9.3.1平面向量基本定理同步练习-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册（Word含解析）

平面向量基本定理
课本温习
1.
已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是(　　)
A.
e1和e1＋e2
B.
e1－2e2和e2－2e1
C.
e1－2e2和4e2－2e1
D.
e1＋e2和e1－e2
2.
已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.
A，B，D
　　　
B.
A，B，C
C.
B，C，D
　　　
D.
A，C，D
3.
如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是(　　)
①
λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
②
对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③
若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④
若实数λ，μ，使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.
A.
①③　　
B.
②④　　
C.
③④　　
D.
②③
4.
在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则等于(　　)
A.
－e1－e2　
B.
－e1＋e2
C.
e1＋e2　
D.
e1－e2
固基强能
5.已知e1，e2是不共线向量，a＝ke1＋e2，b＝e1＋k2e2，且a∥b，则k的值为(　　)
A.
0　　　
B.
1　　　
C.
2　　　
D.
3
6.已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A.
点P在线段AB上
　
B.
点P在线段BC上
C.
点P在线段AC上　
D.
点P在△ABC外部
7(多选）.和
是表示平面内所有向量的一组基底,则下列向量中能作为一组基底的是(
)
A．+和
B．32和
6+4
C．+2和+2
D．
和+
8.(多选）
设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下说法：
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
B.
给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
C.
给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
D.
给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述说法中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则正确的是（
)
9.如图，点M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝.若＝a，＝b，=
，=
，=
（用a，b表示）．
10.已知＝a，＝b，点C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为________．
11.如图，已知点E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD上的中点，EF与AC交于点G.若＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示)
规范演练
12.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)
若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)
若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
13.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，求μ的取值范围．
平面向量基本定理
1.
C　解析：∵
e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴
e1－2e2与4e2－2e1共线，∴
不能作为基底，其余三组均为不共线．
2.
A　解析：＝＋＋＝3a＋6b＝3.因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线．
3.
D　解析：由平面向量基本定理可知，①④正确；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个．
4.
B　解析：如图所示，
＝－＝＋2＝＋＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.
5.
B　解析：由a∥b，得a＝λb，即ke1＋e2＝λ(e1＋k2e2)，所以ke1＋e2＝λe1＋λk2e2，所以所以k3＝1，所以k＝1.
6.
C　解析：由＋＋＝得＋＝－＝，即＝－＝2，所以点P在线段AC上．
7.
ACD
解析：作为基底的前提是向量不共线，对于B，因为，故两向量共线，不能成为基底，而ACD中的两向量都不共线，故选ACD
8.AB　解析：利用向量加法的三角形法则，易得A正确；利用平面向量的基本定理，易得B正确；以a的终点为圆心，作半径为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，C错误；由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边)，即|λb|＋|μc|＝λ＋μ>|a|，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以D错误．
9.
解：因为＝，所以＝.由此可得，＝－＝－－.因为＝－，所以＝－－(－)＝－＝－a＋b.同理可得＝a－b，＝－＝－(＋)＝a＋b.
10.
a＋b　解析：∵
＝＋，＝＋＝＋＝＋＝.∵
＝b－a，∴
＝b－a，∴
＝a＋＝a＋b.
11..
a＋b　解析：连结BD交AC于点O，则点O为AC的中点，点G为OC的中点，
∴
AG＝AC，∴
＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b.
12.
证明：(1)
若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴
－＝m(－)，即＝m，∴
与共线．
∵
与有公共点B，∴A，P，B三点共线．
(2)
若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
∴
－＝λ(－)．
又＝m＋n，
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵
O，A，B不共线，∴，不共线，
∴
　∴
m＋n＝1.
选做题
解：由题意可求得AD＝1，CD＝，
∴
＝2.
∵
点E在线段CD上，
∴
＝λ(0≤λ≤1)．
∵
＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
∴
＝1，即μ＝.
∵
0≤λ≤1，∴
0≤μ≤，即μ的取值范围是.