复数的四则运算(1)——加减与乘法
课本温习
1.
复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于( )
A.
0
B.
+i
C.
-i
D.
-i
2.
复数z1=3+i,z2=-1-i,则z1-z2等于( )
A.
2
B.
2+2i
C.
4+2i
D.
4-2i
3.
设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为( )
A.
1+i
B.
2+i
C.
3
D.
-2-i
4.
若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.
0
B.
2i
C.
6
D.
6-2i
5.
(1+i)(2-i)等于( )
A.
-3-i
B.
-3+i
C.
3-i
D.
3+i
固基强能
6.
若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a的值为( )
A.
-1
B.
0
C.
1
D.
2
7.
(多选)下列说法错误的是( )
A.
两个共轭复数的和一定是实数
B.
两个共轭复数的差一定是纯虚数
C.
两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件
D.
若z1,z2∈C,且z+z=0,则z1=z2=0.
8下列选项中正确的是(
)
.
A.(3+5i)+(3-4i)=6+i.
B.(5-5i)+(-2-2i)-(3+3i)=-10i
C.(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=53-23i.
D.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是4
9.已知复数z1满足(z1-2)i=1+i.
z1=
;若复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,复数z2=
.
10.
若复数z1+z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则z1=________.
11.
已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·z2是实数,则实数t=________.
12.设复数z1=2+ai(其中a∈R),z2=3-4i.
(1)
若a=1,求z1z2的值;
(2)
若z1+z2是实数,求a的值.
13.已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.
14.解方程x2-(2+3i)x+5+3i=0.
15.若关于x的方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0(a∈R,i为虚数单位)有实数解,求a的值.
复数的四则运算(1)
1.
C 解析:z1+z2=(2+)-(+2)i=-i.故选C.
2.
C 解析:z1-z2=(3+i)-(-1-i)=4+2i.故选C.
3.
D 解析:由题意得解得
∴
a+bi=-2-i.故选D.
4.
D 解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.故选D.
5.
D 解析:(1+i)(2-i)=2+1+(2-1)i=3+i,故选D.
6.
B 解析:由已知得4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0,a2-4=-4,解得a=0,故选B.
7.BCD 解析:若z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,则z+z=2a∈R.因此和一定是实数;而z-z=2bi.当b=0时,两共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两共轭复数的差是纯虚数.两个复数不是共轭复数,但是它们的模也能相等.取z1=1,z2=i,满足z+z=0.
8.ABD解析:A(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i.
B(5-2-3)+[-5+(-2)-3]i=-10i.
C.(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(-2+11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i=53+23i.
D.z=1-(3-4i)=-2+4i.
9.解:(1)
∵
复数z1满足(z1-2)i=1+i,
∴
z1-2=-i(1+i)=1-i,
∴
z1=3-i.
(2)
由题意设z2=a+2i,a∈R,
∴
z1·z2=(3-i)(a+2i)=3a+2+(6-a)i.
又z1·z2是实数,∴
a=6,
∴
z2=6+2i.
10.4+i 解析:两式相加得2z1=8+2i,∴
z1=4+i.
11.
解析:∵
z2=t-i,z1·z2=(3+4i)·(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i是实数,∴
4t-3=0,∴
t=.
12.
解:(1)
当a=1时,z1z2=(2+i)(3-4i)=6+4+(3-8)i=10-5i.
(2)
∵
z1+z2=5+(a-4)i是实数,
∴
a-4=0,解得a=4.
13.
解:(1)
由题可知z=(2+i)(i-3)+4-2i=2i+i2-6-3i+4-2i=-3-3i,所以z=-3+3i.
(2)
因为复数z1=z+(a2-2a)+ai=(a2-2a-3)+(a-3)i是纯虚数.
所以解得a=-1.
所以实数a=-1.
13.设z=a+bi(a,b∈R),
则=a-bi(a,b∈R),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
选做题
1.
解:设x=a+bi(a,b∈R),则有a2-b2+2abi-[(2a-3b)+(3a+2b)i]+5+3i=0.
根据复数相等的充要条件得
解得或
故方程的解为x=1+4i或x=1-i.
2.
解:将原方程整理得(x2-2ax+5)+(x2-2x-3)i=0.
设方程的实数解为x0,代入上式得(x-2ax0+5)+(x-2x0-3)i=0.
由复数相等的充要条件,得x-2ax0+5=0,x-2x0-3=0,
解得x0=3或x0=-1,
当x0=3时,解得a=;
当x0=-1时,解得a=-3.
所以a的值为或-3.