3.1函数的单调性（第二课时）课件（共27张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.1函数的单调性
第二课时
教学目标
01
02
已知含参函数单调性求参
抽像函数用定义法证明
由含参函数的单调性求参
重点
难点
用定义法证明抽像函数单调性
环节一
复习单调性定义
区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，则为减函数；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
条件
结论
定义
增函数
设函数f(x)的定义域为I，定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1f(x)在区间D上是
增函数
减函数
当x1f(x2)
f(x)在区间D上是
减函数
增函数与减函数的定义
环节二
定义法证明抽像函数单调性
例1.已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．
分析
使用定义第一个环节，怎么设，格式中的????????、????????相当于抽像函数中哪个变量；第二个环节，比大小，如何构建两个函数值之间差的关系；第三个环节是变形，对抽像函数而言，它不是普通函数那样依据解析式特点做适当变形，而是借助于条件中的恒等式。
?
例1.已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．
证明
设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.
令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.
∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在R上是增函数．
对接式设法
把条件中恒等式变成差式
利用条件不等式，判断出差的符号
例1.已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．
证明
设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，
故f(x)在R上是增函数．
最关键的步骤
两种构造方法核心步骤对比
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2).
直接作差,再比大小
放缩法，得大小
例2.已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0分析
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]
01
直接作差，利用恒等式变形
02
????????????>????
?
∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，
则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，
∴f(x)＝＞1.
∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，∴003
????>?????????????????????>????
?
04
结论
?
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上是减函数．
已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时,f(x)>0,且f12=1. 证明:y=f(x)是(0,+∞)上的减函数;
?
微练
证明:设0 由题意f(x1)-f(x2)=f????1????2·????2-f(x2)
=f????1????2+f(x2)-f(x2)=f????1????2>0,
即f(x1)>f(x2),∴y=f(x)是(0,+∞)上的减函数.
?
环节三
由含参函数单调性求参
例3.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
01
非分段函数由单调性求参
解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,所以a<0,
所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].答案:B
例4.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞,40] 　 B.(40,64)
C.(-∞,40]∪[64,+∞) 　 D.[64,+∞)
01
由非分段函数单调性求参
解析:由f(x)=4x2-kx-8=4?????????82?????216-8,得函数图象的对称轴为直线x=????8,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则????8≤5或????8≥8,解得k≤40或k≥64.答案:C
?
例5.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞,40] 　 B.(40,64)
C.(-∞,40]∪[64,+∞) 　 D.[64,+∞)
01
非分段函数由单调性求参
解析:由f(x)=4x2-kx-8=4?????????82?????216-8,得函数图象的对称轴为直线x=????8,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则????8≤5或????8≥8,解得k≤40或k≥64.答案:C
?
已知函数f(x)＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．
微练
因为函数f（x)＝2x2－ax＋5的单调递增区间是，所以[1，＋∞)?????4,+∞，所以????4≤1，解得a≤4
?
02
分段函数由单调性求参
分段函数在其定义域内是增函数必须满足两个条件：
①每一段都是增函数；
②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数的最大值(或上边界)，小于等于自变量 取值大的一段函数的最小值(或下边界)。

分段函数在其定义域内是减函数必须满足两个条件：
①每一段都是减函数；
②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数的最小值(或下边界)，大于等于自变量 取值大的一段函数的最大值(或上边界)。
例6.已知函数f(x)=(????+3)?????5,????≤1,2????????,????>1是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是　　　　　.
?
解析:依题意得????+3>0,2????<0,解得-3?
例7.函数f(x)=(3?????1)????+4????,????<1,?????????,????≥1是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.18,13 B.0,13 C.0,13 D.?∞,13
?
解析:由函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数知,一方面要满足每一段函数是单调递减的,则有3a-1<0,且-a<0,解得0?
环节四
小结
课堂小结
1．核心要点
1.抽像函数如何用定义证明
2.已知含参非分段和分段函数单调性求参
2．数学素养
1．通过学习，培养抽象概括素养．
2．通过用定义证明抽像孙函数的单调性，培养逻辑推理素养．
谢谢观看