人教A版（2019）必修第一册同步学案-1.5.1全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
班级：
姓名：
有了目标，才有动力
【知识目标】理解全称量词命题和存在量词命题的概念.
【能力目标】1.能够准确判断一个命题是哪种量词命题，并能判定出命题的真假；
2.表述命题时，准确地使用量词短语；
3.量词符号语言与集合有关符号语言混合出现时，能够分析出内部联系；
4.涉及恒成立（或存在性成立）的参数范围确定时，能够正确的使用最值.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料1】
（1）x>3；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的xR，x>3；
（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数.
语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断他们的真假，所以他们不是
.
语句（3）在（1）的基础上，用短语“
”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“
”对变量进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此（3）（4）是
.
思考：语句（3）（4）中的变量x还可以哪些短语进行限定（不改含义）?
【材料2】
（1）2x+1=3；
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一个xR，2x+1=3；
（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.
容易判断，语句（1）（2）不是
.
语句（3）在（1）的基础上，用短语“
”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“
”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此（3）（4）是
.
思考：语句（3）（4）中的变量x还可以哪些短语进行限定（不改含义）?
二、全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal
quantifier），并用符号“?”表示．含有全称量词的命题叫做
量词命题（universal
proposition）.
通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
“?x∈M，p(x)”的理解：
对于【材料1】语句（3），“M”代表
，“p(x)”代表“
”；
对于【材料1】语句（4），“M”代表
，“p(x)”代表“
”.
【边学边用】
判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）?xR，+1≥1；
（3）对于任意一个无理数x，x2也是无理数.
解题提醒：
三、存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential
quantifier），并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做
量词命题（existential
proposition）.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“
”．
【边学边用】
判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
解题提醒：
【思考】
下面定理是全称量词命题还是存在量词命题？
1.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.三角形内角和定理：三角形内角和等于1800.
提醒：
活学活用，发展思维
【题型1】存在性证明题
已知集合A={1，3，a2}，B={1，a+2}.
求证：a∈R，使得A∪B=A.
提醒：
【题型2】任意性证明题
已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|－2≤x≤5}．
求证：?a≤1，都有P∪Q=Q.
、
提醒：
【题型3】用量词命题描述事实
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
……
根据以上事实：
①写出一个全称量词命题.
②写出一个存在量词命题.
思考：1.对于一个全称量词命题，把“?”改为“?”，命题还成立吗？
2.对于一个存在量词命题，把“?”改为“?”，命题还成立吗？
【题型4】与恒成立（或存在性成立）相关的参数范围确定
（1）?xR，x2－4x＋6>a，求a的取值范围.
(2)xR，x2－4x＋6－a<0，求a的取值范围.
提醒：
对点诊断性训练，夯实所学
选择题：
1．下列语句是存在量词命题的是(
)
A．整数n是3和5的倍数
B．存在整数n，使n能被6整除
C．x>23
D．?x∈M，r(x)成立
2．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(
)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使>0
C．无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(
)
A．锐角三角形的内角是锐角
B．至少有一个实数x，使≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
填空题：
4.?x∈R，－x2+1
.
5.?
x∈R，－x2+1>a，则a的取值范围是
.
解答题：
6.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|xa的取值范围构成集合M，求证：?x∈M，x2≤16.
自我反馈，总结提升
1.要判定一个全称量词命题是真命题，必须进行
，确保集合M中的
元素x，p(x)成立；
要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个
)，有时这样的x0是在一定步骤的
之后找出的.
2.要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，有时这样的x0是在一定步骤的
之后找出的；
要判定一个存在量词命题是假命题，必须进行
，确保集合M中的
元素x，p(x)不成立．
自我评估，检验实力
选择题：
1.下列存在量词命题中假命题的个数是(?)
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形；
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(
)
A．?x∈Q，有x∈P
B．?x?Q，有x?P
C．?x0?Q，使得x0∈P
D．?x0∈P，使得x0?Q
3.下列四个命题中是真命题的是(
)
A．?x0∈Z，1<4x0<3
B．?x0∈Z，5x0＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2>0
填空题：
4.若p：?x∈{x}，4x+a≥1是真命题，则实数a的取值范围是
.
5.根据下述事实，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题．
13+23=(1+2)2
13+23+33=(1+2+3)2
13+23+33+43=(1+2+3+4)2
……
全称量词命题：
；
存在量词命题：
.
解答题：
6.设集合A＝{x|(x－a)2<1}.求证：?a∈{a1最后一个环节
把失误的题落实到纠错本上，并分析原因.
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2人教A版（2019）必修第一册同步学案-1.5.1全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
班级：
姓名：
有了目标，才有动力
【知识目标】理解全称量词命题和存在量词命题的概念.
【能力目标】1.能够准确判断一个命题是哪种量词命题，并能判定出命题的真假；
2.表述命题时，准确地使用量词短语；
3.量词符号语言与集合有关符号语言混合出现时，能够分析出内部联系；
4.涉及恒成立（或存在性成立）的参数范围确定时，能够正确的使用最值.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料1】
（1）x>3；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的xR，x>3；
（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数.
语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断他们的真假，所以他们不是命题.
语句（3）在（1）的基础上，用短语“
所有的
”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“
任意一个
”对变量进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此（3）（4）是命题.
思考：语句（3）（4）中的变量x还可以哪些短语进行限定（不改含义）?
答：“一切”“每一个”“任给”等.
【材料2】
（1）2x+1=3；
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一个xR，2x+1=3；
（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.
容易判断，语句（1）（2）不是命题.
语句（3）在（1）的基础上，用短语“
存在一个
”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“
至少有一个
”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此（3）（4）是命题.
思考：语句（3）（4）中的变量x还可以哪些短语进行限定（不改含义）?
答：“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
二、全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal
quantifier），并用符号“?”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题（universal
proposition）.
通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
“?x∈M，p(x)”的理解：
对于【材料1】语句（3），“M”代表
R
，“p(x)”代表“x>3”；
对于【材料1】语句（4），“M”代表
Z
，“p(x)”代表“2x+1是整数”.
【边学边用】
判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）?xR，+1≥1；
（3）对于任意一个无理数x，x2也是无理数.
解析：（1）2是素数，但2不是奇数，所以这个全称量词命题是假命题.
注：素数是指大于1的整数，且除了1和自身之外无其它正因数.
（2）?xR，总有≥0，因而+1≥1，所以这个全称量词命题是真命题.
（3）是无理数，但=3是有理数，所以这个全称量词命题是假命题.
解题提醒：
1.判断一个全称量词命题是真命题，必须通过逻辑推理；
2.判断一个全称量词命题是假命题，举出一个反例即可.
注：有时候在一定步骤的逻辑推理之后才能很容易找出反例.
三、存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential
quantifier），并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（existential
proposition）.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”．
【边学边用】
判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
解析：（1）△=22－4×3=－8<0，一元二次方程x2+2x+3=0无解.所以这个存在量词命题是假命题.
（2）平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不可能垂直，所以这个存在量词命题是假命题.
（3）正方形是平行四边形，也是菱形，所以这个存在量词命题是真命题.
解题提醒：
1.判断一个存在量词命题是真命题，举出实例即可；
注：有时候在一定步骤的逻辑推理之后才能很容易找出实例.
2.判断一个存在量词命题是假命题，必须通过逻辑推理.
【思考】
下面定理是全称量词命题还是存在量词命题？
1.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
答：全称量词命题.
这个定理适用于任意一个直角三角形.
2.三角形内角和定理：三角形内角和等于1800.
答：全称量词命题.
这个定理适用于任意一个三角形.
提醒：全称量词命题经常省去前面的全称量词.
活学活用，发展思维
【题型1】存在性证明题
已知集合A={1，3，a2}，B={1，a+2}.
求证：a∈R，使得A∪B=A.
证明：A∪B=A?B?A.
①a+2=3时，a=1，此时集合A中有重复元素，不符合集合中元素的互异性；
②a+2=a2时，a2－a－2=0，a=2或－1.
a=－1时，集合A与B中都有重复元素，舍去；
经检验，a=2符合题意.
综上可知，a∈R，使得A∪B=A，这个数是2.
提醒：实例“2”是在逻辑推理之后找出的.
注：如果迅速猜出“2”，命题就得证，但为了能处理更复杂的问题，本题思路一定要掌握.
【题型2】任意性证明题
已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|－2≤x≤5}．
求证：?a≤1，都有P∪Q=Q.
证明：P∪Q=Q?P?Q.
①P=?
时，a+1>2a+1，a<0时；
②P≠?
时，解此方程组得，0≤a≤2，
综上，P∪Q=Q?a≤2.
因为a≤1?a≤
2?P∪Q=Q，所以?a≤1，都有P∪Q=Q.
提醒：本题思路是，先求出P∪Q=Q的充要条件对应的参数范围，再说明不超过1的实数符合这个条件.
【题型3】用量词命题描述事实
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
……
根据以上事实：
①写出一个全称量词命题.
答案：?nN
，1+3+5+…+（2n－1)=n2.
②写出一个存在量词命题.
答案：?nN
，1+3+5+…+（2n－1)=n2.
思考：1.对于一个全称量词命题，把“?”改为“?”，命题还成立吗？
答：成立.
2.对于一个存在量词命题，把“?”改为“?”，命题还成立吗？
答：不一定.
【题型4】与恒成立（或存在性成立）相关的参数范围确定
（1）?xR，x2－4x＋6>a，求a的取值范围.
解析：x2－4x＋6=x2－4x+4－4＋6=（x－2）2＋2，可知x2－4x＋6的最小值是2.已知中的命题是全称量词命题，所以2>a，即a<2.
(2)xR，x2－4x＋6－a<0，求a的取值范围.
解析：x2－4x＋6－a<0?x2－4x＋6x2－4x＋6=x2－4x+4－4＋6=（x－2）2＋2，可知x2－4x＋6的最小值是2.已知中的命题是存在量词命题，所以22.
提醒：这种类型题在以后的学习中会经常碰到，请认真体会.
对点诊断性训练，夯实所学
选择题：
1．下列语句是存在量词命题的是(
)
A．整数n是3和5的倍数
B．存在整数n，使n能被6整除
C．x>23
D．?x∈M，r(x)成立
【答案】B
解析：对于A选项，没有明确n是哪个整数，这个语句不能判断真假，不是命题；
对于B选项，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于C选项，不知道x代表哪个实数，这个语句不能判断真假，不是命题；
对于D选项，含有全称量词符号“?”，是全称量词命题．
故选B.
2．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(
)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使>0
C．无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
【答案】A
解析：对于A选项，是全程量词命题（前面省略了全称量词）.斜三角形是锐角三角形和钝角三角形的统称，内角当然是锐角或钝角；
对于B选项，“至少有一个”是存在量词，此命题是存在量词命题；
对于C选项，这个命题是全称量词命题（前面省略了全称量词），但这个命题是假命题，因为是无理数，但=3是有理数.
对于D选项，“存在一个”是存在量词，此命题是存在量词命题；
故选A.
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(
)
A．锐角三角形的内角是锐角
B．至少有一个实数x，使≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
【答案】B
解析：对于A选项，是全称量词命题（前面省略了全称量词）；
对于B选项，是存在量词命题，且是真命题（x＝0时，＝0）；
对于C选项，是假命题，、－都是无理数，相加等于0，和为有理数；
对于D选项，是假命题，对于任一个负数x，都有＜0，不可能大于2.
故选B.
填空题：
4.?x∈R，－x2+1.
【答案】a>1.
解析：－x2+1的最大值小于a，即11.
5.?
x∈R，－x2+1>a，则a的取值范围是
.
【答案】a<1.
解析：－x2+1的最大值大于a，即1>a,
即a<1.
解答题：
6.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|xa的取值范围构成集合M，求证：?x∈M，x2≤16.
证明：
A＝{x|x<3或x≥7}，CUA＝{x|3≤x<7}.
(CUA)∩B≠?，分三种情况考虑：
①a<3时，(CUA)∩B=?，不符题意（如图）.
②a=3时，(CUA)∩B=?，不符题意（如图）.
③a>3时，(CUA)∩B≠，符合题意(如图).
综合①②③，得M={a|a>3}，4∈M，42=16,命题得证.
自我反馈，总结提升
1.要判定一个全称量词命题是真命题，必须进行推理论证，确保集合M中的每个元素x，p(x)成立；
要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)，有时这样的x0是在一定步骤的推理论证之后找出的.
2.要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，有时这样的x0是在一定步骤的推理论证之后找出的；
要判定一个存在量词命题是假命题，必须进行推理论证，确保集合M中的每个元素x，p(x)不成立．
自我评估，检验实力
选择题：
1.下列存在量词命题中假命题的个数是(?)
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形；
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
【答案】A
解析：对于①，有理数和无理数统称实数，而无理数是无限不循环小数，故①为真命题；
对于②，很明显是真命题；
对于③，正方形是一种特殊的菱形，故③为真命题．
综上可知：假命题的个数为0个．
故选A．
2.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(
)
A．?x∈Q，有x∈P
B．?x?Q，有x?P
C．?x0?Q，使得x0∈P
D．?x0∈P，使得x0?Q
【答案】B
解析：因为P∩Q＝P，所以P?Q，所以?x?Q，有x?P.
3.下列四个命题中是真命题的是(
)
A．?x0∈Z，1<4x0<3
B．?x0∈Z，5x0＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2>0
【答案】D
解析：对于选项A，1<
4x0<3对于选项B，5x0＋1＝0x0=－，不是整数；
对于选项C，x=2时，，x2－1≠0，作为全称量词命题是错误的；
对于选项D，x2＋x＋2=x2＋x+－+2=(x+)2+,恒为正值，作为全称量词命题是正确的.
故选D.
填空题：
4.若p：?x∈{x}，4x+a≥1是真命题，则实数a的取值范围是
.
【答案】a≥－3.
解析：时，4x+a的最小值为4+a，4+a≥1，a≥－3.
5.根据下述事实，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题．
13+23=(1+2)2
13+23+33=(1+2+3)2
13+23+33+43=(1+2+3+4)2
……
全称量词命题：
；
存在量词命题：
.
【答案】全称量词命题：?n∈N
，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
存在量词命题：n∈N
，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
解答题：
6.设集合A＝{x|(x－a)2<1}.求证：?a∈{a1解析：“2∈A，且3?A”???
??1最后一个环节
把失误的题落实到纠错本上，并分析原因.
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