3.1函数的单调性（第三课时）课件（共32张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.1函数的单调性
第三课时
教学目标
01
02
利用单调性解不等式
利用单调性比大小
03
利用单调性求最值
利用单调性求函数最值
重点
难点
利用单调性解不等式
环节一
复习单调性定义
区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，则为减函数；
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
条件
结论
定义
增函数
设函数f(x)的定义域为I，定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1f(x)在区间D上是
增函数
减函数
当x1f(x2)
f(x)在区间D上是
减函数
增函数与减函数的定义
对增函数的判断，对任意x1 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或f????1?????????2????1?????2>0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或f????1?????????2????1?????2?<0.
?
单调性定义等价形式
环节二
利用函数单调性比大小
比较大小原理
区间
????????>????????∈????+????↑?????????????>????????????
?
????????>????????∈????+????↓??????????????
例1.已知????????在????上是减函数，则有（）
A.????????????????
C.????????≤????????? D. ????.????????>????????
?
????????>????????∈????+????↓??????????????
????>????∈????
?
????
?????????
例2.已知????????在????上是减函数，则有（）
A.????????????????
C.????????????+????≤????????? D.????????????+?????
????????>????????∈????+????↓??????????????
????????+????>????∈????
?
????
????(????????+????)?
????????+?????????=?????????????????+????????>????
?
例3.已知????????在????,+∞上是减函数，则?????????????????+????和????????????大小关系
?
????????>????????∈????+????↓??????????????
????????+?????????≥????????∈(????,+∞)
?
(0,+∞)
????(?????????????+????)≤????(????????)
?
?????????????+?????????????=?????????????????≥????
?
环节三
利用函数单调解不等式
解不等式原理
区间
????????????>????????????+????↑?????????，??????∈????且?????????>????????
?
????????????>????????????+????↓?????????，????????∈????且??????????
例4.
若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)????????????>????????????+????↑?????????，????????∈????且?????????>????????
?
f(1－a)R
?????????∈????,
?
?????????????∈????,
?
?????????????>?????????
?
答：????>????????
?
例5.
已知函数fx在区间[－1，1]上是单调函数且f(0)?
????????????>????????????+????↑?????????，????????∈????且?????????>????????
?
f(x)?
?????,????
?
????????∈????,
?
????∈?????,????,
?
????????>????
?
答：????∈?????,????????
?
例6.

（2）由f(x-3)>f1????-2,得f(x-3)+2>f1????,即f(x-3)+f14>f1????,
即f?????34>f1????,
?
已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时,f(x)>0,且f12=1.(1)证明:y=f(x)是(0,+∞)上的减函数;(2)解不等式f(x-3)>f1????-2.
?
解：（1）略（在《3.1函数单调性（第二课时）》讲过）
????????????>????????????+????↓?????????，????????∈????且?????????>????????
?
f?????34>f1????
?
????,+∞
?
?????????????∈(????,+∞),
?
????????∈????,+∞,
?
??????????????
综上所述,所求不等式的解集为(3,4).
点拨
在解不等式前，需要明确三方面问题：
1.单调区间；
2.单调性；
3.标准形式（fa?
微练
函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
分析
相对于三方面要求，此题缺少两项：单调性和标准不等式，所以，要综合运用相关知识，化成解不等式所需的状态。
解:∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.
∴原不等式可化为f(3m2-m-2) 任取x1,x2∈R,且x10,f(x2-x1)>1.
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函数
标准化
单调性
∴3m2-m-2<2,解得-1?
环节四
利用单调性求最值
函数最大值与最小值
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足?x∈D，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
?x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
例7.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值． (　　)
(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b)). (　　)
(3)函数的最大值一定比最小值大． (　　)
角度一
理解最大值与最小值
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
例8.函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A.－1，0　　 B．0，2
C．－1，2 D．12，2
角度一
理解最大值与最小值
由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1
例9.已知函数f(x)＝????2，?1≤????≤11????，????>1求f(x)的最大值、最小值
?
角度一
理解最大值与最小值
[解]　作出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
例10.已知函数f(x)＝2????+1????+1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
?
角度二
利用单调性求最大值与最小值
分析
这是一次分式型函数，利用特殊的方法是可以画出其图像的，从而可以求得最值。但本题侧重于用单调性解决，所以要严格按单调性的定义，结合最值的定义解。
[解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝????????????+????????????+?????????????????+????????????+????=?????????????????????????+????????????+????
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，
最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.
?
点拨
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
(1)求最值易忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
用单调性求最值最易出错的两点
课堂小结
1．核心要点
1.用单调性比大小、解不等式、求函数最值
2．数学素养
通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识
借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．
谢谢观看