江苏省南京13中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

南京13中学2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测数学试题
时量：120分钟 总分：150分
2021.4
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 设，，则
A. B.
C. D.
2. 已知实数满足若恒成立，那么k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，、、对边分别是、、.若，，则的最大值为
A. 3 B. C. D.
4. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg2≈0.3) （ ）
A. 1045 B. 1051
C. 1056 D. 1059
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
6. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则
A. ，且直线是相交直线
B. ，且直线是相交直线
C. ，且直线是异面直线
D. ，且直线是异面直线
8. 定义在上偶函数对任意实数都有，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分．
9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题中正确的有
A. 空间内三点确定一个平面
B. 棱柱的侧面一定是平行四边形
C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
11. 在四面体中，分别为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 四点共面 B.
C. D. 四边形为梯形
12. 已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则下列a的取值满足条件的是（ ）
A. e B. 1 C. D.
三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则的最小值是_______．
14. 在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为，记△ABC的面积为S，且，则的最大值为__________.
15. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达100多个，其中的一个成果是：设，则称为高斯函数，表示不超过x的最大整数，如，并用表示x的非负纯小数．若方程有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为________．
16. 在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________．
四、解答题：本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分．
17. 平面四边形中，.
（1）求的面积；
（2）设为的中点，且，求四边形周长的最大值.
18. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
19. 已知向量．
（1）若，求的值；
（2）若，当时，求函数最大值；
20. 的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，证明：；
（2）若成等比数列，求的最小值.
21. 已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，若在上至少含有10个零点，求b的最小值．
22. 已知表示非空集合A中的元素的个数．
（1）定义，若，设实数a的所有可能取值构成集合S，求的值；
（2）已知集合，对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m，使得对于N中的任意一对元素，都有，求的最大值．
南京13中学2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测数学试题
时量：120分钟 总分：150分
2021.4
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 设，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
2. 已知实数满足若恒成立，那么k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3. 在中，、、对边分别是、、.若，，则的最大值为
A. 3 B. C. D.
【答案】B
4. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg2≈0.3) （ ）
A. 1045 B. 1051
C. 1056 D. 1059
【答案】B
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
【答案】A
6. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
7. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则
A. ，且直线是相交直线
B. ，且直线是相交直线
C. ，且直线是异面直线
D. ，且直线是异面直线
【答案】B
8. 定义在上偶函数对任意实数都有，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分．
9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
10. 下列命题中正确的有
A. 空间内三点确定一个平面
B. 棱柱的侧面一定是平行四边形
C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
【答案】BC
11. 在四面体中，分别为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 四点共面 B.
C. D. 四边形为梯形
【答案】ABC
12. 已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则下列a的取值满足条件的是（ ）
A. e B. 1 C. D.
【答案】BCD
三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则的最小值是_______．
【答案】
14. 在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为，记△ABC的面积为S，且，则的最大值为__________.
【答案】
15. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达100多个，其中的一个成果是：设，则称为高斯函数，表示不超过x的最大整数，如，并用表示x的非负纯小数．若方程有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为________．
【答案】
16. 在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________．
【答案】
四、解答题：本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分．
17. 平面四边形中，.
（1）求的面积；
（2）设为的中点，且，求四边形周长的最大值.
【答案】（1）（2）
18. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见解析（2）见解析
19. 已知向量．
（1）若，求的值；
（2）若，当时，求函数最大值；
【答案】（1）；（2）
20. 的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，证明：；
（2）若成等比数列，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
21. 已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，若在上至少含有10个零点，求b的最小值．
【答案】（1）；（2）.
22. 已知表示非空集合A中的元素的个数．
（1）定义，若，设实数a的所有可能取值构成集合S，求的值；
（2）已知集合，对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m，使得对于N中的任意一对元素，都有，求的最大值．
【答案】（1）5；（2）1333.