北京市12中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

北京市12中2020－2021学年第二学期高一年级期中考试
数学 2021.05
本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试巻上作答无效．考试结束后，将答题纸交回．
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 若复数，则复数所对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 11 C. －10 D. 10
3. 已知是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（ ）
A. 五棱锥 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 四棱台
5. 已知，且为锐角，则（ ）
A. B. C. D.
6. 对于任意向量，下列命题中正确是（ ）
A. 若，则 B.
C. D.
7. 记知向量，且，则（ ）
A. 3 B. －3 C. D. －
8. 在中，角对边分別，且，则（ ）
A. 60°或120° B. 60° C. 30° D. 30°或150°
9. 在△ABC中，已知，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
10. 设，则有（ ）
A. B. C. D.
11. 已知中，，，，为所在平面内一点，且，则值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
13. ___________.
14. ________．
15. 已知为单位向量，，则的夹角为________．
16. 若实数满足方程组，则一个值是________．（答案不唯一，写出满足条件的一个值即可）
17. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________.
.
18. 如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且．①若，则的值是_______；②若向量，则的最小值为________．
三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19. 已知是虚数单位，复数．
（I）当时，求复数的模；
（II）若为纯虚数，求实数m值．
20. 已知，，(t∈R)，O坐标原点．
（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；
（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
21. 已知函数．
（I）求的值；
（II）求的最小正周期和对称轴方程；
（III）求在上的值域．
22. 锐角中满足，其中分別为内角的对边．
（I）求角；
（II）若，求的取值范围．
23. 定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（I）设函数，求证：；
（II）记向量的相伴函数为，当且时，求的值；
（III）将（I）中函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像．已知，问在的图像上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
北京市12中2020－2021学年第二学期高一年级期中考试
数学 2021.05 答案版
本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试巻上作答无效．考试结束后，将答题纸交回．
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 若复数，则复数所对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 11 C. －10 D. 10
【答案】D
3. 已知是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
4. 某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（ ）
A. 五棱锥 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 四棱台
【答案】D
5. 已知，且为锐角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 对于任意向量，下列命题中正确是（ ）
A. 若，则 B.
C. D.
【答案】B
7. 记知向量，且，则（ ）
A. 3 B. －3 C. D. －
【答案】C
8. 在中，角对边分別，且，则（ ）
A. 60°或120° B. 60° C. 30° D. 30°或150°
【答案】A
9. 在△ABC中，已知，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
10. 设，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
11. 已知中，，，，为所在平面内一点，且，则值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
12. 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
13. ___________.
【答案】
14. ________．
【答案】
15. 已知为单位向量，，则的夹角为________．
【答案】
16. 若实数满足方程组，则一个值是________．（答案不唯一，写出满足条件的一个值即可）
【答案】
17. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________.
.
【答案】
18. 如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且．①若，则的值是_______；②若向量，则的最小值为________．
【答案】 ①. ②.
三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19. 已知是虚数单位，复数．
（I）当时，求复数的模；
（II）若为纯虚数，求实数m值．
【答案】（I）；（II）
20. 已知，，(t∈R)，O坐标原点．
（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；
（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.
21. 已知函数．
（I）求的值；
（II）求的最小正周期和对称轴方程；
（III）求在上的值域．
【答案】（I）；（II），；（III）
22. 锐角中满足，其中分別为内角的对边．
（I）求角；
（II）若，求的取值范围．
【答案】（I）；（II）
23. 定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（I）设函数，求证：；
（II）记向量的相伴函数为，当且时，求的值；
（III）将（I）中函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像．已知，问在的图像上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）存在，.