2020——2021学年沪科版九年级数学上册第22章 相似形单元测试题（word版有答案）
文档属性
| 名称 | 2020——2021学年沪科版九年级数学上册第22章 相似形单元测试题（word版有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 739.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-01 07:45:41 | ||
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文档简介
第22章 相似形
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列图形一定是相似图形的是( )
A．两个菱形
B．两个矩形
C．两个等腰三角形
D．两个正五边形
2．如图1，在△ABC中，DE∥BC，DE与AB，AC分别交于点D，E.若AD＝4，DB＝2，则AE∶EC的值为( )
图1
A.
B．2
C.
D.
3．若如图2所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )
图2
A．60°
B．75°
C．87°
D．120°
4．如图3，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )
图3
A．(3，3)
B．(4，3)
C．(3，1)
D．(4，1)
5．如图4所示，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
图4
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，若一棵大树的影长为4.8米，则这棵大树的高度为( )
A．4.8米
B．6.4米
C．9.6米
D．10米
7．如图5，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE?EC＝3?1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
图5
A．3?4
B．9?16
C．9?1
D．3?1
8．如图6，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
图6
A．4
B．4
C．6
D．4
9．如图7，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ADC等于( )
图7
A．1∶16
B．1∶18
C．1∶20
D．1∶24
10．在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12，在AB上取一点E，使以A，D，E三点为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为( )
A．16
B．14
C．16或14
D．16或9
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若＝＝≠0，则＝________．
12．如图8，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件：____________________，使△ACD∽△ABC.(只填一个即可)
图8
13．如图9，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似中心．若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是__________．
图9
14．如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的点C′处，点E在AB上，连接DE，得△BED，若△BED与△ABC相似，则其相似比为________．
图10
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图11，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长．
图11
16．如图12，在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.求证：△ABC∽△DEF.
图12
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图13，△ABC在方格纸中(方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位)．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，C(6，2)，并写出点B的坐标；
(2)在(1)的基础上，以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′(点A与点A′是对应点，点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点)．
图13
18．如图14，D是△ABC的边AB上一点，BD＝，AB＝3，BC＝2.
(1)△BCD与△BAC相似吗？请说明理由；
(2)若CD＝，求AC的长．
图14
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图15，AD，BE是△ABC的高．
图15
(1)求证：＝；
(2)连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？
20．阅读：若三角形的一条边的平方等于另两条边的积，则称这个三角形为“优美三角形”，这条边称为“优美边”．
(1)已知△ABC是“优美三角形”，且AC＝1，AB＝2，求BC的长；
(2)如图16，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD.求证：△ABC是“优美三角形”．
图16
六、(本题满分12分)
21．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图17(示意图)，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2
m，小明到墙的距离CE＝0.8
m，楼到墙的距离CA＝30
m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7
m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1
m)．
图17
七、(本题满分12分)
22．如图18所示，正方形ABCD的边长为4
cm，P是边BC上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q.设BP的长为x
cm，CQ的长为y
cm.
(1)求点P在边BC上运动的过程中y的最大值；
(2)当y＝时，求x的值．
图18
八、(本题满分14分)
23．如图19，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC边所在直线上的一个动点，DE⊥BD交BC边所在直线于点E.
(1)在图①中，AD＝CD，直接写出的值；
(2)在图②中，AD＝2CD，直接写出的值；
(3)在图③中，AD＝CD，先写出的值，再说明理由．
图19
答案
1.D 2.B 3.C 4.A 5.B
6.C 7.B 8.B 9.C 10.D
11.
12.答案不唯一,如∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或=
13.(-2x,-2y)
14.或
15.解:∵AD∥BE∥CF,∴=.
4分
∵AB=6,BC=8,DF=21,
∴=,
6分
∴DE=9.
8分
16.证明:在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=79°.∵∠E=79°,∴∠B=∠E.
3分
∵∠C=54°,∠F=54°,∴∠C=∠F,
6分
∴△ABC∽△DEF.
8分
17.解:(1)平面直角坐标系如图所示,B(2,1).
4分
(2)△A'B'C'如图所示.
8分
18.解:(1)△BCD∽△BAC.理由如下:
∵BD=,AB=3,BC=2,
∴=,=,
∴=.
而∠DBC=∠CBA,
∴△BCD∽△BAC.
4分
(2)∵△BCD∽△BAC,
∴=,
即=,∴AC=.
8分
19.解:(1)证明:∵AD,BE是△ABC的高,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,
∴=.
7分
(2)△CDE与△CAB不是位似图形.
10分
20.解:(1)由题意,易得AB,AC都不可能为“优美边”,否则三线段不能构成三角形.
由BC2=1×2,得BC=.
5分
(2)证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
又∵∠ABC=∠ACD,∴△ABC∽△DCA,
∴=,即AC2=BC·AD.
∵AB=AD,∴AC2=BC·AB,
∴△ABC是“优美三角形”.
10分
21.解:如图,过点D作DG⊥AB,与AB,EF分别交于点G,H,则EH=AG=CD=1.2
m,DH=CE=0.8
m,
DG=CA=30
m.
2分
∵EF∥AB,∴△DFH∽△DBG,
4分
∴=.
6分
由题意,知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5(m),
8分
∴=,解得BG=18.75(m),
10分
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0(m).
答:楼高AB约为20.0
m.
12分
22.解:(1)∵PQ⊥AP,∴∠CPQ+∠APB=90°.
又∵∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CPQ=∠BAP.
2分
又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABP∽△PCQ,
4分
∴=.
∵AB=BC=4
cm,BP=x
cm,CQ=y
cm,
∴PC=(4-x)cm,
∴=,∴y=-x2+x,
即y=-(x-2)2+1(0∴当x=2时,y有最大值,最大值为1,即点P在边BC上运动的过程中,y的最大值为1.
6分
(2)x=2+或x=2-.
12分
23.解:(1)如图①,过点D作DF⊥BC于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,∴△DFC是等腰直角三角形,∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴=.
设DF=CF=2k,则AB=BC=3k,∴BF=k.
易证△BDF∽△DEF,
∴===.
4分
(2)如图②,过点D作DF⊥BE于点F,同(1)可得△CDF是等腰直角三角形,∴CF=DF.
∵AD=2CD,∴AC=CD.
在△ABC与△DFC中,
∴△ABC≌△DFC,∴AB=DF,BC=FC,
∴AB=BC=FC=DF,∴BF=2DF.
易证△BDF∽△DEF,
∴==2.
8分
(3)=.
理由:如图③,过点D作DF⊥CE于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,
∴△DFC是等腰直角三角形,
∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴==2.
设AB=m,则DF=2m,BC=m,CF=2m,
∴BF=m.
易证△BDF∽△DEF,
∴===.
14分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列图形一定是相似图形的是( )
A．两个菱形
B．两个矩形
C．两个等腰三角形
D．两个正五边形
2．如图1，在△ABC中，DE∥BC，DE与AB，AC分别交于点D，E.若AD＝4，DB＝2，则AE∶EC的值为( )
图1
A.
B．2
C.
D.
3．若如图2所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )
图2
A．60°
B．75°
C．87°
D．120°
4．如图3，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )
图3
A．(3，3)
B．(4，3)
C．(3，1)
D．(4，1)
5．如图4所示，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
图4
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，若一棵大树的影长为4.8米，则这棵大树的高度为( )
A．4.8米
B．6.4米
C．9.6米
D．10米
7．如图5，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE?EC＝3?1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
图5
A．3?4
B．9?16
C．9?1
D．3?1
8．如图6，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
图6
A．4
B．4
C．6
D．4
9．如图7，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ADC等于( )
图7
A．1∶16
B．1∶18
C．1∶20
D．1∶24
10．在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12，在AB上取一点E，使以A，D，E三点为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为( )
A．16
B．14
C．16或14
D．16或9
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若＝＝≠0，则＝________．
12．如图8，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件：____________________，使△ACD∽△ABC.(只填一个即可)
图8
13．如图9，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似中心．若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是__________．
图9
14．如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的点C′处，点E在AB上，连接DE，得△BED，若△BED与△ABC相似，则其相似比为________．
图10
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图11，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长．
图11
16．如图12，在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.求证：△ABC∽△DEF.
图12
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图13，△ABC在方格纸中(方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位)．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，C(6，2)，并写出点B的坐标；
(2)在(1)的基础上，以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′(点A与点A′是对应点，点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点)．
图13
18．如图14，D是△ABC的边AB上一点，BD＝，AB＝3，BC＝2.
(1)△BCD与△BAC相似吗？请说明理由；
(2)若CD＝，求AC的长．
图14
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图15，AD，BE是△ABC的高．
图15
(1)求证：＝；
(2)连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？
20．阅读：若三角形的一条边的平方等于另两条边的积，则称这个三角形为“优美三角形”，这条边称为“优美边”．
(1)已知△ABC是“优美三角形”，且AC＝1，AB＝2，求BC的长；
(2)如图16，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD.求证：△ABC是“优美三角形”．
图16
六、(本题满分12分)
21．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图17(示意图)，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2
m，小明到墙的距离CE＝0.8
m，楼到墙的距离CA＝30
m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7
m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1
m)．
图17
七、(本题满分12分)
22．如图18所示，正方形ABCD的边长为4
cm，P是边BC上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q.设BP的长为x
cm，CQ的长为y
cm.
(1)求点P在边BC上运动的过程中y的最大值；
(2)当y＝时，求x的值．
图18
八、(本题满分14分)
23．如图19，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC边所在直线上的一个动点，DE⊥BD交BC边所在直线于点E.
(1)在图①中，AD＝CD，直接写出的值；
(2)在图②中，AD＝2CD，直接写出的值；
(3)在图③中，AD＝CD，先写出的值，再说明理由．
图19
答案
1.D 2.B 3.C 4.A 5.B
6.C 7.B 8.B 9.C 10.D
11.
12.答案不唯一,如∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或=
13.(-2x,-2y)
14.或
15.解:∵AD∥BE∥CF,∴=.
4分
∵AB=6,BC=8,DF=21,
∴=,
6分
∴DE=9.
8分
16.证明:在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=79°.∵∠E=79°,∴∠B=∠E.
3分
∵∠C=54°,∠F=54°,∴∠C=∠F,
6分
∴△ABC∽△DEF.
8分
17.解:(1)平面直角坐标系如图所示,B(2,1).
4分
(2)△A'B'C'如图所示.
8分
18.解:(1)△BCD∽△BAC.理由如下:
∵BD=,AB=3,BC=2,
∴=,=,
∴=.
而∠DBC=∠CBA,
∴△BCD∽△BAC.
4分
(2)∵△BCD∽△BAC,
∴=,
即=,∴AC=.
8分
19.解:(1)证明:∵AD,BE是△ABC的高,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,
∴=.
7分
(2)△CDE与△CAB不是位似图形.
10分
20.解:(1)由题意,易得AB,AC都不可能为“优美边”,否则三线段不能构成三角形.
由BC2=1×2,得BC=.
5分
(2)证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
又∵∠ABC=∠ACD,∴△ABC∽△DCA,
∴=,即AC2=BC·AD.
∵AB=AD,∴AC2=BC·AB,
∴△ABC是“优美三角形”.
10分
21.解:如图,过点D作DG⊥AB,与AB,EF分别交于点G,H,则EH=AG=CD=1.2
m,DH=CE=0.8
m,
DG=CA=30
m.
2分
∵EF∥AB,∴△DFH∽△DBG,
4分
∴=.
6分
由题意,知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5(m),
8分
∴=,解得BG=18.75(m),
10分
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0(m).
答:楼高AB约为20.0
m.
12分
22.解:(1)∵PQ⊥AP,∴∠CPQ+∠APB=90°.
又∵∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CPQ=∠BAP.
2分
又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABP∽△PCQ,
4分
∴=.
∵AB=BC=4
cm,BP=x
cm,CQ=y
cm,
∴PC=(4-x)cm,
∴=,∴y=-x2+x,
即y=-(x-2)2+1(0
6分
(2)x=2+或x=2-.
12分
23.解:(1)如图①,过点D作DF⊥BC于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,∴△DFC是等腰直角三角形,∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴=.
设DF=CF=2k,则AB=BC=3k,∴BF=k.
易证△BDF∽△DEF,
∴===.
4分
(2)如图②,过点D作DF⊥BE于点F,同(1)可得△CDF是等腰直角三角形,∴CF=DF.
∵AD=2CD,∴AC=CD.
在△ABC与△DFC中,
∴△ABC≌△DFC,∴AB=DF,BC=FC,
∴AB=BC=FC=DF,∴BF=2DF.
易证△BDF∽△DEF,
∴==2.
8分
(3)=.
理由:如图③,过点D作DF⊥CE于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,
∴△DFC是等腰直角三角形,
∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴==2.
设AB=m,则DF=2m,BC=m,CF=2m,
∴BF=m.
易证△BDF∽△DEF,
∴===.
14分