山西省怀仁市2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

怀仁市2020-2021学年第二学期高二年级期中考试
理科数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，i为虚数单位，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 用反证法证明“至少存在一个实数，使成立”时，假设正确的是（ ）
A. 至少存在两个实数，使成立 B. 至多存在一个实数，使成立
C. 任意实数，恒成立 D. 不存在实数，使成立
4. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）
A. 0.14 B. 0.28 C. 0.68 D. 0.86
5. 若，则的展开式中含的系数是（ ）
A. B. C. D.
6. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有
A. 20种 B. 24种 C. 32种 D. 48种
7. 从大小、材质均相同的6个红球和4个白球中依次不放回地摸出2个球，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（ ）
A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
9. 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望和方差分别为
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
10. 已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
11. 记等式左边式子的值为，用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时，即当从变为时，等于（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数加减法运算，可以类比多项式的加减法运算；
②由向量的性质，可以类比得到复数的性质；
③方程（，且）有两个不等实根的条件是，类比可得方程（，且）有两个不等虚根的条件是；
④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论正确的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知复数满足，则的虚部为___________.
14. 设随机变量的分布列为，，其中为常数，则________．
15. 已知，则的值为________．
16. 观察下列各式：
，
，
，
，
……
照此规律，当时，_________________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知复数，．
（1）求；
（2）若，且复数的实部为复数的虚部，求复数．
18. 有3名男生和3名女生，每人都单独参加某次面试，现安排他们的出场顺序．
(Ⅰ)若女生甲不在第一个出场，女生乙不在最后一个出场，求不同安排方式总数；
(Ⅱ)若3名男生的出场顺序不同时相邻，求不同的安排方式总数(列式并用数字作答）．
19. 已知从的展开式的所有项中任取两项的组合数是21 .
（1）求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)；
（2）若展开式中的常数项为，求的值.
20. 双曲线与椭圆有许多优美的对称性质，对于双曲线（，），有下列性质：若是双曲线（，）不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，为坐标原点，则为定值，椭圆也有类似的性质．若是椭圆不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，为坐标原点，猜想的值，并证明．
21. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价(元/kg） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
22. 已知函数，设为的导数，
（1）求值；
（2）证明：对任意，等式都成立.
怀仁市2020-2021学年第二学期高二年级期中考试
理科数学试题 答案版
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2. 已知复数，i为虚数单位，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3. 用反证法证明“至少存在一个实数，使成立”时，假设正确的是（ ）
A. 至少存在两个实数，使成立 B. 至多存在一个实数，使成立
C. 任意实数，恒成立 D. 不存在实数，使成立
【答案】D
4. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）
A. 0.14 B. 0.28 C. 0.68 D. 0.86
【答案】A
5. 若，则的展开式中含的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有
A. 20种 B. 24种 C. 32种 D. 48种
【答案】C
7. 从大小、材质均相同的6个红球和4个白球中依次不放回地摸出2个球，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8. 在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（ ）
A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
9. 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望和方差分别为
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】A
10. 已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
11. 记等式左边式子的值为，用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时，即当从变为时，等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
12. 下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数加减法运算，可以类比多项式的加减法运算；
②由向量的性质，可以类比得到复数的性质；
③方程（，且）有两个不等实根的条件是，类比可得方程（，且）有两个不等虚根的条件是；
④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论正确的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知复数满足，则的虚部为___________.
【答案】
14. 设随机变量的分布列为，，其中为常数，则________．
【答案】
15. 已知，则的值为________．
【答案】
16. 观察下列各式：
，
，
，
，
……
照此规律，当时，_________________．
【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知复数，．
（1）求；
（2）若，且复数的实部为复数的虚部，求复数．
【答案】（1）；（2）或．
18. 有3名男生和3名女生，每人都单独参加某次面试，现安排他们的出场顺序．
(Ⅰ)若女生甲不在第一个出场，女生乙不在最后一个出场，求不同安排方式总数；
(Ⅱ)若3名男生的出场顺序不同时相邻，求不同的安排方式总数(列式并用数字作答）．
【答案】（Ⅰ）504（Ⅱ）576
19. 已知从的展开式的所有项中任取两项的组合数是21 .
（1）求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)；
（2）若展开式中的常数项为，求的值.
【答案】（1）64；（2）
20. 双曲线与椭圆有许多优美的对称性质，对于双曲线（，），有下列性质：若是双曲线（，）不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，为坐标原点，则为定值，椭圆也有类似的性质．若是椭圆不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，为坐标原点，猜想的值，并证明．
【答案】；证明见解析．
21. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价(元/kg） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）第一种方案；（3）详见解析
22. 已知函数，设为的导数，
（1）求值；
（2）证明：对任意，等式都成立.
【答案】(1)；（2）证明见解析.