9.4向量应用同步练习-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册（Word含解析）

向量的应用
课本温习
1.
已知三个力f1＝(1，3)，f2＝(－2，1)，f3＝(x，y)，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力f3等于(　　)
A.
(1，4)
　　　
B.
(－1,
4)
C.
(－1，－4)　
　　
D.
(1，－4)
2.
已知一物体在共点力F1＝(2，2)，F2＝(3，1)的作用下产生位移s＝(，)，则共点力对物体所做的功为(　　)
A.
7
　　　
B.
8　　　　
C.
9　
　　
D.
10
3.
若向量F1＝(1，1)，F2＝(－3，－2)分别表示两个力，则|F1＋F2|的值为(　　)
A.
1
　　　
B.
　　　
C.
2　
　
D.
4.
在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则该四边形的形状为(　　)
A.
正方形
　　　
B.
平行四边形
C.
菱形　
　　
D.
矩形
固基强能
.5.设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且||＝，||＝1，则·(－)的值是(　　)
A.
1
　　　
B.
2　　　
C.
3　
　
D.
4
6.
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝1，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点P，Q，则·(－)的值为(　　)
A.
－1
　　　
B.
0　　
C.
1　　　
D.
2
7.(多选）下列说法中正确的是（
）
A．模相等的两个向量是相等向量
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量,，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
8.(多选）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（
）
A．在方向上的投影为B．
C．
D．若，则与平行
9.
已知O为△ABC的外接圆圆心，AB＝10，AC＝4，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则·=
.
10如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则·＝________．
11.若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则＝________．
12.已知O是△ABC内一点，＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积的比值为________．
规范演练
13.已知：⊥，⊥
求证：.?
14.已知向量
，
，满足条件＋＋＝，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝１，求证：△ＡＢＣ是正三角形．
　向量的应用
1.
D　解析：因为某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，所以f1＋f2＋f3＝0，解得x＝1，y＝－4，所以f3＝(1，－4)．
2.
A　解析：对于合力F＝F1＋F2＝(5，3)，其所做的功为W＝F·s＝(5，3)·＝＋＝7.
3.
D　解析：∵
F1＝(1，1)，F2＝(－3，－2)，
∴
|F1＋F2|＝＝.
4.
C　解析：∵
＋＝0，∴
＝，
∴
四边形ABCD为平行四边形．
∵
·＝0，∴
⊥，∴
四边形ABCD的对角线垂直，∴
四边形ABCD为菱形．
5.
A　解析：由已知，D为BC的中点，＝(＋)，∴
·(－)＝·(＋)·(－)＝(||2－||2)＝1.
6.
B　解析：＝(＋)，设＝λ，则·(－)＝λ·(＋)·(－)＝0.
7.【答案】
BC
【解析】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A选项错误；
设AC的中点为M，BC的中点为D，因为.所以，即，所以O是线段MD上靠近点M的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的，而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知B选项正确；
C选项中，当与共线且反向时，可知成立，当与不共线或共线方向相同时，结论不成立，故C选项正确；
D选项错误，例如，
故选:BC.
8.【答案】
BD
【解析】由向量投影的定义可知，A显然不成立；
，故B成立；
，当时不成立，故C不成立；
由，得，即两向量平行，故D成立．
综上所述，故选BD．
9.
解：如图，分别取AB，AC的中点D，E，连结OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC.
∵
M是边BC的中点，
∴
＝(＋)．
∴
·＝(＋)·
＝·＋·
＝·＋·
＝||·||cos∠BAO＋||·||cos∠CAO
＝||·||＋||·||
＝2＋2＝52＋22＝29.
10.－　解析：＝＋，＝＋＝－2，设与的夹角为θ，则θ＝60°，cos
60°＝，∴
·＝(＋)·(－2)＝2－·－22＝1－1×1×－2＝－.
11.
－2　解析：∵
等边三角形的边长为2，∴
建立如图直角坐标系，
∴
＝(，－3)，＝(－，－3)，
∴
＝＋＝.
∴
＝＋＝(0，3)＋(－，－)＝.
∵
＝－＝，＝－＝，
∴
·＝·(，－)＝－2.
12.
　解析：如图，以OA，OC为邻边作?OCDA，则＝＋.设OD与AC的交点为E，则点E为AC中点．已知＋＝－3，则＝－3，所以||＝3||，所以2OE＝3OB，所以S△AOB∶S△AOE＝OB∶OE＝2∶3.因为S△AOE＝S△COE，所以S△AOB∶S△AOC＝2∶6＝1∶3.
13.【证明】　因为
⊥，⊥，
所以，
即
于是得　，
即
，所以
.
选做题
设OA，OB，OC的长为1，则，
∴，||2=3，
即，||=，
同理，||=||=，
∴⊿ABC为正三角形．