2020-2021学年初中数学沪科版八年级下册同步课时训练：第18章勾股定理单元自我综合评价（word版含解析）

自我综合评价(三)
[范围:第18章　勾股定理　]
一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,共36分;在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列式子中,不正确的是(　　)
A.a2+b2=c2
B.c2-a2=b2
C.a=
D.a2-b2=c2
2.在下列以线段a,b,c为三边的三角形中,不是直角三角形的是
(　　)
A.a=9,b=41,c=40
B.a=11,b=12,c=15
C.a∶b∶c=3∶4∶5
D.a=b=5,c=5
3.下列各组数据中是勾股数的是
(　　)
A.1,1,
B.12,16,20
C.1,,
D.1,2,
4.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”译文:“如(示意图),有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长.”根据题意,可得绳索长为
(　　)
A.12.5尺
B.13.5尺
C.14.5尺
D.15.5尺
5.在Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为
(　　)
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
6.如,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为(　　)
A.4
B.6
C.16
D.55
7.如所示,以直角三角形的三边为直径的半圆的面积从小到大依次记为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的关系是
(　　)
A.S1+S2=S3
B.+=
C.S1+S2>S3
D.S1+S28.小明家门框的尺寸如所示,为装修房子买了一种“三合板”,若从进门方便的角度考虑,则应选的尺寸为
(　　)
A.长为4
m,宽为2.5
m
B.长为8
m,宽为2.1
m
C.长为3
m,宽为2.9
m
D.以上均不合适
9.如,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(4,3),点P是x轴上一动点,则PA+PB的最小值为
(　　)
A.5+
B.3
C.2
D.4
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
10.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为　　　　.?
11.在△ABC中,∠C=90°,BC=60
cm,CA=80
cm.一只蜗牛从点C出发,以每分钟20
cm的速度沿CA→AB→BC的路径爬行再回到点C,则蜗牛从开始出发到回到点C需要　　　　min.?
12.如是一只玻璃杯,杯高为8
cm.将一根筷子插入其中,留在杯外最长4
cm,最短2
cm,则这只玻璃杯的内径是　　　　
cm.?
13.如,在平面直角坐标系中,有一长方形ABCD,其中A(0,0),B(8,0),D(0,4),若将△ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处,则点E的坐标是　　　　.?
14.在△ABC中,∠ABC=30°,AD⊥AB,交直线BC于点D,若AB=4,CD=1,则AC的长为　　　　.?
三、解答题(本大题共4小题,共44分)
15.(12分)如,已知一平面直角坐标系.
(1)在图中描出点A(-2,-2),B(-8,6),C(2,1);
(2)连接AB,BC,AC,试判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
16.(10分)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何.”
大意是说,如,已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7步/单位时间,乙的速度为3步/单位时间,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多少步?
17.(10分)如0,两个小滑块A,B由一根连杆连接,A,B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动.开始时滑块A距点O
16
cm,滑块B距点O
12
cm.那么滑块A向下滑动6
cm到达点C时,求滑块B向外滑动了多少厘米.(结果精确到0.1
cm,其中≈1.414,≈1.732)
18.(12分)如1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5
cm,AC=3
cm.动点P从点B出发沿射线BC以2
cm/s的速度运动,设运动的时间为t
s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
1.D　[解析]
因为∠C=90°,则斜边为c,而D选项中a2-b2=c2,a为斜边,所以D选项错误.
2.B　[解析]
B选项,因为较小边是a,b,而a2+b2=112+122=265,c2=152=225,a2+b2≠c2,所以线段a,b,c不能构成直角三角形.
3.B　[解析]
A项,∵不是正整数,
∴此选项不符合题意;
B项,∵122+162=202,∴此选项符合题意;
C项,∵,不是正整数,
∴此选项不符合题意;
D项,∵不是正整数,
∴此选项不符合题意.
4.C　[解析]
设绳索长为x尺,则102+(x-5+1)2=x2,解得x=14.5,即绳索长为14.5尺.故选C.
5.A　[解析]
∵在Rt△ABC中,BC为斜边,
∴AB2+AC2=BC2,
∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8.
6.C　[解析]
如图,易知Rt△ABC≌Rt△DAE,则BC=AE,AC=DE,由勾股定理,得BC2+AC2=AB2,即b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16.故选C.
7.A　[解析]
如图所示,设直角三角形各边长分别为2a,2b,2c.
∵三角形是直角三角形,
∴(2a)2+(2b)2=(2c)2,化简,得a2+b2=c2.
∵S1=πa2,S2=πb2,S3=πc2,
∴S1+S2=π(a2+b2)=πc2=S3.故选A.
8.B　[解析]
根据勾股定理,门框的对角线长为
m,约为2.2
m,所选的三合板尺寸中,长或宽中至少有一个小于2.2
m,才能运到屋内,因此,只有B项符合.故选B.
9.C　[解析]
作出点A关于x轴的对称点A'(-2,-1),连接A'B,则线段A'B的长就是PA+PB的最小值.由勾股定理,得A'B==2.故选C.
10.2
11.12　[解析]
由勾股定理可知AB==100(cm),
△ABC的周长为60+80+100=240(cm),则240÷20=12(min),所以蜗牛从开始出发到回到点C所用时间为12
min.
12.6
13.,　[解析]
设AE和CD交于点F,由折叠和两直线平行,内错角相等,可得△AFC是等腰三角形.设DF=x,则FC=AF=8-x.在Rt△AFD中,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,解得x=3.在Rt△FEC中,FE=3,EC=4,FC=5,过点E作EH⊥FC于点H,由面积法得3×4=5EH,解得EH=.在Rt△FEH中,由勾股定理得FH=,所以点E的坐标为3+,4+,即,.
14.或　[解析]
∵AD⊥AB,
∴∠BAD=90°.
又∵∠ABC=30°,
∴AD=BD,
由勾股定理,得BD2=AD2+AB2,即BD2=BD2+(4)2,
解得BD=8,∴AD=4.
如图,过点A作AE⊥BC,垂足为E.
∵∠ABC=30°,AB=4,∴AE=2.
①当点C在线段BD的延长线上时,
∵∠ABC=30°,∠BAD=90°,
∴∠ADB=60°,∴∠DAE=30°,
∴DE=AD=2.
∵CD=1,∴EC=DE+CD=2+1=3,
∴AC===.
②当点C在线段BD上时,
EC'=DE-C'D=2-1=1,
∴AC'===.
故答案为:或.
15.解:(1)如图所示.
(2)如图所示,AB==10,AC==5,BC==5.
∵102+52=(5)2,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)S△ABC=AB·AC=×10×5=25.
16.解:设经过x个单位时间二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x步,甲共行AC+BC=7x步.
∵AC=10,∴BC=7x-10.
又∵∠A=90°,∴BC2=AC2+AB2,
∴(7x-10)2=102+(3x)2,
解得x1=0(舍去),x2=3.5,
∴AB=3x=10.5步,AC+BC=7x=24.5步.
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
17.解:在Rt△AOB中,AB===20(cm).
∵AC=6
cm,
∴OC=16-6=10(cm).
又∵CD=AB=20
cm,
∴在Rt△COD中,OD===10≈17.32(cm),
∴BD=OD-OB≈17.32-12≈5.3(cm).
答:滑块B向外滑动了约5.3
cm.
18.解:(1)∵∠ACB=90°,AB=5
cm,AC=3
cm,
∴BC==4
cm.
①若∠APB为直角,则点P与点C重合,此时BP=BC=4
cm,
∴t=4÷2=2.
②若∠BAP为直角,则BP=2t
cm,CP=(2t-4)cm.
在Rt△ACP中,AP2=32+(2t-4)2.
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+[32+(2t-4)2]=(2t)2,
解得t=.
综上所述,当t的值为2或时,△ABP为直角三角形.
(2)①若BP=AB=5,则t=2.5.
②若AB=AP,则BP=2BC=8
cm,∴t=4.
③若BP=AP,则BP=AP=2t
cm,CP=|4-2t|cm.
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,
∴(2t)2=32+(4-2t)2,解得t=.
综上所述,当t的值为2.5或4或时,△ABP为等腰三角形.