2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第20章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第20章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，下列结论成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（　　）
A．60°＜A＜80°
B．30°＜A＜80°
C．10°＜A＜60°
D．10°＜A＜30°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠C＝90°，则∠A的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
8．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
（1）sin（﹣30°）＝﹣；
（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；
（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
（4）cos15°＝．
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是　
　．
12．cos60°+tan45°＝　
　．
13．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA＝　
　．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝　
　．
15．在Rt△ABC中，，则cosB的值等于　
　．
16．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　
　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　
　0．（可用计算器计算）
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是　
　．
18．如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为　
　．
19．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　
　．
20．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝　
　．
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
23．计算下列各题：
（1）；
（2）sin60°?cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长．
25．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
27．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°．
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，cosB＝．
故选：C．
2．解；由勾股定理得BC＝，
COS∠B＝，
故选：B．
3．解：∵cos30°＝，sin80°＝cos10°，余弦函数随角增大而减小，
∴10°＜A＜30°．
故选：D．
4．解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝，
设BC＝5x，AC＝12x，
∴AB＝＝13x，
∴sinA＝＝＝．
故选：D．
5．解：∵α为锐角，，
∴cos（90°﹣α）＝sinα＝．
故选：B．
6．解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，
∴cosA＝＝＝，
则∠A＝45°．
故选：C．
7．解：由勾股定理，得
AB＝＝5，
cosB＝＝，
故选：A．
8．解：（1），故此结论正确；
（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；
（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；
（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝＝＝，故此结论错误．
所以正确的结论有3个，
故选：C．
9．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
10．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵cos60°＝，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤时，∠A≥60°．
又∵∠A是锐角，
∴60°≤∠A＜90°．
故答案为：60°≤A＜90°．
12．解：原式＝+1＝1.5．
13．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC＝＝12．
∴tanA＝＝．
14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanA＝＝，
∴设a＝3x，则b＝4x，
则c＝＝5x．
sinA＝＝＝．
故答案是：．
15．解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∵sinA＝，
∴cosB＝．
故答案为：．
16．解：（Ⅰ）sin60°?cos30°﹣＝?﹣＝﹣＝．
（Ⅱ）sin50°cos40°﹣≈0.0868＞0．
故答案为：（Ⅰ）．
（Ⅱ）＞．
17．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴cosA＝＝．
故答案为．
18．解：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，
∵AE＝2，BE＝，AB＝5，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴SinA＝＝．
故答案为：．
19．解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2
20．解：设tanA＝＝＝，
由勾股定理，得
AB＝＝5a．
sinA＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题
21．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，
则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
22．解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
23．解：（1）
＝（2×﹣）+
＝2﹣+
＝2；
（2）sin60°?cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
＝×﹣×+（）2+（）2
＝﹣1++
＝．
24．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝．
∵BC＝2，
∴＝，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB＝．
25．解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC?cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，
∴BD＝16，
∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.3．
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
27．解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cos2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝＝，
＝．