安徽省明光市2020-2021学年高二下学期期末评价性考试理科数学试题 Word版含解析

明光市2020-2021学年高二下学期期末评价性考试
数学（理科）
考生注意∶
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围∶人教版必修2，选修2-1，选修2-2，选修2-3。
一、选择题∶本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数false，则false在复平面内所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.“a>2”是“方程false表示焦点在×轴上的椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.曲线y=e×+2×+1在×=0处的切线方程为（　　）
A.3×+y-2=0 B.3×+y+2=0
C.3×-y-2=0 D.3×-y+2=0.
4.刘徽《九章算术·商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫“阳马”，如图是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为（　　）
A. false B. false C.1 D.2
5.将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两个点数之和大于8”，B为“至少出现一个5点”，则概率P（A|B）等于
A. false B. false C. false D. false
6.设随机变量λ~N（μ，4），方程x2-6x+x=0没有实数根的概率是false，则false（附∶若随机变量λ~N（μ，σ2），则P（μ- σ<λ≤μ+σ）=0. 6826，P（μ- -2σ<×≤μ+2σ）=0. 954 4. ）
A.0.135 9 B.0.158 7 C.0.181 5 D.0.8185
7.若函数false在[4，8]上单调递增，则实数t的取值范围是（　　）
A. （-∞，4] B. [4，+∞） C.[0，+∞） D.[- 32，+∞）
8.如图，F1，F2是双曲线C∶false的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为F2B的中点，且F1B⊥F2B，则|F1F2|=
A.4 B. false C.6 D.9
9.直线l∶false将圆O∶false分成的两部分的面积之比为（　　）
A. false B. false
C. false D. false
10.以M（0，2）为圆心，4为半径的圆与抛物线C∶×2=8y相交于A，B两点，如图，点P是优弧AB上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是（　　）
A. [8，12） B. （8，12] C. （8，12） D. [8，12]
11. 2021年初，新冠肺炎疫情在河北石家庄藁城区局部爆发.防疫部门人户排查时重点排查5类人员∶新冠患者、疑似患者、人境人员、冷链食品工作者和新冠密切接触者.排查中一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对这6名成员进行核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为p（0A. false B. false C. false D. false
12.若实数a，b，c，d满足false，则false的最小值为（　　）
A.2. B. false C.4 D.8
二、填空题∶本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆C∶x2+y2=4与圆C（x-1）2+（y-1）2=4相交，它们公共弦所在直线的方程是 .。
14. （x- 3）（1+x）7展开式中，×3的系数为 。
15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=120°且AB=AC=3，BB1=4，则此三棱柱外接球的表面积为 。
16.已知椭圆C∶false（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2.且椭圆C与双曲线C∶false共焦点，若椭圆C与双曲线false的一个交点M满足false，则△MF1F2的面积是_ 。
三、解答题∶共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分10 分）
某养殖场通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量y（kW·h）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表∶
气温（°C）
3
4
5
6
7
用电量（kW·h）
2.5
3
4
4.5
6
（1）请利用所给数据求用电量y与气温x的线性回归方程false；
（2）利用线性回归方程预测气温10 °C时的用电量.
参考公式∶false
18. （本小题满分12分）
已知圆C∶（x-1）2+y2=1与圆C∶∶x2+y2- 8x+m=0.
（1）若圆C与圆C2恰有3条公切线，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若直线false被圆C2所截得的弦长为2，求实数n的值.
19. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，PA//CE，false，PA⊥平面ABCD.
（1）证明∶PE⊥平面DBE；
（2）求二面角B-PD- E的正弦值的大小.
20. （本小题满分12分）
为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c构成以2为公比的等比数列.
（1）求a，b，c的值；
（2）填写下面false列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关”？
文科生
理科生
合计
获奖
6
不获奖
合计
400
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为×，求×的分布列及数学期望.
附∶false，其中n=a+b+c+d.
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2. 072
2.706
3. 841
5. 024
6. 635
7.879
10.828
21. （本小题满分12分）
在直角坐标系×Oy中，已知一动圆经过点（3，0），且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点false作相互垂直的两条直线l1、l2.直线ll与曲线C相交于A、B两点，直线l2与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证∶直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.
22. （本小题满分12分）
已知函数false，false.
（1）若f（×）=h（×）- g（×）.
①讨论函数f（×）的单调性；
②若函数f（×）有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
（2）已知a>0，函数g（×）恰有两个不同的极值点×1，×2，证明∶false.
明光市2020-2021学年高二下学期期末评价性考试
数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1.A 因为false，所以false，所以false，则false，所以复数false在复平面内所对应的点为false，位于第一象限.故选A.
2.A若方程false表示焦点在×轴上的椭圆.则a2>4，所以a>2或a<- 2.所以“a>2"是“ 方程false表示焦点在×轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选A.
3.D当×=0时，y=2，所以切点坐标为（0，2）.因为false，所以切线的斜率false，所以切线方程为y-2=3（×-0），即3×- y+2=0.故选D.
4.B由三视图可知，此“阳马”底面长方形的面积false，高h=1，所以false故选B.
5.B根据条件概率的含义，P（A|B）表示在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数之和大于8”的概率，至少出现一个5点”的情况数目为6×6-5×5=11种，分别为（1，5），（2，5），（3，5），（4.5），（5，5），（6，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），其中“两个点数之和大于8”的情况数目有5种，分别是（4，5），（5，5），（6，5），（5，4）.（5，6）.故false.故选B.
6.D因为方程false没有实数根的概率是false，所以false，所以false.即false，所以μ=9，又σ2=4，所以o=2，所以false false，故选D..
7.C由题意可得false在x∈[4，8]上恒成立，整理可得false，令false，当x∈[4，8]时，false恒成立，所以g（x）在[4，8]上单调递减，所以false，所以t≥0，故选C.
8.A因为点A 为F2B的中点，所以false，又false，所以false，所以false，所以false ，所以a=1，所以false.故选A.
9.B 设直线l与圆O∶false交于M，N，过O作OP⊥MN，垂足为点P（如图）.圆心O到直线l的距离为false，所以cos∠MOP= false，又∠MOP= false，.则false，所以false.劣弧对应的弓形面积为false，另一部分的面积为false，所以两部分的面积之比为false，故选B，
10.C易 知圆心M（0，2）也是抛物线C的焦点，设PN与抛物线的准线y=-2交于点H，根据抛物线的定义，可得|MN|= |NH|，故△PMN的周长1= |NH|+| NP|十| MP | = |PH|十4.设点B的坐标为false，由false，解得false即B（4，2）.由于点P不与A、B两点重合，也不在y轴上.所以|PH|的取值范围为（4，8）.所以△PMN的周长的取值范围为（8，12）.故选C.
11.A 由题意可得false，false false，令false得false舍去），当p∈false时，false，.f（p）单调递增；当p∈false时，false，f（p）单调递减，所以当p= false时，f（p）取得最大值.故选A.
12.D 由false，可得false ，d=c-2.故false可理解为曲线false上一点（a，b）与直线false上一点（c，d）间的距离的平方.对于函数false，令false，故可得false，即函数y= false在（-1，1）处的切线方程为false，切线方程与直线y=x-2平行，则函数false在（-1，1）处的切线方程与直线y=x-2之间的距离false故false的最小值为d2=8。故选D.
13. false用圆 C1的方程减去圆C2的方程得两圆公共弦所在直线的方程是false，即false =0.
14.-84 false的展开式的通项公式为false，令r=3得，false ；令r=2得，false ，所以false的系数为35×（-3）+21=- 84.
15. 52π 如图， 作出△ABC，false的外心O1 ，O2，易证false⊥平面ABC，又false为截面圆的圆心，所以直三棱柱false外接球的球心在false上。由球的对称性可得O为O1O2的中点.连接false.
在△ABC中.因为AB=AC= 3，所以∠ABC=∠ACB= 30°，所以由正弦定理得false，解得false.易证false，所以false，所以由勾股定理得false，即外接球的半径false，所以此三棱柱外接球的表面积为false.
16.1双曲线C∶false化为标准方程是false.因为椭圆C与双曲线C'∶false共焦点，所以可设椭圆C与双曲线false的半焦距都为c.设双曲线C'∶false的实半轴为a' ，则false不妨设交点M在双曲线C'的右支上，根据双曲线的定义，得false，根据椭圆的定义，得false.联 立false解得false所以由|MF1|●|MF2 | =2a，得false，化简得false.解得a=2.所以双曲线false∶false的半焦距为c false.则false， false。在△MF1F2中，因为false，false，所以false，由勾股定理得false是直角三角形，且false是直角，所以false的面积是false|MF2|=1.
17.解∶（1）由表中数据得false，false，............ 2分
false，false ..........4分
所以false， ................................. 5分
false . 6分
所以false. ...........................................7分
（2）当false时. false. ................................. 9分
当气温为10 °C时，用电量为false ......
18.解∶（1）圆C1∶false，圆心C1（1，0），半径r1=1；
圆C2∶false，圆心C2（4，0），半径false. .....
因为圆C1与圆C2有3条公切线，所以圆C1与圆C2相外切，所以false， ............ 4分
即false ，解得m=12. ....................................... 6分
（2）由（1）可知.圆C2∶false.圆心C2（4，0）.半径r2=2.
因为直线false与圆C2相交.弦长是2.
所以圆心C2到直线false的距离false ................10分
即false，解得n=-1或n=-7。12分
19. （1）证明∶连接AC，因为四边形ABCD为正方形，
所以BD⊥_AC. ....
因为PA⊥平面ABCD，AD，false平面ABCD，
所以PA⊥，BD，PA⊥AD. ............................................. 2分
又PA∩AC=A，PA， false平面APEC，所以BD⊥平面APEC， .
又false平面APEC，所以BD⊥PE.... 3分
设AB=1，则AD=1，PA=2，所以false，
同理可求false，在梯形PACE中，易求false，
所以false，所以PE⊥DE.
又BD∩DE= D， BD，false平面DBE，
所以PE⊥平面DBE. ................................................... 5分
（2）解∶以A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
令AB=1，则CE=1，AP=2，
所以点P（0，0，2），E（1，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），
则false
6分
设平面DPE的法向量为n= （x，y，z），则得false
令z=1，得平面DPE的一个法向量为n=（2，-1，1）； ............................ 8分
设平面BPD的法向量为m=（x' ，y ，z' ），则得false
令z=1，得平面BPD的一个法向量为m= （2，2，1）. ...........................10分
设n与m夹角的大小为θ.则
false
所以二面角B - PD -E的正弦值为false
20.解∶（1）由题意，得（a+b+c+0.018+ 0.022+ 0.025）×10=1，......................... 1分
而a，b，c构成以2为公比的等比数列，.
所以（a+2a+ 4a+0.018+0. 022 +0. 025）× 10=1.解得a=0.005. .................... 3分
则b=0.010，c=0.020....4分
（2）获得“优秀作文”的人数为400×0.005×10= 20，
因为文科生与理科生人数之比为1∶4.所以文科生与理科生人数分别为80，320.
故完成2×2列联表如下∶
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
由表中数据可得∶false， ....................... 6分
所以不能在犯错误的概率不超过0. 01的情况下认为“获得优秀作文”与学生的文理科有关. ........ 7分
（3）由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0. 005×10=0.05， ................... 8分
将频率视为概率，所以X可取0，1，2，且X~ B<2，0.05），........................... 9分
则false（k=0，1，2）. ............................... 10 分
故X的分布列为
X
0
1
2
P
false
false
false
故X的期望为false（或E（X）=2×0.05=0. 1） ......... 12分
21.解∶（1）设圆心C（x，y），由题意，得false，即false，
所以曲线C的方程为false. ............
（2）由题意可知，直线false的斜率均存在，设直线的方程为false，联立方程组false得false， ........................5分
所以false，false
因为点M是线段AB的中点所以false.
同理，将k换成false，得false，.............................. 8分
当false，即k≠土1时，false....... 9分
所以直线MN的方程为false.即false，
所以直线MN恒过定点false. 10分
当false时，直线MN的方程为false，也过点false. 11分
所以直线MN恒过定点false
22. （1）解∶false
①false false
（i ）当a≤0时，false，函数f（x）在（0， +∞）上单调递减； ....................... 2分
（ii）当a>0时，令false.解得false；令false.解得false
所以函数f（×）在false上单调递减，在false上单调递增. ................... 3分
②由①知，若a≤0，丽数f（×）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a>0. ......... 4分
因为当×→0时，f（×）→+∞；当false时，f（×）→+∞，
故要使函数f（×）有两个不同的零点，只需false，即false <0.
又函数false在（0， +∞）上为增函数.且false所以 false解集为（0，1）..........................................................6分
故实数a的取值范围为（0，1）
（2）证明∶false，因false为g（x）的两个不同极值点，不妨设false，所以.两式相减得，false .
因为a>0，要证false，即证false，即证false，............ 7分
两边同除以false，即证false
令false，即证false，
令false .则false
令false，则false，
当t<0时，p'（t）<0，所以p（t）在（一∞，0）上递减，10分
所以p（t）> p（0）=0，
所以u'（t）<0，
所以u（t）在（-∞，0）上递减，
所以u（t）>u（0）=0，即false...... 12分
故false