：∠PAD=60°，而M是PA的中点，∴∠PMD=120
即所求二面角P—MN—D的大小为120°.
（Ⅱ）令，不妨设AD=2，则，.
以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
D（0，0，0），N（1，2，），C（0，4x，0），
∴（1，2，），（1，2-4x，）；
若∠CND为直角，则必有，即
于是有，解得.
∴当时，∠CND为直角.
8.解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则,,
做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且 又 ，所以C的坐标为 ， 　　　
（Ⅱ）设平面BCE的法向量为 则 即令x=1得 又
设平面DE与平面BCE所成角为，则 .
(III)假设存在点M使得CM∥面ADE，则
, 得 　
又因为， 所以
因为CM∥面ADE，则 即
得 故 点M为BE的中点时CM∥面ADE.
9.解：（Ⅰ）易知AB=2a，所以，因为四边形是矩形,所以，所以平面，所以平面A；所以平面;
（Ⅱ）设AC和BD交于K，所以AK：CK=2，所以AK=，
所以MF= AK=，即EM=
(III)经计算可知EF=，FB=，EB=，所以FEBF，
所以取EF中点为H，BE中点为N，DH=，HN=，DN=，
所以=
10.解：（Ⅰ）∵平面平面，
AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．
，又为BC的中点，BC=4，
．则（－2，2，2），（2，2，0），（－2，2，2），（2，2，0）＝0，∴．
（Ⅱ）∵AD∥面BFC，所以 =VA-BFC＝
，即时有最大值为．
（Ⅲ）设平面DBF的法向量为，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0），∴（－2，2，2），
则 ，即，
取，∴
，面BCF一个法向量为，则cos<>=，由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－．
A
D
E
C
B
Q
A
D
E
C
B
M
N
P
A
D
E
C
B
P
A
B
C
D
M
N
A
D
B
C
V
x
y
z
P
A
B
C
D
M
N
x
y
z
F
z
x
y
H
D
F
E
C
B
M
A
N
x
y
z